山东省实验中学第四次诊断性考试数学试题.pdf

山东省实验中学第四次诊断性考试试题一、单项选择题（本大题共8 8 小题，共 4040 分分）1.设集合，则集合 M与集合 P 的关系是A.2.已知实数B.，C.D.，则下列不等式恒成立的是A.3.已知B.C.D.，是边长为 4 的等边三角形，D、P 是，则的面积为内部两点，且满足A.4.B.C.D.的展开式中，x 的奇次幂项的系数之和为A.5.已知B.，且C.，则D.1A.16.已知函数B.若C.D.，则 x的取值范围A.C.B.D.为顶点，且离心率为，则 k的值为内， 函数，过7.已知双曲线的左、右顶点为，焦点在 y轴上的椭圆以A 作斜率为 k 的直线 l交双曲线于另一点 M，交椭圆于另一点 N，若A.8.已知函数满足B.， 当C.D.， 若在区间有三个不同零点，则实数a 的取值范围是A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4 4 小题，共 20 分）9.给出下列命题，其中正确命题为第 1 页，共 11 页A.在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B.随机变量 X服从正态分布C.，则D.“A与 B 是互斥事件”是“A与 B 互为对立事件”的必要不充分条件10. 已知，下面结论正确的是，使得在在，且的最小值为，则A.若B.存在C.若D.若11. 正方体动，且满足的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y 轴对称上运上恰有 7个零点，则的取值范围是上单调递增，则的取值范围是中，E是棱平面的中点，F在侧面以下命题正确的有，椭圆的上顶点为与A.侧面B.直线C.平面上存在点 F，使得与直线 BC所成角可能为与平面所成锐二面角的正切值为D.设正方体棱长为 1，则过点 E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为12. 已知椭圆M， 且的一个交点，若：双曲线的左、右焦点分别为和椭圆，离心率为有相同的焦点， 且双曲线的离心率为P 为曲线，则下列等式正确的是A.B.C.D.三、填空题（本大题共4 4 小题，共 2020 分）13. 已知条件 p：，条件q：向量，的夹角为锐角若p是 q的充分不必要条件，则实数 a的取值范围为_14. 设等比数列15. 如果圆的方程为的公比，前 n项和为，则_，则当圆面积最大时，圆心为_ 第 2 页，共 11 页16. 过曲线B，设，上一点 P 作该曲线的切线 l，l 分别与直线的面积分别为，则_，y 轴相交于点 A，的取值范围是_四、解答题（本大题共6 6 小题，共 7070 分）17. 在条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答在求18. 已知数列满足，且的通项公式中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，的面积，求证：数列令19. 如图，在三棱柱是等差数列，并求出数列，求数的前 n 项和中，侧面是菱形，E是棱的中点，F在线段 AC 上，且证明：若面，面；面，求二面角的余弦值第 3 页，共 11 页20. 2018年 8 月 16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话 会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全 因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵 国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效 某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未注射疫苗注射疫苗总计未感染病毒4060100感染病毒pq100总计xy200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 求能否有列联表中的数据 p，q，x，y的值；把握认为注射此种疫苗有效？在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取 3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2 只为未注射疫苗的小白鼠的概率附：，第 4 页，共 11 页21. 已知函数，求函数令的单调区间；，若在恒成立，求整数 a 的最大值参考数据：，22.已知椭圆 C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点求椭圆 C 的方程；直线 l过点，且与椭圆 C交于 P，Q两点，求的内切圆面积的最大值与椭圆 C在第一象限内的交点是 M，点M在 x，且，椭圆 C 另一个焦点是第 5 页，共 11 页1.D2.C3.A4.A5.A6.B7.A8.B9.BD10.BCD11.AC12.BD13.a 214.1515.(0,1)16.2；(0,2)17.【答案】解：若选：由正弦定理得 ( + )( ) = ( )，即2+ 2 2= ，所以 =2+2223=2= ，21因为 (0,)，所以 =3，又2= 2+ 2 = ( + )2 3， = 26， + = 6，所以 = 4，所以=2 =2 4 sin3= 3若选 ：由正弦定理得： = ( +6).因为0 ，所以 0， = cos( +6)，化简得 = ，223即 =，因为0 ，所以 =633111又因为2= 2+ 2 26，所以 =(+)222+31=62(26)22+31，即 = 24 123，1所以=2 =2 (24 123) 2= 6 33若选 ：由正弦定理得+2= ，因为0 ，所以 0，所以sin+2= ，又因为 + = ，所以cos2= 22cos2，第 6 页，共 11 页因为0 ，0 sin=，=，2226所以 =312，所以cos 0，22又2= 2+ 2 = ( + )2 3， = 26， + = 6，所以 = 4，所以=2 =2 4 sin3= 318.解：(1)证明：+1+ 1 =可得1+1+111+1+2， 1且1= 1，= 1 +1+11，数列即有1是首项为 ，公差为 1的等差数列，+12=+ 1 =212121+1，则=21；(2)=则1+1321+1=2124，11=(21)(2+1)= 2(212+1)，11111可得前 n项和= 2(13+35+ +212+1)= 2(112+1) =42+119.如图，在三棱柱 111中，侧面11是菱形，1= 60，E是棱1的中点， = ，F在线段 AC上，且 = 2(1)证明：1/面1；(2)若 ，面 面11，求二面角 1 的余弦值第 7 页，共 11 页解：(1)连接1交1于点 G，连接 FG1因为 1 1，所以= 2，11又因为= 2，所以=，所以/1，1又1面1， 面1，所以1/面1(2)过 C 作 于 O，因为 = ，所以 O是线段 AB的中点因为面 面11，面 面11= ，所以 面1.连接1，因为 1是等边三角形，O 是线段 AB的中点，所以1 如图以 O 为原点，,1,分别为 x 轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标不妨设 = 2，则(1,0，0)，1(0,3,0)，(0,0，1)，(1,0，0)，(3,0,3)，123 3331 = (3,3,3);由1 = ( ,0)，1=1，得(2,3,0)，1的中点( ,0)，222212 设面1的一个法向量为1= (1,1,1)，1 3 + 1= 01 331= 0则，即3，31 = 01= 0221211= 1得方程的一组解为1= 3，即 1= (1,3,5)1= 5 面1的一个法向量为2= (0,0,1)，则cos 1,2= 12| |1|2=52929529293所以二面角 1 的余弦值为20.解：()从未注射疫苗的小白鼠中任取1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为5，则未感染的为5，即5 = 40，解得 = 100，22第 8 页，共 11 页 = 100 40 = 60； = 100 60 = 40， = 100；()由列联表中数据，计算2=200(40406060)2100100100100= 8 10.828，没有99.9%把握认为注射此种疫苗有效；()在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5 只，未注射疫苗的有 3只，记为 a、b、c，注射疫苗的有 2只，记为 D、E，从这 5 只小白鼠中随机抽取3只，基本事件为：abc、abD、abE、acD、acE、aDE、bcD、bcE、bDE、cDE共 10种不同的取法，则至少抽到 2只为未注射疫苗的基本事件是abc、abD、abE、acD、acE、bcD、bcE共 7种，故所求的概率为 =1021.解：(1)函数()的定义域为(0,+)且() = + (2+ ) =21122(2+1)+7=()(21)，当 0得0 2，所以 0时，()的单调增区间为(0,2)，单调减区间为(2,+);当0 0得0 2，可知()的单调增区间为(0,)和(2,+).单调减区间为(,2).当 =2时，() 0恒成立，此时()的单调增区间为(0,+)，无单调递减区间：当 2时，令() 0得0 ，此时()的单调递增区间为(0,2)和(,+)，单调减区间为(2,)(2)() = () 2= ln (2+ 1)，则() 1 2 1)恒成立,( 1), () =1ln 1(ln)21，令() = ln 1，( 1)，可知()在(1,+)单调递增，且(3) 0，所以0 (3,4)，使得(0) = ln0 1 = 0，01从而()在(1,0单调递减，在0,+)单调递增，第 9 页，共 11 页所以1ln，因为 1)恒成立，所以，故整数 a的最大值为 322.解：(1)设椭圆方程为32222= 1( 0)，点 M在直线 =2上，且点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点2(,0)，点(,2)，33 9 由1 2=4，1= (2, 2) ,2= (0, 2)，9243= ，解得 = 1，41992= 1又242，解得2= 4， = 32= 21椭圆方程为：2423= 1；(2)由(1)知1(1,0)，过点1(1,0)的直线与椭圆 C交于 P，Q两点，则 2的周长为4 = 8，又2=2 4 (为三角形内切圆半径)，当 2的面积最大时，其内切圆面积最大，设直线 l方程为： = 1，(1,1)，(2,2)， = 1则22，消去 x 得(432)2 6 9 = 0，= 1431 12=3241 2= 196，1221324324 2=2 |12| |1 2| =令21 = ，则 1， 2=1231，1令() = 3，() = 32，1第 10 页，共 11 页当 1,+)时，() 0，() = 3 +在1,+)上单调递增， 2=123+11 3，当 = 1时取等号，即当 = 0时， 2的面积最大值为 3，结合2=2 4 = 3，得 r的最大值为4，13内切圆面积的最大值为916第 11 页，共 11 页