山东省实验中学2013届高三第四次诊断性测试数学文试题.pdf

HLLYBQ整理供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”山东省实验中学2010级第四次诊断性测试数学试题（文科）（2013.02）说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）共两卷.其中第卷共 60 分，第卷共 90 分，两卷合计 150 分，答题时间为 120 分钟，不能使用计算器.第卷（选择题第卷（选择题共共 6060 分）分）一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 i 为虚数单位，若复数(a 1) (a 1)i 为实数，则实数a的值为A. -1B. 0C. 1D. 不确定2若集合P y | y 0，PQ Q，则集合Q不可能是Ay | y x2, x R RBy | y = 2x, xR RCy | y = | lg x |, x 0Dy | y = x- 3, x03函数y =1log0.5(4 x - 3)的定义域为A骣骣骣33桫 4,1B3桫 4,+C(1,+)D桫 4,1U (1,+)4在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为A92，2B92，2.8C93，2D93，2.85下列命题中，真命题是A$mR R，使函数f (x) = x2+ mx(xR R )是偶函数B$mR R，使函数f (x) = x2+ mx(xR R )是奇函数C mR R，函数f (x) = x2+ mx(xR R )都是偶函数D mR R，函数f (x) = x2+ mx(xR R )都是奇函数x 1,6若x, y R R，且x - 2 y + 30,则z = x + 2 y的最小值等于 y x,A2B3C5D97某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为1HLLYBQ整理供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”Ak 4 ?A75Bk 5?B60Ck 6 ?D30Dk 7 ?8已知锐角V ABC的面积为33，BC = 4, CA = 3，则角C的大小为C459直线l与圆x2+ y2+ 2x - 4 y + a = 0(a 0, b 0)的左焦点F (- c,0)( c 0)，作圆x + y=22a24的切线，切uuruuu ruuu r点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OP = 2OE - OF，则双曲线的离心率为A10B105C102D2f (x), f (x) k,f (x) =12设函数y =f (x)的定义域为R R，对于给定的正数k，定义函数k给k, f (x) k. 2出函数f (x) = - x + 4 x - 2，若对任意的x R R，恒有fk(x) =f (x)，则Ak的最大值为 2Ck的最大值为 1Bk的最小值为 2Dk的最小值为 12HLLYBQ整理供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”第卷（非选择题第卷（非选择题共共 9090 分）分）二、填空题： （本大题共有 4 个小题，每小题 4 分，共计 16 分.）13下图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm3的几何体的三视图，则h=cm.14某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标） ，所得数据都在区间5，40中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 100 根中，有根棉花纤维的长度小于 20mm.215 已知数列an， 函数y = x2(x 0)的图象在点(ak,ak)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+ 1，其中k N N* *，若a1= 16，则a1+ a3+ a5的值是 .16已知向量a a = (1,2), b b = (1,1)且a a与a a + l b b的夹角为锐角，则实数l的取值范围是 .三、解答题： （本大题共有 6 个小题，共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）17 （本小题满分 12 分）已知向量a a = (cos x,sin x), b b = (3 cos x,cos x)，若f (x) = a a ?b b（1）求函数f (x)的最小正周期和图象的对称轴方程；-（2）求函数f (x)在区间5pp,上的值域.12123.18 （本小题满分 12 分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1 的小球 1 个，标号为 2 的小球n个.已知从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号是2 的小球的概率是（1）求n的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a + b = 2” ，求事件A的概率；在区间0，2内任取两个实数x, y，求事件“x + y (a - b)恒成立”的概率.19 （本小题满分 12 分）322212.HLLYBQ整理供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”如图，在四棱锥P -ABCD中，PD 底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD = DC , E, F分别是AB , PB的中点.（1）求证：EF CD ;（2）若线段AD上存在点G，使GF 平面PCB，请确定G位置，并证明你的结论.20 （本小题满分 12 分）已知正项数列an的前n项和为Sn,a1=列bn满足bn= log1an(nN*N* ).212.当且n N N * *时， 点(Sn, Sn+ 1)在直线y = 2 x +12上， 数（1）求数列an的通项公式an；（2）设数列bnan的前n项和为Tn.求Tn.21 （本小题满分 12 分）设椭圆C1和抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：x3-24222y- 230-4（1）求曲线C1,C2的标准方程；（2）是否 存在过 抛物线C2的焦点F的直线l，使得l与椭圆C1交于不同 两点M、N，且uuuruuurO M ?O N0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.22 （本小题满分 14 分）已知函数f (x) = ln( x - 1) - k(x - 1) + 1.（1）求函数f (x)的单调区间；（2）若f (x) 0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：ln 23+ln 34+ln 45+ 鬃 ?ln nn + 1 1).4HLLYBQ整理供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”数学试题（文科）参考答案选择题ADDBABABACCB填空题13. 414. 3015. 2116.-17. 解： （1）f (x) = a a ?b b323 =骣5,0U (0, +).桫 323 cosx + sin x cos x +3=c o s 2 x +12s i n x + 2323x= s i n2 +1 2骣桫33+. T =32和 x= k+72 z= ，图象的对称轴方程为x =k+轹5(k Z Z ).6 分1 2（2）由于区间 -的长度为，为半个周期.21212,又f (x)在-51212,处分别取到函数的最小值332- 1，最大值332+ 1，所以函数f (x)在区间轹轹53333.12 分- 1,+ 1-,上的值域为21212218. 解： （1）由题意可知：n1+ 1+ n=12，解得n = 24 分（2）两次不放回抽取小球的所有基本事件为： （0，1） ， （0，21） ， （0，22） ，（1，0） ， （1，21） ， （1，22） ， （21，0） ， （21，1） ， （21，22） ， （22，0） （22，1） ， （22，21） ，共 12 个,事件A包含的基本事件为： （0，21） ， （0，22） ， （21，0） ， （22，0） ，共 4 个.P( A) =2224123= 1.8 分22记“x + y (a - b)恒成立”为事件B，则事件B等价于“x + y 4，”(x , ) y可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域W= ( x, y) | 0 x52, 0 y2, x, yR R，HLLYBQ整理供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”而事件B所构成的区域B = ( x, y) | x2+ y2 4, x, y 蜽 ，如图，则P(B) =S阴S正方形 D ABC= 1-4.12 分19. 证明： （1）由于底面ABCD为正方形，AD CD，又PD 平面ABCD，PD CD，又Q E , F分别是AB，PB的中点，EFAP，EF CD.5 分（2）如图，设AD的中点为G，BD的中点为O，连结OF ,OG , PG ,GB ,GF.Q O、F、G分别是BD、PB、AD的中点，FOPD，GOAB，Q AB BD , GO BC，Q PD 平面ABCD , FOPD，FO 平面ABCD , GF BC.设PD = DC = a，则PG =PD2+ DG2=52a，GB =AB2+ AG2=52a，PG = GB，又F是PB的中点， GF PB , GF 平面PCB.20. 解： （1）当n 2且n N N* *时，点(Sx +1n- 1, Sn)在直线y = 22上，2Sn= 4Sn- 1+ 12Sn+ 1=4Sn+1n (N N* *)由-得：an+ 1= 2an?an+ 1a2( n 澄2, nN N* *)n由2S2= 4S1+ 1得2( a1+ a2) = 4a1+ 1又a11=2,a2= 1,a2a= 2，1数列a1n是以2为首项，2 为公比的等比数列.an- 2n= 2.（2）Q blog1n=2a- 2n= log122n= 2 - nbna=2 - n, T10-n- 2n=n21+1+12+ 鬃 ?3- n2 - n2n- 3+2n- 2212T10- 13- n2 - nn=1+2+22+ 鬃 ?2n- 2+2n- 1612 分6 分HLLYBQ整理供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”由-得： Tn=2n12Tn= 2 -2- n11-12-122- 鬃 ?12n- 2-2 - n2n- 1=12n- 2-2 - n2n- 1.= n 2.12 分2n- 121. 解： （1）由题意（-2，0）一定在椭圆C1上.设Cx221方程为a2+yb2= 1(a b 0)，则a = 2椭圆C1上任何点的横坐标| x | 2.骣所以22,也在C= 1桫21上，从而b2Cx221的方程为4+ y= 1从而(3, - 23)， （4，-4）一定在C2上，设C2的方程为y2= 2 px ( p 0)p = 2.即C22的方程为y= 4x.（2）假设直线l过C2的焦点F (1,0).骣当l的斜率不存在时，则M珑珑3鼢骣3珑鼢珑1, N 1,桫2鼢鼢-桫2.uuuruuu r此时OM ?ON1-34=140，与已知矛盾.当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y = k(x - 1)代入C1方程并整理得：(1+ 4k2)x2- 8k2x + 4k2- 4 = 0.设M (x1, y1), N (x2, y2)，2则x1+ x42=8k21+ 4k2, x1x2=4k-1+ 4k22y21y2= k(x1- 1)k(x2- 1) = k (x1x2-x1-x3k2+ 1) =-1+ 4k2uuur uuu rQ OM ?ON0, x21x2+ y1y2= 0, k - 4 = 0, k =2存在符合条件的直线l且方程为y = ? 2( x1)，即y = 2x - 1或y = - 2x + 1.75 分分12HLLYBQ整理供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”22.（1）解：函数f (x)的定义域为(1,+ ? ), f(x)当k 0时，Q x - 1 0, 1x - 11x - 1- k. 0, f(x) 0，则f (x)在(1,+)上是增函数.1- k = 0，得x = 1+1k当k 0时，令f(x) = 0，即骣桫x - 1.当x ?1,111时，f (x) =- k x - 1k1+11k- 1骣1上是增函数；- k = 0，则f (x)在1,1 +桫k当x ?1骣桫1时，f(x) =,+- k 0时，f (x)在1,1 +骣桫轹11上是增函数，在上是减函数.5 分 1+,+kk（2）解：由（1）知，当k 0时，f (2) = 1- k 0不成立，故只考虑k 0的情况.又由（1）知f (x)max=f (1+1k) = - ln k，要使f (x) 0恒成立，只要f (x)max 0即可.由- ln k0，得k 1.9 分（3）证明：由（2）知当k = 1时，有f (x) 0在(1,+)内恒成立，又f (x)在2, +)内是减函数，f (2) = 0，x ? (2,)时，有f (x) 0恒成立，2* *即ln( x - 1) x - 2在(2, +)内恒成立.令x - 1 = n (n ? N N , 且 n221.)则ln n n - 1，即2 ln n (n - 1)( n + 1)，ln nn + 1n - 12(n ? N N ,且n* *1).ln 23+ln 34+ln 45+ 鬃 ?ln nn + 112+22+32+ 鬃 ?n - 12* *=n(n - 1)4，即ln 23+ln 34+ln 45+ 鬃 ?ln nn + 1n(n - 1)4(n ? N N ,且n1)成立.14 分8