数列通项特征根法的证明(2页).doc

-数列通项特征根法的证明-第 2 页数列 a(n)，设递推公式为 a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，则其特征方程为 x2-px-q=0 . 若方程有两相异根 A、B，则 a(n)=c*An+d*Bn (c、d可由初始条件确定，下同) 若方程有两等根 A=B，则 a(n)=(c+nd)*An 以上部分内容的证明过程： 设 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=sa(n+1)-r*a(n) 所以 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n) 即，s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程 x2-px-q=0 的两根，也就是刚才说的特征根。 然后进一步证明那个通项公式： 如果r=s，那么数列a(n+1)-r*a(n) 是以 a(2)-r*a(1) 为首项、r 为公比的等比数列，根据等比数列的性质可知：a(n+1)-r*a(n) = a(2)-r*a(1)*r(n-1)， 两边同时除以r(n+1)，得到 a(n+1)/r(n+1)-a(n)/rn = a(2)/r2-a(1)/r 等号右边的是个常数，说明数列a(n)/rn 是个等差数列。显然等号右边那个就是公差，首项也比较明显，这里不重复了。根据等差数列性质：a(n)/rn = a(1)/r + (n-1)*a(2)/r2-a(1)/r 整理一下，并设 a(2)/r2-a(1)/r = d ，再设 2a(1)/r-a(2)/r2 = c ，然后把那个 r 用 A 来代，就可以得到 a(n)=(c+nd)*An 了。 至于那个方程有两个不等的实根的情况，证明起来原理基本一致，就是略微繁琐一点，这里就不多说了，lz自己试试，当成数列练习把如果r不等于s，那么可得，a(n+2)-r*a(n+1)=sa(n+1)-r*a(n) （1） a(n+2)-s*a(n+1)=ra(n+1)-s*a(n) （2）(1) 公式，a(n+2)-r*a(n+1)/a(n+1)-r*a(n)=s,换元得b(n+1)/b(n)=s等比数列，则有b(n)a(n+1)-r*a(n)= a(2)-r*a(1) s(n-1) （3）(2) 公式，a(n+2)-s*a(n+1)/a(n+1)-s*a(n)r等比数列, 则有 a(n+1)-s*a(n)= a(2)-s*a(1) r(n-1) （4）(3)-(4)可得，(s-r) a(n)= a(2)-r*a(1) s(n-1)- a(2)-s*a(1) r(n-1)a (n)= (a(2)-r*a(1) /s(s-r)*sn-(a(2)-s*a(1) /r(s-r)* /s(s-r) *rna(n)=a*sn+b*rn若方程有两相异根 A、B，则 a(n)=c*An+d*Bn (c、d可由初始条件确定，下同)若方程有两等根 A=B，则 a(n)=(c+nd)*An