2020年高考理科数学全国卷3含答案.docx

-绝密启用前I (t ) =K1+ e-0 . 2(3t -，其中 K 为最大确诊病例数.当 I (t* ) = 0.95K 时，标志着已初步遏5) 3在2020 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷理科数学注意事项：制疫情，则t* 约为（ ln193 ）( )A.60B.63C.66D.695. 设 O 为坐标原点， 直线 x = 2 与抛物线 C : y2 = 2 px( p0) 交于 D ， E 两点，若OD OE，则C 的焦点坐标为( )此1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.A. 1 ，0 B. 1 ，0 4 22.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.C. (1，0) D. (2，0)如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡6. 已知向量a ， b 满足 a = 5 ， b = 6 ， a b = -6 ，则cos(a，a + b) =( )上。写在本试卷上无效.A. - 31B. - 19考生号卷3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.35C. 173535D. 1935一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 7. 在ABC 中， cos C = 2 ， AC = 4 ， BC = 3 ，则cos B =( )311上1.已知集合 A =( x，y) x，y N*，yx，B = ( x，y ) x + y = 8 ，则 AB 中元素的个A. B.93数为( )A.2B.3C.4D.6C. 12D. 23姓名2.复数答11 - 3i的虚部是( )8. 下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( ) A. - 310C. 1 10B. - 110D. 3 104p = 1A. 6 + 42B. 4 + 4题3.在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 p1 ， p2 ， p3 ， p4 ，且 i，i=1C. 6 + 2D. 4 + 2233毕业学校则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )9.已知2 tanq - tan q + = 7 ，则tanq =( )4 A. p1 = p4 = 0.1，p2 = p3 = 0.4B. p1 = p4 = 0.4，p2 = p3 = 0.1A. -2B. -1D.2无C. p1 = p4 = 0.2，p2 = p3 = 0.310. 若直线l 与曲线 y =和圆 x2 + y2 = 1 都相切，则l 的方程为( )xD. p = p = 0.3，p = p = 0.2514234.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I (t ) （ t 的单位：天）的 Logistic 模型： 效数学试卷第 1 页（共 6 页）A. y = 2x +1C. y = 1 x + 1 2B. y = 2x + 12D. y = 1 x + 122数学试卷第 2 页（共 6 页）-x2y211. 设双曲线C :a2b2= 1(a0，b0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，离心率为.18.（12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼5P 是C 上一点，且 F1P F2 P .若PF1F2 的面积为 4，则a =( )A.1B.2C.4D.8锻炼人次空气质量等级0，200(200，400(400，6001（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72012.已知5584 ，13485 .设a = log 3 ， b = log 5 ， c = log 8 ，则( )的人次，整理数据得到下表（单位：天）： A. abcC. bca5813B. bacD. cab二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.x + y0，13.若 x ， y 满足约束条件2x - y0，则 z = 3x + 2 y 的最大值为 .x1，（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；14. x2 +2 6x的展开式中常数项是 （用数字作答）.（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；15. 已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 .（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量16. 关于函数 f ( x) = sin x +1sin x有如下四个命题：等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2 2 列联表，并根据列联表，判断是否有95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气 f (x) 的图像关于 y 轴对称. f (x) 的图像关于原点对称. f (x) 的图像关于直线 x = 对称.2人次400人次400空气质量好空气质量不好质量有关？ f (x) 的最小值为 2.其中所有真命题的序号是.附： K 2 =n(ad - bc)2，.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.(12 分)设数列an 满足a1 = 3， an+1 = 3an - 4n .（1） 计算a2 ， a3 ，猜想an 的通项公式并加以证明；（2） 求数列2n a 的前 n 项和 S . (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )nn数学试卷第 3 页（共 6 页）数学试卷第 4 页（共 6 页）-19.（12 分）在如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E ，F 分别在棱 DD1 ，BB1 上，且 2DE = ED1 ，21.（12 分）设函数 f (x) = x3 + bx + c ，曲线 y = f (x) 在点 1 ，f 1 处的切线与 y 轴重直.BF = 2FB1 . （1） 求b ； 22 （2）若 f (x) 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： f (x) 所有零点的绝对值都不大于 1. 此考生号卷（1） 证明：点C1 在平面 AEF 内；（2） 若 AB = 2 ， AD =1 ， AA1 = 3 ，求二面角 A - EF - A1 的正弦值. 上（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x = 2 - t - t2，在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 y = 2 - 3t + t2 （ t 为参数且t1 ）， C姓名2答20.（12 分）已知椭圆C : x +25y2152()=1 0m5 的离心率为m4，A ，B 分别为C的左、右顶点.与坐标轴交于 A ， B 两点.（1） 求 AB ；（2） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程. （1） 求C 的方程；毕业学校（2） 若点 P 在C 上，点Q 在直线 x = 6 上，且 BP = BQ ， BP BQ ，求 APQ 的题面积. 无 23.选修 45：不等式选讲（10 分）设 a ， b ， c R ， a + b + c = 0 ， abc = 1 .（1） 证明： ab + bc + ca0 ；（2） 用maxa，b，c 表示 a ， b ， c 的最大值，证明： maxa，b，c3 4 . 2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷理科数学答案解析一、选择题1.【答案】C【解析】采用列举法列举出中元素的即可.由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4.故选：C.【考点】集合的交集运算，交集定义的理解2.【答案】D【解析】利用复数的除法运算求出即可.因为，所以复数的虚部为.故选：D.【考点】复数的除法运算，复数的虚部的定义3.【答案】B【解析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.对于A选项，该组数据的平均数为，方差为；对于B选项，该组数据的平均数为，方差为；对于C选项，该组数据的平均数为，方差为；对于D选项，该组数据的平均数为，方差为.因此，B选项这一组的标准差最大.故选：B.【考点】标准差的大小比较，方差公式的应用4.【答案】C【解析】将代入函数结合求得即可得解.，所以，则，所以，解得.故选：C.【考点】对数的运算，指数与对数的互化5.【答案】B【解析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.因为直线与抛物线交于，两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.【考点】圆锥曲线，直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标6.【答案】D【解析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.，.，因此，.故选：D.【考点】平面向量夹角余弦值的计算，平面向量数量积的计算，向量模的计算7.【答案】A【解析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.在中，.根据余弦定理：，可得，即.由，故.故选：A.【考点】余弦定理解三角形8.【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：,根据勾股定理可得：,是边长为的等边三角形,根据三角形面积公式可得：，该几何体的表面积是：.故选：C.【考点】根据三视图求立体图形的表面积，根据三视图画出立体图形9.【答案】D【解析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.，令，则，整理得，解得，即.故选：D.【考点】利用两角和的正切公式化简求值10.【答案】D【解析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.设直线在曲线上的切点为，则，函数导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.【考点】导数的几何意义的应用，直线与圆的位置的应用11.【答案】A【解析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.，根据双曲线的定义可得，即，即，解得，故选：A.【考点】双曲线的性质以及定义的应用，勾股定理，三角形面积公式的应用12.【答案】A【解析】由题意可得、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、的大小关系.由题意可知、，；由，得，由，得，可得；由，得，由，得，可得.综上所述，.故选：A.【考点】对数式的大小比较，基本不等式、对数式与指数式的互化，指数函数单调性的应用二、填空题13.【答案】7【解析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.不等式组所表示的可行域如图.因为，所以，易知截距越大，则越大，平移直线，当经过点时截距最大，此时最大，由，得，所以.故答案为：7.【考点】简单线性规划的应用，求线性目标函数的最大值14.【答案】240【解析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.其二项式展开通项：，当，解得，的展开式中常数项是：.故答案为：240.【考点】二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项15.【答案】【解析】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，且点为边上的中点，设内切圆的圆心为，由于，故，设内切圆半径为，则：，解得：，其体积：.故答案为：.16.【答案】【解析】利用特殊值法可判断命题的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题的正误；利用对称性的定义可判断命题的正误；取可判断命题的正误.综合可得出结论.对于命题，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题错误；对于命题，函数的定义域为，定义域关于原点对称，所以，函数的图象关于原点对称，命题正确；对于命题，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题正确；对于命题，当时，命题错误.故答案为：.【考点】正弦型函数的奇偶性、对称性，最值的求解三、解答题17.【答案】（1），当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立.（2）【解析】（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可.由题意可得，由数列的前三项可猜想数列是以3为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；（2）由错位相减法求解即可.由（1）可知，由得：，即.【考点】求等差数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和18.【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09（2）350（3）有，列联表如下：空气质量不好空气质量好，因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【解析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率.由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为，等级为2的概率为，等级为3的概率为，等级为4的概率为.（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果.由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为.（3）根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，再结合临界值表可得结论.列联表如下：空气质量不好空气质量好，因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【考点】利用频数分布表计算频率和平均数，独立性检验的应用19.【答案】（1）在棱上取点，使得，连接、，长方体中，且，且，且，所以，四边形平行四边形，则且，同理可证四边形为平行四边形，且，且，则四边形为平行四边形，因此，点在平面内.（2）【解析】（1）连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内.在棱上取点，使得，连接、，长方体中，且，且，且，所以，四边形平行四边形，则且，同理可证四边形为平行四边形，且，且，则四边形为平行四边形，因此，点在平面内；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设平面的法向量为，由，得取，得，则，设平面的法向量为，由，得，取，得，则，设二面角的平面角为，则，.因此，二面角的正弦值为.【考点】点在平面的证明，利用空间向量法求解二面角20.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，可得，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案.，根据离心率，解得或（舍），的方程为：，即.（2）点在上，点在直线上，且，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为，可得，可求得点坐标，求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积.点在上，点在直线上，且，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为.根据题意画出图形，如图，又，根据三角形全等条件“”，可得：，设点为，可得点纵坐标为，将其代入，可得：，解得：或，点为或，当点为时，故，可得：点为，画出图象，如图，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：；当点为时，故，可得：点为，画出图象，如图，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：，综上所述，面积为：.【考点】椭圆标准方程，三角形面积，椭圆的离心率定义，数形结合求三角形面积21.【答案】（1）（2）由（1）可得，令，得或；令，得，所以在上单调递减，在，上单调递增，且，若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，即或.当时，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当时，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，所有零点的绝对值都不大于1.【解析】（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可.因为，由题意，即，则；（2）由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可.由（1）可得，令，得或；令，得，所以在上单调递减，在，上单调递增，且，若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，即或.当时，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当时，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，所有零点的绝对值都不大于1.【考点】利用导数研究函数的零点，导数的几何意义，反证法22.【答案】（1）（2）【解析】（1）由参数方程得出，的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值.令，则，解得或（舍），则，即.令，则，解得或（舍），则，即.（2）由，的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.由（1）可知，则直线的方程为，即.由，可得，直线的极坐标方程为.【考点】利用参数方程求点的坐标，直角坐标方程化极坐标方程23.【答案】（1），.，均不为0，则，.（2）不妨设，由，可知，.当且仅当时，取等号，即.【解析】（1）由结合不等式的性质，即可得出证明.，.，均不为0，则，.（2）不妨设，由题意得出，由，结合基本不等式，即可得出证明.不妨设，由，可知，.当且仅当时，取等号，即.【考点】不等式的基本性质，基本不等式的应用