高中数学人教A版必修5《111正弦定理》课件.ppt
正弦定理复习三角形中的边角关系1、角的关系、角的关系2、边的关系、边的关系3、边角关系、边角关系180 CBAcbacba , 大角对大边，小边对小角大角对大边，小边对小角（一）三角形中的边角关系（一）三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系 （角（角C为直角）为直角） 1、角的关系、角的关系2、边的关系、边的关系3、边角关系、边角关系90 BA222cba sinsinsinabcABC探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？正弦定理及其应用正弦定理及其应用1、正弦定理形式的提出、正弦定理形式的提出abc=2RsinAsinBsinC 的外接圆的半径的外接圆的半径是是 ABCR 正弦定理的推导： ABDC .ObacsinsinsinabcABC=2R (R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）证明：如图，圆证明：如图，圆 O为为ABC的外接圆，的外接圆， BD为直径为直径, 则则 A=D,2 ;sinsinsin90aaBDRAD2 ,2 ;sinsinbcRRBC同理，sinsinsinabcABC=2R(R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）CcBbAaaBCbACcABsinsinsin,ABC求证：，已知证明：. AB j BC j AC j的夹角为与，的夹角为与，的夹角为与则垂直，与作单位向量过AB jAA90B9090jBACacbBaAbsinsinBbAasinsinBCABAC又BCjABjBCABjACj)(cos(90)0cos(90)j ACAj BCB jBACacb.sinsinsin.sinsinBCjBCcBbAaCcBb，垂直于作单位向量同理可证：过ABCj类似可推出，三角形为钝角三角形时，以上关系式仍然成立Y YX X2、正弦定理的向量证明、正弦定理的向量证明B BA AC C想一想：如何用向量法证明正弦定理？想一想：如何用向量法证明正弦定理？BABA在在Y Y轴上的投影为轴上的投影为CACA在在Y Y轴上的投影为轴上的投影为BA sinB= CA sinC BACA=sinCsinBabc=sinAsinBsinC同同理理可可得得|BA|cos(90|BA|cos(90o o-B)=|BA|sinB-B)=|BA|sinB|CA|cos(90|CA|cos(90o o-C)=|CA|sinC-C)=|CA|sinCabc=2RsinAsinBsinC正正弦弦定定理理：公式变形式：公式变形式： a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCabcsinA=, sinB= sinC=2R2R2R，a:b:c=sinA:sinB:sinCa:b:c=sinA:sinB:sinC利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下两类问题：两类问题：1 1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。、已知两角和任一边，求其它两边和一角。AAS2 2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。SSA( (从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题) )(1),sinsinABCABabAB中111(2)sinsinsin222SabCbcAacB22sinsinsin(4RABCabcRABCR为外接圆的半径）1()(2r abc rABC为内切圆的半径）例例1. 在在ABC中，已知中，已知c=10，A=45o ，C=30o，求求a , b和和B.例例2. 在在ABC中，已知中，已知 c=1 , 求求a,A,C.3,60 ,bB例例3. 在在ABC中，已知中，已知 a=2, 求求b和和B,C.6,45 ,cA随堂练习随堂练习1、正弦定理适用的范围是、正弦定理适用的范围是A A、直角三角形、直角三角形 B B、锐角三角形、锐角三角形C C、钝角三角形、钝角三角形 D D、任意三角形、任意三角形D2ABCa=8,B=60 ,C=75 ,b=32 A 4 2 B 4 3 C 4 6 D3 、在在中中，已已知知那那么么、C3ABCa=2 3,b=2 2,B=45 ,A= A 60120 B 60 C 30150 D 30 、在在中中，已已知知那那么么、或或、或或、AoABCa= 3, b= 2, B=45 , 例例：在在中中，已已知知解解此此三三角角形形。解：由正弦定理：解：由正弦定理：ab323=sinA=.sinAsinBsinAsin452 A=60120 或或A=60C=75 A=120C=15 bc2c6+ 2=c=2sin75 =.sinBsinCsin45sin752 bc2c6- 2=c=2sin15 =.sinBsinCsin45sin152 为什么有两解的情况？为什么有两解的情况？A A是锐角时是锐角时知识归纳知识归纳已知两角及一边解三角形一定只有一解。已知两角及一边解三角形一定只有一解。 已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、b ba aA AC CB BabsinAabsinAabsinA时时若若baba时两解，时两解，baba时一解时一解B Ba aA A为直角或钝角时为直角或钝角时a ab bA AB BC Ca ab bA AB BC Cabab时有一解，时有一解，一解或两解。一解或两解。abab时无解。时无解。4 4、在、在ABCABC中，中，“A=B”A=B”是是“sinA=sinBsinA=sinB”的的_条条件。件。 A A、充分不必要、充分不必要 B B、必要不充分、必要不充分 C C、充分必要、充分必要 D D、不充分也不必要、不充分也不必要C5 5、在、在ABCABC中，中，a=18,b=20,A=150a=18,b=20,A=150o o, ,则满足此条件则满足此条件的三角形的个数是的三角形的个数是 A A、0 B0 B、1 C1 C、2 D2 D、无数个、无数个AsinAcosB6ABC=,Bab A 30 B 45 C 60 D 90、在在中中，若若那那么么的的值值是是、BCcoscBcosbAcosa 例例4 在三角形在三角形ABC中已知中已知 试判断三角形试判断三角形ABC的形状的形状7ABC3a=2bsinA,B25 A B C D363366、在在中中，若若那那么么的的值值是是、 或或、 或或C9ABCAC= 3 A=45C=75BC=_、在在中中，那那么么210ABCa+b=12, A=60 ,B=45 ,a=_,b=_ 、在在中中，那那么么36-12 612 6-2411ABCA:B:C=1:2:3,a:b:c=_ 、在在中中，若若那那么么13 2：12ABCb=3,c=3 3, B=30a=_ 、在在中中，已已知知那那么么3或或6课堂小结：2sinsinsinsinsinsinabca b cRABCABC 作用：1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角3）可以进行边角之间的互化。注意：已知两边和其中一边的对角，求解三角形时,要注意解的取舍。的外接圆的半径是 ABCR2ABCb=12,A=30 ,B=45 , 例例 、在在中中，已已知知三角形，并求出它的外接圆半径。三角形，并求出它的外接圆半径。解这个解这个bb12=2RR=6 2sinB2sinB2sin45 解解：又又A=30A=30o o, B=45, B=45o o, ,所以所以C=105C=105o o 2+ 6sinC=sin105 =sin 60 +45=4bsinA12 sin30a=6 2sinBsin45 由由正正弦弦定定理理 b sinC12sin105c=6 1+ 3sinBsin45 例例3 3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。先判断三角形是否有解？有解的作出解答。 1 a=7,b=8,A=105 ; 2 a=2 3,b=6,A=30 1 a=7,b=8,a90 ,解解：本题无解。本题无解。 2 a=2 3, b=8,ab,A=30 bsinA, 又又本题有两解。本题有两解。bsinA6sin303sinB=a22 3 由由正正弦弦定定理理得得B=60B=60o o或或120120o o, , asinC2 3sin90c=4 3sinAsin30 当当B=60B=60o o时，时，C=90C=90o o. .当当B=120B=120o o时，时，C=30C=30o o. .asinC2 3sin30c=2 3sinAsin30 B=60C=90c=4 3B=120 ,C=30 ,c=2 3，或或4ABCa= 2,b= 3,A=45 ,BCc 例例 、在在中中，已已知知求求 、 及及ab=,sinAsinB解解：由由正正弦弦定定理理得得bsinA3323sinB=sin45 =,a2222 ba,Bba,BA=45A=45o o,有两解有两解B=60B=60o o或或120120o o1)1)当当B=60B=60o o时，时，C=75C=75o o, ,a sinC2sin756+ 2c=,sinAsin452 2)2)当当B=120B=120o o时，时，C=15C=15o o, ,a sinC2sin156- 2c=,sinAsin452 （例（例2变式）变式）为锐角，试判断此三角形的形状。为锐角，试判断此三角形的形状。例例5 5、在、在ABCABC中，如果中，如果lga-lgc=lgsinB=-lglga-lgc=lgsinB=-lg , ,且且B B22lgsinB=-lg2sinB=B=452 解解：a2sinA2lga-lgc=-lg2=c2sinC2由由 2sin 135 -C = 2sinC 2 sin135 cosC-cos135 sinC = 2sinC2cosC+ 2sinC= 2sinCcosC=0C=90 所以此三角形为等腰直角三角形所以此三角形为等腰直角三角形226ABCtanA:tanB=a :b ,ABC例例 、在在中中，若若判判定定的的形状。形状。222222asin AsinAcosBsin A=bsin BcosAsinBsin B解解：由由正正弦弦定定理理得得cosBsinA=sinBcosB=sinAcosAcosAsinBsin2B=sin2A2A=2B2A+2B= 或或A=BA+B=2 或或所以三角形所以三角形ABCABC是等腰三角形或直角三角形。是等腰三角形或直角三角形。练习：练习：（1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） ABC BbAaAsinsin. BbAaBcoscos. AbBaCsinsin. AbBaDcoscos. CABC （2）在）在 中，若中，若 ，则，则 是是( ) A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等边三有形等边三有形2cos2cos2cosCcBbAa ABC D正弦定理正弦定理练习：练习：（3）在任一）在任一 中，求证：中，求证： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa证明：由于正弦定理：令证明：由于正弦定理：令 CkcBkBAkasin,sin,sin 左边左边 代入左边得：代入左边得： )sinsinsinsinsinsinBCACAB CBCABAksinsinsinsinsin(sin 等式成立等式成立=右边右边0 正弦定理正弦定理1.coscos ,ABCbA aB（1）在中，判断三角形的形状1,2,30 ,oABCabAB已知中，求ABC （2）在）在 中，若中，若 ，则的形状，则的形状 2cos2cos2cosCcBbAa ABC
