1431因式分解与提公因式法.ppt
探究探究1、请把下列多项式写成整式和乘积的形式：、请把下列多项式写成整式和乘积的形式：（1）x2+x= ；（2）x2-1= ；x（x+1）（x+1）（）（x-1） 把一个多项式化成几个整式把一个多项式化成几个整式积的形式积的形式,这种变形这种变形叫做把这个多项式叫做把这个多项式因式分解因式分解，也叫做把这个多，也叫做把这个多项式项式分解因式分解因式。练习一 理解概念判断下列各式哪些是整式乘法判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 (4).x2+4x+4=(x+2)2 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 (6).m2-4=(m+4)(m-4) (7).2 R+ 2 r= 2 (R+r)因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式分解想一想想一想: 分解因式与整式乘法有何关系分解因式与整式乘法有何关系?分解因式与整式乘法是互逆过程分解因式与整式乘法是互逆过程几个整式的积几个整式的积 m(a+b+c)一个多项式一个多项式ma+mb+mc整式乘法整式乘法因式分解因式分解练习二.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解解?哪些不是哪些不是?为什么？为什么？1）x 2 y 2+1=(x +y )(x -y )+12）6x2y3=3xy2xy23） xxxx1221(不是不是）(不是不是）(不是不是）例例: 找找 3 x 2 6 xy 的公因式的公因式。系数：系数：最大最大公约数公约数。3字母：字母：相同相同的字母的字母x 所以，公因式是所以，公因式是3x。指数：相同指数：相同字母的字母的最低最低次幂次幂1这个多项式有什么特点？这个多项式有什么特点？mcmbma相同因式相同因式m m 多项式中多项式中各项各项都含有都含有的的相同因式相同因式，叫做这个多叫做这个多项式的项式的公因公因式式。正确找出多项式各项公因式公因式的关键关键是：1 1、定系数定系数：公因式的系数是多项式各项系公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。数的最大公约数。 2 2、定字母定字母： 字母取多项式各项中都含有的字母取多项式各项中都含有的相同的字母。相同的字母。 3 3、定指数定指数： 相同字母的指数取各项中最小相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂的一个，即字母最低次幂 你知道吗？你知道吗？找一找找一找: 下列各多项式的下列各多项式的公因式公因式是什么？是什么？ （3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（-2xy）(1) 3x+6y(2)ab-2ac(3) a 2 - a 3(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)(5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2 指出下列各多项式中各项的公因式指出下列各多项式中各项的公因式 ax+ay-a （ ） 5x2y3-10 x2y （ ） 24abc-9a2b2 （ ） m2n+mn2 （ ） x(x-y)2-y(x-y) ( )a5x2y3abmnx-y由由m (a+b+c)=ma+mb+mc 可得可得ma+mb+mc= m (a+b+c)提公因式法：提公因式法：ma+mb+mc= m(a+b+c)这样把一个多项式这样把一个多项式ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式其中一个因式是各项的公因式m另一个因式另一个因式(a+b+c)是是m(a+b+c)除以除以m所得的商像这所得的商像这种分解因式的方法叫做提公因式法种分解因式的方法叫做提公因式法(1) 8a3b2 + 12ab3c例例1: 把下列各式分解因式把下列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步）分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步第一步: :找出公因式；找出公因式； 第二步第二步: :提取公因式提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。即将多项式化为两个因式的乘积。(2) 2a(b+c) - 3(b+c)注意：注意：公因式公因式既可以是一个既可以是一个单项式单项式的形式，的形式， 也可以是一个多项式的形式也可以是一个多项式的形式整体思想整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。是数学中一种重要而且常用的思想方法。把把12x2y+18xy2分解因式分解因式解：原式解：原式 =3xy(4x + 6y) 错误错误公因式没有提尽，公因式没有提尽，还可以提出公因式还可以提出公因式2 2注意：注意：公因式要提尽。公因式要提尽。诊断诊断正确解：正确解：原式原式=6xy(2x+3y)当多项式的某一项和公当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式因式相同时，提公因式后剩余的项是后剩余的项是1 1。错误错误注意：注意：某项提出莫漏某项提出莫漏1 1。解：原式解：原式 =x(3x-6y)把把3x2 - 6xy+x分解因式分解因式正确解：正确解：原式原式=3x.x-6y.x+1.x =x(3x-6y+1)提出负号时括号里的项提出负号时括号里的项没变号没变号错误错误诊断诊断把把 - x2+xy-xz分解因式分解因式解：原式解：原式= - x(x+y-z)注意：注意：首项有负常提负。首项有负常提负。正确解：正确解：原式原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z)如何检查因式分解是否正确？想一想在分解完因式后，按照整式在分解完因式后，按照整式乘法把因式再乘回去看结果乘法把因式再乘回去看结果是否与原式相等，是否与原式相等，如果如果相同相同就说明正确，就说明正确，否则否则就错了就错了(1) 2x2+3x3+x=x(2x+3x2)(2) 3a2c-6a3c=3a2(c-2ac)(3) 3x2+6x-3=3x(x+2)-31.1.下面的因式分解对吗下面的因式分解对吗? ?如果不对如果不对, ,应怎样改正应怎样改正? ?不对不对. 2x2+3x3+x=x(2x+3x2+1)不对不对.3a2c-6a3c=3a2c(1-2a)不对不对. 3x2+6x-3=3(x2+2x-1)下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样改正？下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样改正？( )()( )()( )()( )()xxxxxxa ca ca cacssss ssa babaab aba 232232322221 23232 3632324624644682238()xxx 2231()aac 2312()s ss2232()baab 22342选择题选择题 下列分解因式正确的个数为下列分解因式正确的个数为 ( )(1) 5y+20y = 5y(y+4y) (2) ab-2ab+ab = ab (a-2b) (3) a+3ab-2ac = -a (a+3b-2c) (4) -2x-12xy+8xy = - 2x(x+6y-4y3) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4A请在下列各式等号右边的括号前填入请在下列各式等号右边的括号前填入“+”+”或或“-”-”号，使等式成立：号，使等式成立：(1) 2-a= _ (a-2)(2) b+a=_ (a+b)(3) (b-a)2=_(a-b)2(4) -m-n=_ (m+n)(5) -s2+t2=_ (s2-t2)_+_ 括号前面是括号前面是“+”+”号，括到括号里的各项都不变号；号，括到括号里的各项都不变号； 括号前面是括号前面是“-”-”号，括到括号里的各项都要变号。号，括到括号里的各项都要变号。 n n 为偶数为偶数: :(a-b)(a-b)n n =(b-a)=(b-a)n nn n 为奇数为奇数: :(a-b)(a-b)n n=-(b-a)=-(b-a)n n例例4 把把2a(b+c)-3(b+c)分解因式分解因式例例5、把、把6(x-2)+x(2-x)分解因式。分解因式。(1) a(x-y)+b(y-x)(2) 6(m-n)3-12(n-m)2练习练习:把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(3) 2(a-b)2 - a+b (4) 2(a-b)2 - (b-a)3 2.2.利用因式分解进行计算利用因式分解进行计算(1) 2528 - 2512 - 256(2) 32006 - 532005 + 632004练习练习: 1、把、把-4x2+8ax+2x 分解因式分解因式 2、把、把-3ab + 6abx - 9aby分解因式分解因式4、分解因式、分解因式（y-x）（）（a-b+c）+（x-y）（）（b-a-c）5、把、把5（x-y）3+10（y-x）2分解因式。分解因式。6 6、把、把2(a2(ab) b) 2 2a+ba+b分解因式。分解因式。 7、下列各多项式中，能用提公因式法分解、下列各多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）因式的是（）A x2-yB x2+2x C x2+y2 D x2-xy+y28、先因式分解，再求值：、先因式分解，再求值：5x（a-2）+4x（2-a），其中），其中x=0.4,a=102.9.将下列各式分解因式：将下列各式分解因式：(1)、3x+6(2)、7x2-21x(3)、8a3b2c-12ab3c+abc(4)、-24x3-12x2+28x试一试 拓展应用 1. 20042+2004能被能被2005整除吗整除吗? 3, 5),7(3)7(422xaxxa其中、先分解因式，再求值 3. 计算计算: 7651722352 172 4.若x=-3,求20 x2-60 x的值想一想想一想(1) 能被100整除吗？99992能被哪些正整数整除啊能被哪些正整数整除啊?(2)2101+299能被能被5整除吗整除吗,为什么为什么?转化为有一因式为5的倍数(3)224-1能被能被63和和65整除吗整除吗?(4) 已知已知a= ，b = - ，你能求出，你能求出a2-2ab+b2的值吗？的值吗？941940(5)(5)若若x2+mxn能分解成能分解成(x2)(x5)，你能，你能求出求出m，n的值吗？的值吗？ 1+x+x(1+x)=(1+x)+x(1+x） =(1+x)(1+x)=(1+x)2从而从而1+x+x(1+x)+x (1+x)2= (1+x)2 +x (1+ x)2 = (1+x)2 (1+x)= (1+x)3 从上面的因式分解中，你发现什么规律了吗？由从上面的因式分解中，你发现什么规律了吗？由此你能分解下列多项式吗？猜一猜，试一试！此你能分解下列多项式吗？猜一猜，试一试！1） 1+x+x(1+x)+x (1+x)2 +x (1+x)3+x (1+x)42） 1+x+x(1+x)+x (1+x)2 + x (1+x)n 下列由左边到右边的变形，哪些是下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式分解因式,哪些不是，为什么？哪些不是，为什么？1、(2x1)2=4x24x+1；2、a2+a2=a(a+1- ) ；3、4x214xy+y2=(2x+1)(2x1) y(4xy)；4、x24x+4=(x+2)25、13a252=13(a+2)(a2)； 6、3x2+9xy3x=3x(x+3y1)a2(不是不是）(不是不是）(不是不是）(不是不是）（是是）(是是） (1) (m+n)(mn) x22xy+y2 (2) (xy)2 x2+5x+6 (3) (x+2)(x+3) xy-y2 (4)y(x-y) m2n2因式分解与整式的乘法是恒等变形因式分解与整式的乘法是恒等变形, 且互为逆过程且互为逆过程. 同学们，今天这节课你学会了什么？同学们，今天这节课你学会了什么？ 在学习过程中你有哪些收获？在学习过程中你有哪些收获？ 一个多项式中一个多项式中每一项每一项都含有的都含有的相同相同的因式，叫做这个多项式各项的的因式，叫做这个多项式各项的公因式公因式. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取提取出来进行因出来进行因式分解式分解 , 这种分解因式的方法叫做这种分解因式的方法叫做提取公因式法提取公因式法 用公因式去除这个多项式，用公因式去除这个多项式， 所得的所得的 商作为另一个因式商作为另一个因式提取公因式法的一般步骤：提取公因式法的一般步骤： 确定应提取的公因式确定应提取的公因式 把多项式写成这两个因式把多项式写成这两个因式 积积 的形式。的形式。 括号前面是括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；号，括到括号里的各项都不变号； 括号前面是括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。号，括到括号里的各项都要变号。
