高中数学优质课件精选——人教版必修五： 2.5.2 等比数列习题课 精讲优练课型 .ppt

第2课时 等比数列习题课,【题型探究】 类型一 等比数列的实际应用问题 【典例】1.根据市场调查预测，某商场在未来的10年， 计算机销售量从a台开始，每年以10%的速度增长，则该 商场在未来的这10年大约可以销售计算机总量为(),A10a(1.19-1)台Ba(1.110-1)台 C10a(1.110-1)台D10a(1.111-1)台,2.某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化的原因， 企业的生产能力将逐年下降.若不能进行设备改造，预 测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该 企业一次性投入资金600万元进行设备改造，预测在未 扣除设备改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的 利润为500 万元(n为正整数).,(1)设从今年起的后n年，若该企业不进行设备改造的累计纯利润为An万元，进行设备改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除设备改造资金)，求An，Bn的表达式. (2)依上述预测，问从今年起该企业经过4年是否能实现BnAn的目标？,【解题探究】1.典例1中，10年的计算机销售量构成什么数列？ 提示：10年的计算机销售量构成首项为a，公比为1.1的等比数列.,2.典例2中，从今年起的后n年，若该企业不进行设备 改造，每年的纯利润构成什么数列？数列500 的前n项和如何计算？ 为分析企业经过4年是否能实现BnAn的目标，需要研究 数列Bn-An的什么性质？,提示：从今年起每年的纯利润构成以500-20为首项，公 差为-20的等差数列.数列500 的前n项和可以分 组转化求和，即,为分析企业经过4年是否能实现BnAn的目标，需要研究数列Bn-An的单调性.,【解析】1.选C.第一年a台，第二年a(1+10%)=1.1a台， 第三年a(1+10%)2=1.12a台，以此类推， 可知10年的销售量构成首项为a，公比为1.1的等比数列， 前10项的和S10=,2.(1)依题设，An=(500-20)+(500-40)+(500-20n) =490n-10n2，,(2)Bn-An= =10n2+10n- -100. 易知该式随着n的增大而增大，代入1，2，3，4，验证知当n4时，BnAn. 故经过4年，该企业进行设备改造后的累计纯利润能超过不进行设备改造的累计纯利润.,【方法技巧】解答数列应用题的步骤 (1)审题仔细阅读材料，认真理解题意. (2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. (3)求解求出该问题的数学解. (4)还原将所求结果还原到实际问题中.,具体解题步骤用框图表示如下：,【变式训练】从社会效益和经济效益出发，某地投入 资金进行生态环境建设，以发展旅游产业.根据规划， 本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 . 本年底当地旅游业收入估计为400万元.由于该项目建 设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年 会比上年增加 .设n年内(本年度为第一年)总投入为 an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an和bn.,【解题指南】每一年的投入构成首项为800，公比为 1- 的等比数列； 每一年的旅游业收入构成首项为400，公比为1+ 的等比数列.,【解析】第一年投入为800万元，第二年投入为 800 万元，第n年投入为800 万元， 所以n年内的总投入为an=800+800 +800 =4 000(1-0.8n)(万元).,第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为 400 万元，第n年旅游业收入为400 万元， 所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400 + +400 =1 600(1.25n-1)(万元).,【补偿训练】某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种纯获利更多？ (取1.05101.629，1.31013.786，1.51057.665),【解析】(1)甲方案获利： 1+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9= 42.62(万元). 银行贷款本息：10(1+5%)1016.29(万元)， 故甲方案纯获利：42.62-16.29=26.33(万元).,(2)乙方案获利： 1+(1+0.5)+(1+20.5)+(1+90.5) =101+ 0.5=32.50(万元)，,银行本息和：1.051+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)9=1.05 13.21(万元). 故乙方案纯获利：32.50-13.21=19.29(万元). 综上，甲方案纯获利更多.,类型二 错位相减法求和 【典例】(2015湖北高考)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100. (1)求数列an，bn的通项公式. (2)当d1时，记cn= ，求数列cn的前n项和Tn.,【解题探究】典例(1)求通项公式的基本步骤是什么？ (2)数列cn的结构特征是什么？应选择什么求和方法？,提示：(1)由题意可列出方程组 求解首项、公差、公比，再代入通项公式即可求得. (2)由(1)结合d1，可得an=2n-1，bn=2n-1，于是cn= 易发现cn的通项是一个等差数列和一个等比数 列相乘而得的，对其进行求和直接运用错位相减法即 可得出结论.,【解析】(1)由题意有，,(2)由d1，知an=2n-1，bn=2n-1， 故cn= 于是,-可得,【延伸探究】 1.(变换条件)将典例条件“cn= ”改为“cn=anbn”， 其他条件不变，求Tn.,【解析】因为cn=(2n-1)2n-1， 所以Tn=120+321+522+(2n-1)2n-1， 2Tn=121+322+523+(2n-1)2n， 两式相减得 -Tn=1+22+23+2n-(2n-1)2n =-(2n-3)2n-3， 所以Tn=(2n-3)2n+3，nN*.,2.(变换条件、改变问法)将数列an满足的条件改为“数列an的前n项和Sn满足2Sn=3n+3”，将数列bn满足的条件改为“anbn=log3an”，求数列bn的前n项和Tn.,【解析】Sn= 当n=1时，a1=S1= =3. 当n2时，an=Sn-Sn-1， 即an= 所以an= 当n=1时，a1b1=3b1=1，所以b1= ； 当n2时，anbn=3n-1bn=log33n-1=n-1，,所以bn= 故bn= 当n=1时，T1=b1= ； 当n2时，Tn=b1+b2+b3+b4+bn,两式相减得 所以Tn= 因为T1= 符合上式，所以bn的前n项和 Tn=,【方法技巧】 1.错位相减法的使用范围及注意事项 (1)适用范围：主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和.,(2)注意事项：利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式对齐，以便于作差，正确写出(1-q)Sn的表达式；利用此法时要注意讨论公比q是否等于1.,2.错位相减法进行求和的基本步骤 (1)在等式Sn=a1+a2+a3+an两边同乘以等比数列的公比q. (2)两式相减：左边为(1-q)Sn，右边为q的同次式对齐相减. (3)右边去掉最后一项(有时需要去掉第一项)剩下的各项组成等比数列，可以采用公式求和.,【补偿训练】(2014安徽高考)数列an满足a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，nN*. (1)证明：数列 是等差数列. (2)设bn=3n ，求数列bn的前n项和Sn.,【解析】(1)由已知可得 所以 是以1为首项，1为公差的等差数列.,(2)由(1)得 =1+(n-1)=n， 所以an=n2，从而bn=n3n， Sn=131+232+333+n3n， 3Sn=132+233+334+(n-1)3n+n3n+1.,将以上两式联立可得-2Sn=31+32+33+3n-n3n+1,【延伸探究】 1.(变换条件)将本题数列an满足的条件改为“a1+3a2+ 32a3+3n-1an= ，nN*”，数列bn满足的条件改为 “bn= ”，其他条件不变，求Sn.,【解析】因为a1+3a2+32a3+3n-1an= ， 所以当n2时， a1+3a2+32a3+3n-2an-1= ， -得3n-1an= ，所以an= . 在中，令n=1，得a1= ，适合an= ，所以an= . 因为bn= ，所以bn=n3n.,所以Sn=3+232+333+n3n， 所以3Sn=32+233+334+n3n+1. -得2Sn=n3n+1-(3+32+33+3n)， 即2Sn=n3n+1- 所以Sn=,2.(变换条件、改变问法) 将数列an满足的条件改为“数列an是等差数列， a2+a4=10，2a2+a3=11”，求数列 的前n项和.,【解析】设等差数列an的公差为d， 由2a3=a2+a4=10得a3=5， 又因为2a2+a3=11，所以2a2=6，a2=3， 所以d=a3-a2=5-3=2， 所以an=a2+(n-2)d=3+2(n-2)=2n-1，,因为 所以Tn= 则 两式相减，得,类型三 等差、等比数列的综合问题 角度1：等差、等比数列的判定问题 【典例】(2015娄底高二检测)已知Sn是等比数列an的前n项和，且公比q1，a2，a8，a5成等差数列，求证：S3，S9，S6成等差数列.,【解题探究】本例中，由a2，a8，a5成等差数列，可得什么等式？为证明S3，S9，S6成等差数列需证什么等式？两者可用什么公式建立联系？ 提示：由a2，a8，a5成等差数列，可得2a8=a2+a5.为证明S3，S9，S6成等差数列需证S3+S6=2S9.两者可用等比数列的通项公式和前n项和公式建立联系.,【解析】由a2，a8，a5成等差数列，可得2a8=a2+a5 2a1q7=a1q+a1q4. 又因为a10，所以2q7=q+q42q9=q3+q6(1) 因为q1，所以S3+S6= (2),把(1)式代入(2)式，得S3+S6= 故S3，S9，S6成等差数列.,角度2：求和问题 【典例】(2015福建高考)等差数列an中，a2=4，a4+a7=15. (1)求数列an的通项公式. (2)设bn= +n，求b1+b2+b3+b10的值.,【解题探究】典例中，(1)求通项公式的关键是什么？ (2)数列的结构特征是什么？应选择什么方法求前10项 的和？ 提示：(1)关键是计算等差数列的首项和公差.(2)数列 bn是由等差数列n和等比数列 相加得到的， 用分组求和法求前10项的和.,【解析】(1)设等差数列an的公差为d. 由已知得 解得 所以an=a1+(n-1)d=n+2.,(2)由(1)可得bn=2n+n. 所以b1+b2+b3+b10 =(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10) =(2+22+23+210)+(1+2+3+10) =(211-2)+55 =211+53=2 101.,【延伸探究】典例中数列an改为正项等比数列，其 满足的条件改为a1+a2=6，a3+a4=24，求数列 的前n项和Tn.,【解析】设数列an的公比为q(q0). 则 解得： 所以an=a1qn-1=22n-1=2n. 所以an+log2an=2n+log22n=2n+n， 所以Tn=(2+22+2n)+(1+2+n),角度3：探索性问题 【典例】(2015漳州高一检测)已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=-18. (1)求数列an的通项公式. (2)是否存在正整数n，使得Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由.,【解题探究】典例(1)中利用什么条件建立关于首项和公比的方程？典例(2)解题的基本步骤是什么？ 提示：根据S4，S2，S3成等差数列和a2+a3+a4=-18列方程组计算首项和公比.假定存在正整数n，使得Sn 2 013，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论.,【解析】(1)设数列an的公比为q，则a10，q0. 由题意得 即 解得 故数列an的通项公式为an=3(-2)n-1.,(2)由(1)有Sn= 若存在n，使得Sn2 013， 则1-(-2)n2 013，即(-2)n-2 012. 当n为偶数时，(-2)n0，上式不成立； 当n为奇数时，(-2)n=-2n-2 012， 即2n2 012，则n11.,综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n=2k+1，kN*，k5.,【方法技巧】 1.等差数列、等比数列的判断方法 (1)定义法：an+1-an=d(常数)an是等差数列； (q为常数，q0)an是等比数列. (2)中项公式法：2an+1=an+an+2an是等差数列；an+12=anan+2(an0)an是等比数列.,2.分组求和 当一个数列本身既不是等差数列也不是等比数列，但此数列的项可分成二项(或多项)，而这两项(或多项)往往是常数或是等差(比)数列，进而利用等差数列或等比数列的求和方法分别求和，然后再合并，从而得到该数列的和.,3.存在探索性问题 (1)基本特征：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立.,(2)解题策略：假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论.,【变式训练】1.设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an，证明：数列bn是等比数列. (2)求数列an的通项公式.,【解析】(1)因为Sn+1=4an+2，所以当n2时，Sn=4an-1+2， 所以Sn+1-Sn=(4an+2)-(4an-1+2)， 所以an+1=4an-4an-1， 所以an+1-2an=2(an-2an-1)， 因为bn=an+1-2an，所以bn=2bn-1(n2)， 故bn是首项b1=3，公比为2的等比数列.,(2)由(1)知bn=an+1-2an=32n-1，所以 故 是首项为 ，公差为 的等差数列. 所以 得an=(3n-1)2n-2.,2.(2015银川高一检测)设数列an满足a1=2，an+1-an=34n(nN*). (1)求数列an的通项公式. (2)令bn=n+an，求数列bn的前n项和Sn.,【解析】(1)由题意，得 a2-a1=34， a3-a2=342， a4-a3=343， an-an-1=34n-1(n2)，,以上n-1个式子相加，得 an-a1=3(4+42+43+4n-1) 所以an=a1+4n-4=4n-2. a1=2满足上式，所以an=4n-2.,(2)bn=n+an=n+(4n-2)， Sn=1+(4-2)+2+(42-2)+3+(43-2)+n+(4n-2) =(1+2+n)+(4+42+43+4n)-2n,3.已知数列an满足：a1=1，a2=a(a0).数列bn满足bn=anan+1(nN*). (1)若an是等差数列，且b3=12，求a的值及an的通项公式. (2)若an是等比数列，求bn的前n项和Sn. (3)当bn是公比为a-1的等比数列时，an能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由.,【解析】(1)因为an是等差数列，a1=1，a2=a， 所以an=1+(n-1)(a-1). 又因为b3=12， 所以a3a4=12，即(2a-1)(3a-2)=12. 解得a=2或a=- .因为a0，所以a=2，an=n.,(2)因为数列an是等比数列，a1=1，a2=a(a0)， 所以an=an-1，bn=anan+1=a2n-1. 因为 =a2，所以数列bn是首项为a，公比为a2的等 比数列. 当a=1时，Sn=n；当a1时，Sn=,(3)数列an不能为等比数列.理由如下： 因为bn=anan+1， 所以 则 =a-1.所以a3=a-1. 假设数列an能为等比数列.,由a1=1，a2=a，得a3=a2. 所以a2=a-1，因为此方程无解， 所以数列an不能为等比数列.,规范解答 数列求和问题 【典例】(12分)(2015山东高考)已知数列an是首项 为正数的等差数列，数列 的前n项和为 . (1)求数列an的通项公式. (2)设bn=(an+1) ，求数列bn的前n项和Tn.,【审题指导】(1)先根据数列 的前n项和为 ， 计算出 然后根据数列an是等差数列列方程组 计算a2和公差d，最后写出通项公式. (2)首先根据(1)的结论写出bn的通项公式，然后利用错 位相减法求解.,【规范解答】(1)设等差数列an的公差为d， 令n=1，得 所以a1a2=3， 即a1(a1+d)=3，1分 令n=2，得 所以a2a3=15， 即(a1+d)(a1+2d)=152分,得 =5，整理得d=2a1， 代入得a1(a1+2a1)=3，故a12=1， 又因为a10，所以a1=1，所以d=2. 3分 所以an=1+(n-1)2=2n-1. 4分,(2)因为bn=(an+1) =2n22n-1=n4n. 6分 所以Tn=141+242+343+n4n， 所以4Tn=142+243+344+n4n+1， 8分,两式相减，得-3Tn=4+42+43+4n-n4n+1 10分 所以 12分,【题后悟道】 1.抓住数列的通项选择求和方法 求数列的前n项和一定要抓住数列的通项，分析通项公式的结构与特点，通过对通项进行适当的变形、转换达到求和的目的.如本例中bn=n4n是等差数列n与等比数列4n对应项相乘而成的，可采用错位相减法求和.,2.关注运算准确性、重视检验 解数列求和问题时，往往涉及较为复杂的运算，稍有不 慎就会导致丢分.若中间过程中的关键量计算出错，不 仅得不到分，而且浪费时间.因此，解题时要加强检验， 避免失分.如本例中，b1=14=4， 两者吻合，否则解题必然有错.,