几道超难的初中数学题.doc

1如图1，抛物线yax2bxc（a0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MNBD，交线段AD于点N，连接MD，使DNMBMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。图1ABxyODC图2ABxyODCPQEF图3ABxyODC2.如图，在RtABC中，B=90，BC=5，C=30.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t0）.过点D作DFBC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为8.（1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PEAB于点E.设PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.FMNN1M1F1Oyxl第4题图4如图所示，过点F（0，1）的直线y=kxb与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x10，x20）求b的值求x1x2的值分别过M、N作直线l：y=1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断M1FN1的形状，并证明你的结论对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由5在ABC中，ACB90，ABC30，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0180)，得到A1B1CAA1ACCCA1A1ADB1BBBB1B1EP图1图2图3(1)如图1，当ABCB1时，设A1B1与BC相交于点D证明：A1CD是等边三角形；【证】(2)如图2，连接AA1、BB1，设ACA1和BCB1的面积分别为S1、S2求证：S1S213；【证】(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，ACa，连接EP当 时，EP的长度最大，最大值为 ABCDl1l2l3l4h1h2h36如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h10，h20，h30)(1)求证：h1h2；【证】(2)设正方形ABCD的面积为S，求证：S(h1h2)2h12；【证】(3)若h1h21，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况【解】Oyx35537在平面直角坐标系xOy中，二次函数ymx2(m3)x3(m0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(1)求点A的坐标；(2)当ABC45时，求m的值；(3)已知一次函数ykxb，点P(n，0)是x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数ymx2(m3)x3(m0)的图象于N若只有当2n2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式8在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F(1)在图1中，证明：CECF；(2)若ABC90，G是EF的中点(如图2)，直接写出BDG的度数；(3)若ABC120，FGCE，FGCE，分别连结DB、DG(如图3)，求BDG的度数BBADADCCEFEGFABCDEGF图1图2图39如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE、BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注：不含AB线段)已知A(1，0)，B(1，0)，AEBF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上(1)求两条射线AE、BF所在直线的距离；(2)当一次函数yxb的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数yxb的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；EADFOBxy(3)已知AMPQ(四个顶点A、M、P、Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围10阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于点O若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、ADBC的长度为三边长的三角形的面积BBCADOADCEO图2图1ABDCEF图3小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的BDE即是以AC、BD、ADBC的长度为三边长的三角形(如图2)请你回答：图2中BDE的面积等于_参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，ABC的三条中线分别为AD、BE、CF (1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；(2)若ABC的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于_11如图，O的直径为，O 1过点，且与O内切于点为O上的点，与O 1交于点，且点在上，且，BE的延长线与O 1交于点，求证：BOC12如图，四边形ABCD内接于O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BFEC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，求CF的长。13如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，求DMN的面积OC第14题ABxy14如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的函数解析式；（3）在抛物线上，是否存在一点P，使PAB的面积等于ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由ABCDMNPQ15.已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中ADBC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿DAB方向，以每秒1个单位的速度向点B运动若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t0）过点N作NPBC与P，交BD于点Q（1）点D到BC的距离为 ；（2）求出t为何值时，QMAB；（3）设BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）求出t为何值时，BMQ为直角三角形16.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.（1）求抛物线的解析式. （2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同 时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（第16题）当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标. 17.如图7，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=450，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上。（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（00<<900）后，记为D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。18.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0<a<1时，求证：S1- S2为常数，并求出该常数。19.如图，抛物线：yax2bx4与x轴交于点A(2，0)和B(4，0)、与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)T是抛物线对称轴上的一点，且ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；CAOQBMPTyxl(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行当点M原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动过点M的直线l轴，交AC或BC于点P求点M的运动时间t(秒)与APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值20.已知抛物线的图象向上平移m个单位（）得到的新抛物线过点（1，8）.（1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成的形式；（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在时对应的函数值y的取值范围；（3）设一次函数，问是否存在正整数使得（2）中函数的函数值时，对应的x的值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21.已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MOMA二次函数yx2bxc的图像经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标图122.在RtABC中，ACB90，BC30，AB50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EMEN，（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设APx，BNy，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长图1 图2 备用图23如图（1）,在直角ABC中, ACB=90,CDAB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EFBE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.(1) 如图（2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 证明:(2) 如图（3）,当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 证明(3) 如图（1）,当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 (写出关系式,不必证明)24.已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).(1)求抛物线的解析式; (2)如图（1）,设C,D分别是轴、轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P()()是直线上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PRQ.当PBR与直线CD有公共点时,求的取值范围；在的条件下，记PBR与COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式，并求S的最大值。25在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点以点为旋转中心，把顺时针旋转，得记旋转角为为（）如图，当旋转后点恰好落在边上时，求点的坐标；（）如图，当旋转后满足轴时，求与之间的数量关系；（）当旋转后满足时，求直线的解析式（直接写出结果即可）26.已知抛物线，点（）求抛物线的顶点坐标；（）若抛物线与轴的交点为，连接，并延长交抛物线于点，求证；取抛物线上任意一点，连接，并延长交抛物线于点，试判断是否成立？请说明理由；（）将抛物线作适当的平移，得抛物线，若时，恒成立，求的最大值27.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC= ，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧。设运动的时间为t秒（t0）（1）当等边EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t ,使AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由28.如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点。P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D。求点D的坐标（用含m的代数式表示）；当APD是等腰三角形时，求m的值；设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动。请直接写出点H所经过的路径长。（不必写解答过程）AOCPBDMxyAOCPBDMxy（第24题图）图1图2E1、解：（1）设所求抛物线的解析式为：ya(x1)24，依题意，将点B（3，0）代入，得： a(31)240解得：a1所求抛物线的解析式为：y(x1)24 （2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称， 在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HFHI设过A、E两点的一次函数解析式为：ykxb（k0），点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x2代入抛物线y(x1)24，得y(21)243 点E坐标为（2，3）又抛物线y(x1)24图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D EF图6ABxyODCQIGHP当y0时，(x1)240， x1或x3 当x0时，y143,点A（1，0），点B（3，0），点D（0，3）又抛物线的对称轴为：直线x1， 点D与点E关于PQ对称，GDGE分别将点A（1，0）、点E（2，3）代入ykxb，得： 解得：过A、E两点的一次函数解析式为：yx1 当x0时，y1点F坐标为（0，1）又点F与点I关于x轴对称，点I坐标为（0，1）图7ABxyODCMTN又要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，只要使DGGHHI最小即可由图形的对称性和、，可知， DGGHHFEGGHHI只有当EI为一条直线时，EGGHHI最小设过E（2，3）、I（0，1）两点的函数解析式为：yk1xb1（k10），分别将点E（2，3）、点I（0，1）代入yk1xb1，得： 解得：过A、E两点的一次函数解析式为：y2x1 当x1时，y1；当y0时，x；点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）四边形DFHG的周长最小为：DFDGGHHFDFEI由和，可知： DFEI四边形DFHG的周长最小为。（3）如图7，由题意可知，NMDMDB，要使，DNMBMD，只要使即可，即：MD2NMBD设点M的坐标为（a，0），由MNBD，可得 AMNABD，再由（1）、（2）可知，AM1a，BD，AB4 MD2OD2OM2a29，式可写成： a29 解得： a或a3（不合题意，舍去）点M的坐标为（，0）又点T在抛物线y(x1)24图像上，当x时，y点T的坐标为（，）2.（1）在DFC中，DFC=90，C=30，DC=2t，DF=t.又AE=t，AE=DF.2分（2）能.理由如下：ABBC，DFBC，AEDF.又AE=DF，四边形AEFD为平行四边形.3分AB=BCtan30=若使为菱形，则需即当时，四边形AEFD为菱形.5分（3）EDF=90时，四边形EBFD为矩形. 在RtAED中，ADE=C=30，AD=2AE.即10-2t=2t，.7分DEF=90时，由（2）知EFAD，ADE=DEF=90.A=90-C=60，AD=AEcos60.即9分EFD=90时，此种情况不存在.综上所述，当或4时，DEF为直角三角形.10分3.（1）对于，当y=0，x=2.当x=-8时，y=-.解得3分（2）设直线与y轴交于点M当x=0时，y=. OM=.点A的坐标为（2，0），OA=2.AM=4分OM：OA：AM=34：5.由题意得，PDE=OMA，AOM=PED=90，AOMPED.DE：PE：PD=34：5.5分点P是直线AB上方的抛物线上一动点，PD=yP-yD=.6分7分8分满足题意的点P有三个，分别是11分【解法提示】当点G落在y轴上时，由ACPGOA得PC=AO=2，即，解得，所以当点F落在y轴上时，同法可得，（舍去）.4解：b=1显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=4M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1F1N1=x1x2=4，而FF1=2，所以F1M1F1N1=F1F2，另有M1F1F=FF1N1=90，易证RtM1FF1RtN1FF1，得M1FF1=FN1F1，故M1FN1=M1FF1F1FN1=FN1F1F1FN1=90，所以M1FN1是直角三角形FMNN1M1F1Oyxl第4题解答用图PQ存在，该直线为y=1理由如下：直线y=1即为直线M1N1如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN1=， NF=，得NN1=NF同理MM1=MF那么MN=MM1NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM1NN1）=MN，即圆心到直线y=1的距离等于圆的半径，所以y=1总与该圆相切5.（1）易求得, , 因此得证.(2)易证得,且相似比为，得证.（3）120， 6.（1）过A点作AFl3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CHl2分别交l2、l3于点H、G，证ABECDG即可.（2）易证ABEBCHCDGDAF,且两直角边长分别为h1、h1+h2,四边形EFGH是边长为h2的正方形，所以.(3)由题意，得 所以又 解得0h1当0h1时，S随h1的增大而减小； 当h1=时，S取得最小值；当h1时，S随h1的增大而增大.7.解： 点是二次函数的图象与轴的交点，令即.解得.又点在点左侧且点的坐标为. 由可知点的坐标为.二次函数的图象与轴交于点点的坐标为.，. 由得，二次函数解析式为.依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为和2，由此可得交点坐标为和.将交点坐标分别代入一次函数解析式中，得解得一次函数的解析式为.8. 证明：如图1. 平分 . 四边形是平行四边形， . . . . . 解：分别连结、（如图2） 且 四边形是平行四边形. 由得 是菱形. . 是等边三角形. . 由及平分可得.在中，. 由得.9.解： 分别连结、，则点在直线上，如图1. 点在以为直径的半圆上， .在中，由勾股定理得.两条射线、所在直线的距离为. 当一次函数的图象与图形恰好只有一个公共点时，的取值是或； 假设存在满足题意的，根据点的位置，分以下四种情况讨论： 当点在射线上时，如图2. 四点按顺时针方向排列， 直线必在直线的上方. 两点都在上，且不与点重合. . 且 . .当点在（不包括点）上时，如图3. 四点按顺针方向排列， 直线必在直线的下方. 此时，不存在满足题意的平行四边形.当点在上时， 设的中点为则当点在（不包括点）上时，如图4过点作的垂线交于点垂足为点可得是的中点连结并延长交直线于点为的中点，可证为的中点四边形为满足题意的平行四边形 2）当点在上时，如图5 直线必在直线的下方 此时，不存在满足题意的平行四边形当点的射线（不包括点）上时，如图6直线必在直线的下方此时，不存在满足题意的平行四边形综上，点的横坐标的取值范围是或10.解：的面积等于 1 . 如图. 以、的长度为三边长的一个三角形是. 以、的长度为三边长的三角形的面积等于.11 证明：连接BD，因为为的直径，所以又因为，所以CBE是等腰三角形 （5分）设与交于点，连接OM，则又因为，所以 （15分）又因为分别是等腰，等腰的顶角，所以BOC （20分）12.解：如图，连接AC，BD，OD. 由AB是O的直径知BCA =BDA = 90.依题设BFC = 90，四边形ABCD是O的内接四边形，所以BCF =BAD,所以 RtBCFRtBAD ，因此 .因为OD是O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，ODBC， 于是 . 因此.由，知因为，所以 ，BA=AD ，故.13.解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知，所以 ，由此得，所以.在RtABF中，因为，所以，于是 .由题设可知ADEBAF，所以 ， .于是 ， . 又，所以. OC第14题ABxy因为，所以.14.解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c抛物线与y轴交于点C的坐标（0, 3） y=ax2+bx+3又抛物线与x轴交于点A（1, 0 ）、B（4, 0）抛物线的解析式为（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，解得 所以直线BC的函数解析式为y=x + 3 （3）存在一点P，使PAB的面积等于ABC的面积ABC的底边AB上的高为3设PAB的高为h，则h=3，则点P的纵坐标为3或3点P的坐标为（0，3），（3，3），而点（0，3）与C 点重合，故舍去。点P的坐标为 ，点P的坐标为：P1（3，3），P2，P315.解：（1）-2分(2)t=1.2s-5分（3）当时,s= -8分当时,s= -11分(4)t=1.5s或者t=12/7s-14分16.解: (1)据题意知: A(0, 2), B(2, 2) ，D（4，）, 则 解得 抛物线的解析式为: -4分 (2) 由图象知: PB=22t, BQ= t, S=PQ2=PB2+BQ2=(22t)2 + t2 , 即 S=5t28t+4 (0t1) -6分假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.S=5t28t+4 (0t1), 当S=时, 5t28t+4=,得 20t232t+11=0, 解得 t = ，t = （不合题意，舍去）-7分此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，）若R点存在，分情况讨论:【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为 即R (3, )，代入, 左右两边相等，这时存在R(3, )满足题意. 【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为即(1, ) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. 【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，)代入, 左右不相等, R不在抛物线上. 综上所述, 存点一点R(3, )满足题意. -11分（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，）-14分17、（1）证明： AB是O的直径 ACB=90 DCE=90 ACBDCE=180 B、C、E三点共线。 (2)证明：连接ON、AE、BD，延长BD交AE于点F ABC=45，ACB=90 BC=AC，又ACB=DCE=90，DC=EC BCDACE BD=AE，DBC=CAE DBCAEC=CAEAEC=90 BFAE AO=OB，AN=ND ON=BD，ONBD AO=OB，EM=MB OM=AE，OMAE OM=ON，OMON OMN=45，又 cosOMN= (3) 成立，证明同（2）。18、解：(1)将点C（0，1）代入得 （2）由(1)知，将点A（1，0）代入得 ， 二次函数为 二次函数为的图像与x轴交于不同的两点 ，而 的取值范围是 且 (3)证明： 对称轴为 把代入得，解得 1为常数，这个常数为1。19. 解：（1）把A、B(4，0)代入，得解得抛物线的解析式为：。（1） 由，得抛物线的对称轴为直线，直线交x轴于点D，设直线上一点T(1，h)，连结TC，TA，作CE直线，垂足为E，由C(0，4)得点E(1，4)，在RtADT和RtTEC中，由TA=TC得解得，点T的坐标为(1,1).（3）解：（）当时，AMPAOC 当时，S的最大值为8.（）当时，作PFy轴于F，有COBCFP，又CO=OBFP=FC=，当时，则S的最大值为。综合、，S的最大值为。20、解：（1）由题意可得又点（1，8）在图象上 （1分） （3分）（2）图略 （7分）当时， （9分）（3）不存在 （10分）理由：当且对应的时， ， （11分）且 得 不存在正整数n满足条件 （12分）21.解 (1) 根据两点之间距离公式，设M(a, a)，由| MO |=| MA |, 解得：a=1，则M(1, ), 即AM=。 (2) A(0, 3)， c=3，将点M代入y=x2+bx+3，解得：b= -，即：y=x2-x+3。 (3) C(2, 2) (根据以AC、BD为对角线的菱形