排列组合问题的解题策略.ppt

2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学12022年8月27日星期六襄樊一中高二数学22、合理分类和准确分步、合理分类和准确分步5、定序问题、定序问题6、分房问题、分房问题7、环排、环排、10、先选后排问题、先选后排问题9 9、平均分组问题、平均分组问题11、构造模型策略、构造模型策略8、实验法（枚举法）、实验法（枚举法）13、其它特殊方法、其它特殊方法排列组合应用题解法综述排列组合应用题解法综述（目录）（目录）2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学3排列组合应用题解法综述2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学4基基本本原原理理组合组合排列排列排列数公式排列数公式组合数公式组合数公式组合数性质组合数性质应应用用问问题题 知识结构网络图：知识结构网络图：2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学5 名称名称内容内容分类原理分类原理分步原理分步原理定定 义义相同相同点点不同不同点点两个原理的区别与联系：两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接（直接（分类分类）完成）完成间接（间接（分步骤分步骤）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法，类办法，第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步骤，个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学61. 1.排列和组合的区别和联系：排列和组合的区别和联系：名名 称称排排 列列组组 合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性质 ，mnAmnC(1)(1)mnAn nnm!()!mnnAnm!0!1nnAn!)1()1(mmnnnCmn )!( !mnmnCmn 10 nCmmmnnmACAmnnmnCC 11 mnmnmnCCC从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数11mmnnAnA2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学7:1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还即采取分步还 是分类是分类,或是分步与分类同时进行或是分步与分类同时进行,确定分多确定分多 少步及多少类。少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题(有序有序)还是还是 组合组合(无序无序)问题问题,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多 少个元素少个元素.解决排列组合综合性问题，往往类与步交解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略叉，因此必须掌握一些常用的解题策略2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学8判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3个元素的子集有多少个个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票共需准备多少种车票? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次握手相互问候，共需握手多少次?组合问题组合问题(5)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个安排游览个安排游览,有有多少种不同的方法多少种不同的方法?组合问题组合问题(6)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个个,并确定这并确定这2个风景点个风景点的游览顺序的游览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学9总的原则总的原则合理合理分类和分类和准确准确分步分步 解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。明确，分步层次清楚，不重不漏。解解 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例例1 6个同学和个同学和2个老师排成一排照相，个老师排成一排照相， 2个个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？尾，共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，则剩下的）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有人可自由安排，有 种方法种方法.55A2) 若甲在第若甲在第2、3、6、7位，则位，则排尾的排法有排尾的排法有 种，种，1位的排法位的排法有有 种种, 第第2、3、6、7位的排法有位的排法有 种种，根据分步计数，根据分步计数原理，不同的站法有原理，不同的站法有 种。种。14A14A44A441414AAA再安排老师，有再安排老师，有2种方法。种方法。.(1008)(244141455种）AAAA2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学10把握分类原理、分步原理是基础把握分类原理、分步原理是基础例例2 如图，某电子器件是由三个电如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路阻组成的回路,其中有其中有6个焊接个焊接点点A，B，C，D，E，F，如果某，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了路不通了, 那么焊接点脱落的可能性共有（那么焊接点脱落的可能性共有（ ） A.63种种 B.64种种 C.6种种 D.36种种分析分析:由加法原理可知由加法原理可知12666663CCC由乘法原理可知：由乘法原理可知：2 22 22 22 22 22-1=632-1=632022年8月27日星期六襄樊一中高二数学11（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？且能被五整除的五位数？练练 习习 1分类：个位数字为分类：个位数字为5或或0：个位数为个位数为0：45A个位数为个位数为5：216341445 AAA3414AA 2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学12（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字且大于字且大于31250的五位数？的五位数？分类：分类：引申引申1：31250是由是由0，1，2，3，4，5组成的无重组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？复数字的五位数中从小到大第几个数？3251231234134512 AAAAAA2753254515 AA27512212233445 AAAA方法一：（排除法）方法一：（排除法）方法二：（直接法）方法二：（直接法）引申引申2：由：由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的组成的无重复数字的五位数中大于五位数中大于31250，小于，小于50124的数共有多少个？的数共有多少个？(2004 全国全国12) 在由数字在由数字1，2，3，4，5组成的所有组成的所有没有重复的没有重复的5位数中，大于位数中，大于23145且小于且小于43512的的数共有（数共有（ ）个）个582022年8月27日星期六襄樊一中高二数学13合理分类与分步策略例例3.3.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员, ,其中其中8 8人能唱人能唱歌歌,5,5人会跳舞人会跳舞, ,现要演出一个现要演出一个2 2人唱歌人唱歌2 2人伴舞的人伴舞的节目节目, ,有多少选派方法有多少选派方法? ?解： 1010演员中有演员中有5 5人只会唱歌，人只会唱歌，2 2人只会跳舞人只会跳舞 3 3人为全能演员。人为全能演员。 以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人员为标准进行研究选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种，由分类计数种，由分类计数原理共有原理共有_种。种。2233CC112534CCC2255CC2233C C112534C C C2255C C+ + +2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学14解含有约束条件的排列组合问题，可按元素解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。始终。2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学15有不同的数学书有不同的数学书7本，语文书本，语文书5本，本，英语书英语书4本，由其中取出不是同一本，由其中取出不是同一学科的书学科的书2本，共有多少种不同的本，共有多少种不同的取法？取法？（75 + 74 + 54 = 83）2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学16（4）（）（2005福建福建理）从理）从6人中选人中选4人分别到巴黎、伦人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） A300种种B240种种 C144种种 D96种种B（直接法）分三种情况：（直接法）分三种情况：情况一情况一,不选甲、乙两个去游览不选甲、乙两个去游览:则有则有 种选择方案种选择方案,情况二情况二:甲、乙中有一人去游览：有甲、乙中有一人去游览：有 种选择方案种选择方案;情况三情况三：甲、乙两人都去游览甲、乙两人都去游览,有有 种选择方案种选择方案,综上不同的选择方案共有综上不同的选择方案共有 + + =240 11332343C C C A22132433C C C A44A11332343C C C A22132433C C C A44A（间接法）个）(240353546AAA1345A A2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学171.从从4名男生和名男生和3名女生中选出名女生中选出4人参加某个座人参加某个座 谈会，若这谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有不同的选法共有_ 练习题2. 3成人成人2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1号船最多乘号船最多乘3人人, 2 号船最多乘号船最多乘2人人,3号船只能乘号船只能乘1人人,他们任选他们任选 2只船或只船或3只船只船,但小孩不能单独乘一只船但小孩不能单独乘一只船, 这这5人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法.2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学182022年8月27日星期六襄樊一中高二数学19例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数. 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_13C13C14C14C34A34A由分步计数原理得由分步计数原理得=28813C14C34A2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学20“特殊元素、特殊位置优先安排法特殊元素、特殊位置优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。素，再考虑其它元素。 例例2 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为又因为0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，应优元素，应优先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；排在末尾和不排在末尾分为两类；1) 0排在末尾时，有排在末尾时，有 个；个；2) 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有十位有 个；个；由分类计数原理，共有偶数由分类计数原理，共有偶数 30 个个.2A4111233A A AB解题技巧解题技巧2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学21学生要从六门课中选学两门：学生要从六门课中选学两门： （1）有两门课时间冲突，不能）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种选法？同时学，有几种选法？ （2）有两门特别的课，至少选）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？学其中的一门，有几种选法？2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学2214141224CCC解法一：14126C解法二： （1）有两门课时间冲突）有两门课时间冲突,不能不能同时学，有几种选法？同时学，有几种选法？2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学239221412CCC解法一：解法一：92426CC解法二：解法二： （2）有两门特别的课，至少）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？选学其中的一门，有几种选法？2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学24特殊元素（或位置）优先安排特殊元素（或位置）优先安排例例 将将5 5列车停在列车停在5 5条不同的轨道上，其中条不同的轨道上，其中a a列车列车不停在第一轨道上，不停在第一轨道上，b b列车不停在第二轨道上，列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（那么不同的停放方法有（ ）（A A）120120种种 （B B）9696种种 （C C）7878种种 （D D）7272种种解：解：4113433378AAAA782334455AAA2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学251.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若两种若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？问有多少不同的种法？25451440A A练习题2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学26 （1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数？无重复数字的五位数？1455600AA（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重可组成多少个无重复数字的五位奇数？复数字的五位奇数？113344288AAA练练 习习2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学27（3）(2005 北京北京文文)五个工程队承建某项工程的五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中项，其中甲工程队不能承建甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方号子项目，则不同的承建方案共有（案共有（ ）种。）种。（4）(2005 全国全国II 理理)在由数字在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被所组成的没有重复数字的四位数中，不能被整除的数共有整除的数共有_个个 解：不能被解：不能被5整除的有两种情况：情况整除的有两种情况：情况1、首位为、首位为5有有 种，情况种，情况2、首位不是、首位不是5的有的有 种，故在由数字种，故在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，所组成的没有重复数字的四位数中，不能被整除的数共有不能被整除的数共有 + =192(个个) 1244AA112434AAA1244AA112434AAA1444A A1922022年8月27日星期六襄樊一中高二数学282022年8月27日星期六襄樊一中高二数学29例例. 7. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法55A22A22A=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。 . .2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学30解解 因为女生要排在一起因为女生要排在一起, ,所以可以将所以可以将3 3个女生看成个女生看成是一个人是一个人, ,与与5 5个男生作全排列个男生作全排列, ,有有 种排法种排法, ,其中女生其中女生内部也有内部也有 种排法种排法, ,根据乘法原理根据乘法原理, ,共有共有 种不同的种不同的排法排法. .例例 5 5个男生个男生3 3个女生排成一排个女生排成一排,3,3个女生要排在一起个女生要排在一起, ,有多少种不同的排法有多少种不同的排法? ? 33A66A6363A A结论结论 捆绑法捆绑法: :要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题, ,可以用捆绑法来解决问题可以用捆绑法来解决问题. .即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个元素, ,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列, ,同时要注意合同时要注意合并元素内部也可以作排列并元素内部也可以作排列. .分析分析 此题涉及到的是排队问题此题涉及到的是排队问题, ,对于女生有特殊的限对于女生有特殊的限制制, ,因此因此, ,女生是特殊元素女生是特殊元素, ,并且要求她们要相邻并且要求她们要相邻, ,因此因此可以将她们看成是一个元素来解决问题可以将她们看成是一个元素来解决问题. .2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学31某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中恰好有枪命中恰好有3 3枪连在一起的情形的不同种数为（枪连在一起的情形的不同种数为（ ）练习题202022年8月27日星期六襄樊一中高二数学32有有8本互不相同的书本互不相同的书,其中数学书其中数学书3本本,外文书外文书2本本,其他书其他书3本本.若将这些书排若将这些书排成一列放在书架上成一列放在书架上,则数学书恰好排则数学书恰好排在一起在一起,外文书也恰好排在一起的排外文书也恰好排在一起的排法共有法共有_ 种种 (结果用数结果用数 值表示值表示).2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学3355A第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 46A由分步计数原理由分步计数原理, ,节目的节目的不同顺序共有不同顺序共有 种种55A46A相相相相独独独独独独2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学34不相邻问题不相邻问题插空法插空法 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。之间及两端的空隙之间插入即可。例例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分别有多少种站法？分析：可先让其余分析：可先让其余4人站好，共有人站好，共有 种排法，再在种排法，再在这这4人之间及两端的人之间及两端的5个个“空隙空隙”中选三个位置让甲、中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有乙、丙插入，则有 种方法，这样共有种方法，这样共有 种不种不同的排法。同的排法。44A35A3544AA2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学35某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目. .如果如果将这两个新节目插入原节目单中，且两将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（为（ ）30练习题2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学36（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？生各站一起，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，三个男生，四个女生排成一排，男生之间、男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？女生之间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：捆绑法：443322AAA 4433AA 插空法：插空法：（3）(2005 辽宁辽宁)用、用、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共有有_个（用数字作答）个（用数字作答） 练练 习习2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学37(3)(2005 辽宁辽宁)用、用、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共有这样的八位数共有_个（用数字作答）个（用数字作答） 将与，与，与捆绑在一起排成一列将与，与，与捆绑在一起排成一列有有 种，再将、插入种，再将、插入4个空位中的两个个空位中的两个有有 种，故有种，故有 种种 482333A1224A5761248引申引申:用、组成没有重复数字用、组成没有重复数字的六位数，要求与相邻，与相邻，与的六位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，现将相邻，现将7、8 插进去，仍要求与相邻，与插进去，仍要求与相邻，与相邻，与相邻，那么插法共有相邻，与相邻，那么插法共有_种种（用数字作答）（用数字作答） 2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学38“相邻相邻”用用“捆绑捆绑”，“不邻不邻”就就“插空插空”例例 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种）种960960种种 （B B）840840种种 （C C）720720种种 （D D）600600种种解：解：242245960AAA另解：另解：251254960AAA2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学39练习练习 某城新建的一条道路上有某城新建的一条道路上有1212只路灯，为了节只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）（A A） 种（种（B B） 种种 （C C） 种种 （D D） 种种38C38A39C311C解：38C2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学40例例 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票1212张。张。8 8个学生，个学生，4 4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？相邻，共有多少种不同的坐法？解解 先排学生共有先排学生共有 种排法种排法, ,然后把老师插入学生然后把老师插入学生之间的空档，共有之间的空档，共有7 7个空档可插个空档可插, ,选其中的选其中的4 4个空档个空档, ,共共有有 种选法种选法. .根据乘法原理根据乘法原理, ,共有的不同坐法为共有的不同坐法为 种种. .88A47A8487A A结论结论 插入法插入法: :对于某两个元素或者几个元素要求不对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题相邻的问题, ,可以用插入法可以用插入法. .即先排好没有限制条件即先排好没有限制条件的元素的元素, ,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可素的空档之中即可. .分析分析 此题涉及到的是不相邻问题此题涉及到的是不相邻问题, ,并且是对老师有特殊并且是对老师有特殊的要求的要求, ,因此老师是特殊元素因此老师是特殊元素, ,在解决时就要特殊对待在解决时就要特殊对待. .所涉及问题是排列问题所涉及问题是排列问题. .2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学41小结：小结：以元素相邻为附加条件的以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即应把相邻元素视为一个整体，即采用采用“捆绑法捆绑法”；以某些元素不；以某些元素不能相邻为附加条件的能相邻为附加条件的, ,可采用可采用“插空法插空法”。“插空插空”有同时有同时“插空插空”和有逐一和有逐一“插空插空”, ,并并要注意条件的限定要注意条件的限定. .2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学422022年8月27日星期六襄樊一中高二数学43例例4.74.7人排队人排队, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:( (除除法法) )对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题, ,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列, ,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数, ,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是： 7733AA（空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法。方法。 47A147A思考思考: :可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗? ?顺序固定问题用顺序固定问题用“除法除法”2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学44例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等，将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？顺序固定问题用顺序固定问题用“除法除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有所以共有 种。种。 473377AAA分析：先在分析：先在7个位置上作全排列，有个位置上作全排列，有 种排法。其中种排法。其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮到高”排，只有一种顺序故排，只有一种顺序故 只只对应一种排法，对应一种排法，33A77A2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学45（插入法插入法) )先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人, ,共有共有1 1种排法种排法, ,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4 4* *5 5* *6 6* *7 7练习题1010人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人, ,要要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学46例例 期中安排考试科目期中安排考试科目9 9门门, ,语文要在数学之前考语文要在数学之前考, ,有有多少种不同的安排顺序多少种不同的安排顺序? ?解解 不加任何限制条件不加任何限制条件, ,整个排法有整个排法有 种种,“,“语文安排语文安排在数学之前考在数学之前考”, ,与与“数学安排在语文之前考数学安排在语文之前考”的排法的排法是相等的是相等的, ,所以语文安排在数学之前考的排法共有所以语文安排在数学之前考的排法共有 种种. .99A9921A分析分析 对于任何一个排列问题对于任何一个排列问题, ,就其中的两个元素来讲就其中的两个元素来讲的话的话, ,他们的排列顺序只有两种情况他们的排列顺序只有两种情况, ,并且在整个排列并且在整个排列中中, ,他们出现的机会是均等的他们出现的机会是均等的, ,因此要求其中的某一种因此要求其中的某一种情况情况, ,能够得到全体能够得到全体, ,那么问题就可以解决了那么问题就可以解决了. .并且也避并且也避免了问题的复杂性免了问题的复杂性. .2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学472022年8月27日星期六襄樊一中高二数学48住店法住店法解决解决“允许重复排列问题允许重复排列问题”要注意区分两类元素：要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作的元素看作“客客”，能重复的元素看作，能重复的元素看作“店店”，再利，再利用乘法原理直接求解。用乘法原理直接求解。例例10 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（人获得，获得冠军的可能的种数有（ ）A. B. C D.分析：因同一学生可以同时夺得分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作将七名学生看作7家家“店店”，五项冠军看作，五项冠军看作5名名“客客”，每个，每个“客客”有有7种住宿法，由乘法原理得种住宿法，由乘法原理得 种。种。注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？呢？57577557A57C75用分步计数原理看，用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。是步骤数，自然是指数。A2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学49重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例. .把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法. .7 7把第二名实习生分配把第二名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种分种分法，法，依此类推依此类推, ,由分步计由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法67允许重复的排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种n nm m2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学501. 1. 某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节目个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目单，开演前又增加了两个新节目. .如果将这两个如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ） 422. 2. 某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯, ,下电梯的方法下电梯的方法（ ）87练习题2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学512022年8月27日星期六襄樊一中高二数学52环排问题线排策略环排问题线排策略例例6. 56. 5人围桌而坐人围桌而坐, ,共有多少种坐法共有多少种坐法? ? 解：解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人圆形没有首尾之分，所以固定一人A A并从并从 此位置把圆形展成直线其余此位置把圆形展成直线其余4 4人共有人共有_ 种排法即种排法即 44AA AB BC CE ED DD DA AA AB BC CE E（5-1)5-1)！1mnmA2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学53练习题6 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？1202022年8月27日星期六襄樊一中高二数学54例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排. 先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排24A14A55A24A55A14A一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学55有两排座位，前排有两排座位，前排1111个座位，后排个座位，后排1212个座位，现安排个座位，现安排2 2人就座规定前排人就座规定前排中间的中间的3 3个座位不能坐，并且这个座位不能坐，并且这2 2人人不左右相邻，那么不同排法的种数不左右相邻，那么不同排法的种数是是_346练习题2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学562022年8月27日星期六襄樊一中高二数学57例例9.9.用用1,2,3,4,51,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹其中恰有两个偶数夹1,1,在两个奇数之在两个奇数之 间间, ,这样的五位数有多少个？这样的五位数有多少个？解：把解：把,当作一个小集团与排队当作一个小集团与排队共有共有_种排法，再排小集团内部共有种排法，再排小集团内部共有_种排法，由分步计数原理共有种排法，由分步计数原理共有_种排法种排法.22A2222A A2222A A22A31524小集团小集团小集团排列问题中，先整体后局小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。部，再结合其它策略进行处理。2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学58.计划展出计划展出10幅不同的画幅不同的画,其中其中1幅水彩画幅水彩画,幅油画幅油画,幅国画幅国画, 排成一行陈列排成一行陈列,要求同一要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为端，那么共有陈列方式的种数为_2. 5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相邻男生相邻,女女生也相邻的排法有生也相邻的排法有_种种255255A A A254254A A A2022年8月27日星期六襄樊一中高二数学59元素相同问题隔板策略元素相同