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各地市数学竞赛题汇编&参考答案2011年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答第一试 一. 选择题（每小题分，共分）、设为质数，并且和也都是质数，若记，则在以下情况中，必定成立的是（ ）、都是质数； 、都是合数； 、一个是质数，一个是合数； 、对不同的，以上各情况皆可能出现答案：解：当时，与皆为质数，而，都是质数； 当质数异于时，则被除余，设，于是，它们都不是质数，与条件矛盾！、化简的结果是（ ）、； 、； 、； 、答案：解：；，因此，原式、的末位数字是（ ）、； 、； 、； 、答案：解：的末位数字按的顺序循环，而的末位数字按的顺序循环，因为是形状的数，所以的末位数字是，而的末位数字是，所以的末位数字是、方程的解的情况是( ).、无解； 、恰有一解； 、恰有两个解； 、有无穷多个解答案：.解：将方程变形为 ，分三种情况考虑，若 ，则成为 ，即，得；若 ，则成为 ，即，得；若 ，即时，则成为 ，即，这是一个恒等式，满足的任何都是方程的解，结合以上讨论，可知，方程的解是满足 的一切实数，即有无穷多个解、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形的个数是（ ）、； 、； 、； 、答案：解：分类计算：设正六边形的边长为，那么，边长为的正三角形有个，边长为的正三角形有个，边长为的正三角形有个，共计个、设为整数，并且一元二次方程有等根，而一元二次方程有等根；那么，以为根的整系数一元二次方程是（ ）、； 、； 、； 、答案：解：由两个方程的判别式皆为，有，以及，即：以及，消去得，其整根为，于是；因此两个方程分别是：及，前一方程的等根为，后一方程的等根为，易得，以为根的整系数一元二次方程是二、 填空题（每小题分，共分）、直角三角形的三条边长分别为，若将其内切圆挖去，则剩下部分的面积等于 答案：解：的面积为，又设其内切圆的半径为，则由，所以，因此内切圆面积为，故剩下部分的面积为、若，则（ ）答案：（）解：，由，解得，；因此、如图，正方形的边长为，是边外的一点，满足：，则 答案：解: ，设，则，由，得，即有，所以，则，再由，即，所以、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是的倍数，用表示圆周上所有十二个数的和，那么数所有可能的取值情况有 种答案：种解：对于圆周上相邻的三个数，可以是，或，或，例如，当三数和为时，可以取或或；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为，由于和都是的倍数，那么必有，于是与或者相等，或者相差；又在圆周上，与可互换，与可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是，或，或，因此四段的总和可以取到中的任一个值，总共九种情况 （其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数：，其和为，然后每次将一个改成，或者将一个改成，每一次操作都使得总和增加，而这样的操作可以进行八次）第 二 试一、（分）试确定，对于怎样的正整数，方程有正整数解？并求出方程的所有正整数解解：将方程改写为 ， 5由于表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式： 10所以， ，或 ，或 15由得（当或）；由得（当或）；由得 （当 或）； 或 （当或）；由得（当）；或 （当或） 20二、（分）锐角三角形的外心为，外接圆半径为，延长，分别与对边交于；证明：证： 延长交于，由于共点， 5则 10而，15同理有,， 20代入得， 所以 25三、（分）设为正整数，证明：1、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积；2、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积证明：1、如果是两个连续正整数的乘积，设，其中为正整数，5则为两个连续正整数的乘积； 102、如果是两个连续正整数的乘积，设，其中为正整数，则 15于是，是的倍数，且是奇数；设，由得， 20因此，即，它是两个连续正整数的乘积252011年全国初中数学竞赛天津赛区复赛试卷得分评卷人一、选择题（本题共5小题，每小题7分，满分35分每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里） （1）设，则代数式的值为( ).（A）0（B）1（C）1（D）2（2）已知为实数，且满足，则的最小值为( ).（A）（B）0（C）5（D）（3）若，且满足，则的值为( ).（A）1（B）2（C）（D）（4）设，则的整数部分等于( ).（A）4（B）5（C）6（D）7（5）点分别在的边上，相交于点，设，则与的大小关系为( ).（A）（B）（C）（D）不能确定 得分评卷人二、填空题（本题共5小题，每小题7分，满分35分把答案填在题中横线上） （6）两条直角边长分别是整数（其中），斜边长是的直角三角形的个数为 . （7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 . （8）若的最大值为a，最小值为b，则的值为 .（9）如图，双曲线（x0）与矩形OABC 的边CB， BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF， 则OEF的面积为 . （10）如图，在RtABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于ABC，且其边长为12，则ABC的周长为 .三、解答题（本题共4小题，每小题20分，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）得分评卷人（11）（本小题满分20分） 已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 得分评卷人（12）（本小题满分20分）如图，点为的垂心，以为直径的和的外接圆相交于点，延长交于点，求证：点为的中点.得分评卷人（13）（本小题满分20分）如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（）求证：=；（）若点的坐标为（0，1），且=60，试求所有满足条件的直线的函数解析式.得分评卷人（14）（本小题满分20分）已知，且，证明：中一定存在两个数，使得2011年全国初中数学竞赛试题（福建）一、选择题1、设，则代数式的值为（）A0B1C1D22、对于任意实数，定义有序实数对与之间的运算“”为：。如果对于任意实数，都有，那么为（）。ABCD3、已知是两个锐角，且满足，则实数所有可能值的和为（）ABC1D4、如图，点分别在ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设，则与的大小关系为（）A B C D不能确定5、设，则4S的整数部分等于（）A4B5C6 D7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、两条直角边长分别是整数（其中），斜边长是的直角三角形的个数为。7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是。8、如图，双曲线与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F且AFBF，连接EF，则OEF的面积为9、的三个不同的内接正三角形将分成的区域的个数为。10、设四位数满足，则这样的四位数的个数为。三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值。12、如图，点H为ABC的垂心，以AB为直径的和BCH的外接圆相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。13、若从1，2，3，中任取5个两两互素的不同的整数，其中总有一个整数是素数，求的最大值。 14、如图，ABC中，BAC60，AB2AC。点P在ABC内，且PA，PB5，PC2，求ABC的面积。2011年全国初中数学竞赛试题（福建）参考答案一、选择题：CBCBA二、填空题6、317、8、9、2810、5三、解答题：11、解：设方程的两个根为、，其中、为整数，且则方程的两个整数根为1、1，由根与系数关系得：a，(1)(1)a两式相加得：2210即(2)(2)3或 解得：或又a()，b，c(1)(1)a0，b1，c2或a8，b15，c6故3或29Q12、证明：如图，延长AP交于点Q连结AH，BD，QC，QHAB为直径 ADBBDQ900BQ为的直径于是CQBC，BHHQ点H为ABC的垂心 AHBC，BHACAHCQ，ACHQ，四边形ACHQ为平行四边形则点P为CH的中点。13、解：若n49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，n48，在1，2，3，48中任取5个两两互素的不同的整数，若，都不是素数，则，中至少有四个数是合数，不妨假设，为合数，设，的最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4由于，两两互素，p1，p2，p3，p4两两不同设p是p1，p2，p3，p4中的最大数，则p7因为，为合数，所以，中一定存在一个ajp27249，与n49矛盾，于是，中一定有一个是素数综上所述，正整数n的最大值为48。14、解：如图，作ABQ，使得：QABPAC，ABQACP，M则ABQ ACP，由于AB2AC，相似比为2于是，AQ2 AP2，BQ2CP4QAPQABBAPPACBAPBAC60由AQ：AP2：1知，APQ900于是，PQAP3BP225BQ 2PQ 2 从而BQP900作AMBQ于M，由BQA1200，知AQM600，QM，AM3，于是，AB2BM 2AM 2 (4) 232288故SABCABACsin600AB 22011年全国初中数学竞赛预选赛试题（襄阳市）（2011年2月26日上午9：3011：30）题号一二三总分13141516171819得分一、选择题（每小题4分，共24分）1如果分式的值为零，则x等于（ ）A2 B2 C2或2 D2或32已知a、b、c为一个三角形的三边长，则4b2c2（b2c2a2）2的值为（ ）A恒为正 B恒为负 C可正可负 D非负3如图，直线l1、l2、l3表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A一处 B两处 C三处 D四处4某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图（如图1，图2），该校七、八、九三个年级共有800人。甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高。”乙说：“八年级共有学生264人。”丙说：“九年级的体育达标率最高。”。甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是（ ）AA甲和乙 B乙和丙 C甲和丙 D甲和乙及丙5若方程组有解，且2k4，则xy的取值范围为（ ）A0xy B0xy1 C3xy1 D1xy16如图，已知AD是ABC的外接圆的直径，AD13cm，cosB，则AC的长等于（ ）A5cm B6cm C10cm D12cm二、填空题（每小题4分，共24分）7已知x2y2z22x4y6z140，则xyz_。8已知m，n是有理数，且（2）m（32）n70，则m_,n_。9如图，在ABC中，O是ABC与外角ACD的平分线BO、CO的交点，则BOC与A的关系是_。10如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C、D的位置上，EC交AD于点G，已知EFA58，那么BEG_。11如图，直线ykx2（k0）与双曲线y在第一象限内的交点为R，与x轴、y轴的交点分别为P、Q，过R作RMx轴，M为垂足，若OPQ与PRM的面积相等，则k的值等于_。12如图，BD：DC5：3，E为AD的中点，延长BE交AC于F，则BE：EF_。三、解答题（7个小题，共72分）13（8分）解方程：14（8分）如图，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角AND，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明。15（8分）已知方程x2kx70与x26x（k1）0有公共根。求k的值及两方程的所有公共根和所有相异根。16.如图，在ABC中，BCAC，点D在BC上，且DCAC，ACB的平分线CF交AD于点F点E是AB的中点，连结EF（1）求证：；（2）若四边形BDFE的面积是6求ABD的面积17（12分）如图，给定锐角三角形ABC，BCCA，AD、BE是它的两条高，过点C作ABC外接圆的切线l，过点D、E分别作l的垂线，垂足分别为F、G。试比较线段DE和EG的大小，并证明你的结论。18（13分）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件，已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利1200元.（1）按要求安排A、B两种产品的件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y（元），其中一种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明你所设计的方案中，哪种生产方案获得的利润最大？最大利润是多少？19（13分）如图，对称轴为直线x的抛物线过点A（6，0）和B（0，4）。（1）求抛物线解析式及定点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形。求OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？是否存在点E，使OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。2011年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1若，则的值为 _.2若实数a，b满足，则a的取值范围是_.3如图，在四边形ABCD中，B135，C120，AB=，BC=，CD，则AD边的长为_.4在一列数中，已知，且当k2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于_.5如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，1），D（1，1）y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180得点P1，点P1绕点B旋转180得点P2，点P2绕点C旋转180得点P3，点P3绕点D旋转180得点P4，重复操作依次得到点P1，P2， 则点P2010的坐标是 _.6已知非零实数a，b 满足 ，则等于_.7菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OAa，OBOCOD1，则a等于_.8已知a1，则2a37a22a11 的值等于 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 10如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D若CDCF，则 11一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km 12已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BDAC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 13已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值为 14如图，在ABC中，CD是高，CE为的平分线若AC15，BC20，CD12，则CE的长等于 二、解答题（共3题，每题20分，共60分）15设实数a，b满足：，求的最小值.16如图，AB为O的直径，C为圆上一点，AD平分BAC交O于点D，DEAC交AC的延长线于点E，FB是O的切线交AD的延长线于点F.（1）求证：DE是O的切线.（2）若DE = 3，O的半径为5，求BE的长.17如图，给定锐角三角形ABC，AD，BE是它的两条高，过点作ABC的外接圆的切线，过点D，E分别作的垂线，垂足分别为F，G试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论2011年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛参考答案一、填空题1解：由题设得2解：因为b是实数，所以关于b的一元二次方程0, 解得a或 a43 解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F由已知可得BE=AE=，CF，DF2，于是 EF4过点A作AGDF，垂足为G在RtADG中，根据勾股定理得AD4 解：由和可得， ，因为2010=4502+2，所以=25 解：由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）记，其中根据对称关系，依次可以求得：，令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）6.解：由题设知a3，所以，题设的等式为，于是，从而17. 解：因为BOC ABC，所以，即 ，所以， 由，解得8 解：由已知得 (a1)25，所以a22a4，于是2a37a22a122a34a23a22a113a26a1119解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分于是，直线即为所求的直线设直线的函数表达式为，则解得 故所求直线的函数表达式为10 解：见题图，设因为RtAFBRtABC，所以 又因为 FCDCAB，所以 即 ，解得，或（舍去）又RtRt，所以,即=11解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有 两式相加，得 ，则 12.解：如图，延长AD与D交于点E，连接AF，EF 由题设知，在FHA和EFA中，所以 RtFHARtEFA， .而，所以.13.解：因为，且是五个不同的整数，所有也是五个不同的整数又因为，所以由，可得14.解：如图，由勾股定理知AD9，BD16，所以ABADBD25 故由勾股定理逆定理知ACB为直角三角形，且作EFBC，垂足为F设EFx，由，得CFx，于是BF20x由于EFAC，所以 ，即 ，解得所以15解：由 可得，（6分）所以 ，或 . （8分）（i）当时， ，于是时，的最小值为，此时，. （13分）（ii）当时，于是时，的最小值为，此时，. （18分）综上可知，的最小值为. （20分）16解：(1)如图，连接OD.因为AD平分BAC,所以1=2.又因为OA=OD,所以1=3.所以2=3.所以ODAE.因为DEAE,所以DEOD.而点D在O上,所以DE是O的切线. （7分）(2)如图,连接BE与OD交于点H，作OGAE于点G. 则 OG = DE =3， EG= DO=5，所以AG = = 4，AE = 4+5= 9（10分）,因为EAOD， AO=OB，所以HO=，HD = 5-=，故HE = ,BE = （20分）17解法1：结论是下面给出证明 5分因为，所以RtFCD RtEAB于是可得同理可得 10分又因为，所以有，于是可得 20分解法2：结论是下面给出证明 5分连接DE，因为，所以A，B，D，E四点共圆，故 10分又l是O的过点C的切线，所以 15分所以，于是DEFG，故DFEG 20分第 33 页 共 33 页