高中数学优质课件精选——人教版必修五：2.3 等差数列的前n项和 2.3.1 探究导学课型 .ppt

2.3等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和,1.体会等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式，并应用其解决实际问题. 3.熟练掌握等差数列五个量a1，d，n，an，Sn间的关系.,等差数列的前n项和公式,1.若等差数列an前5项和S5=10，则a3=() A.2B.4C.6D.8 【解析】选A.S5= =10，即a1+a5=4， 故a3= =2.,2.等差数列an的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则d=. 【解析】因为S3=3a1+ d=6，所以d=-2. 答案：-2,3.若等差数列an的通项公式为an=2n，则Sn=. 【解析】由题意知a1=2，d=2，所以Sn=na1+ 2 =n2+n. 答案：n2+n,一、等差数列前n项和公式 结合等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d及前n项和公式 Sn= ；Sn=na1+ d，思考下面的问题：,探究1：试用数列an的通项公式an=a1+(n-1)d及Sn= 推导Sn=na1+ d. 提示：将an=a1+(n-1)d代入Sn= 化简即可.,探究2：等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式中共涉及几个量？如何求这些量？ 提示：在这些公式中共含有5个量a1，d，n，an，Sn，所以只需知道其中的3个量就可以通过解方程组求出另外的2个量.,【探究总结】等差数列前n项和公式的三个关注点 (1)等差数列前n项和公式中涉及五个量，已知其中任意三个就可以列方程组求另外两个(简称“知三求二”)，它是方程思想在数列中的体现. (2)等差数列求和公式的推导，用的是倒序相加法，要注意体会这种求和方法的适用对象和操作程序，并能用来解决与之类似的求和问题.,(3)当Sn是n的二次函数时，an不一定是等差数列.如果Sn=an2+bn+c，则在c=0时an是等差数列，在c0时an不是等差数列；反过来an是等差数列，Sn的表达式可以写成Sn=an2+bn的形式，但当an是不为零的常数列时，Sn=na1是n的一次函数.,二、等差数列前n项和的性质 由等差数列的前n项和公式Sn=na1+ 变形得： 请根据该式子思考下面的问题： 探究1：等差数列的前n项和是否可以看成是关于n的二次函数？ 提示：可以，若令A= ，B=a1- ，则 可化为 Sn=An2+Bn，显然是关于n的二次函数.,探究2：若Sn为等差数列an的前n项和，则数列 是否为等差数列？若是，则公差是什么？ 首项是什么？ 提示：根据等差数列的前n项和公式可得， 两边同除以n得： 所以 是首项为a1，公差 为 的等差数列.,【探究总结】1.对等差数列的前n项和性质的两点说明 (1)等差数列的前n项和可以写成Sn=An2+Bn，其中A，BR(注意不含常数项时才为等差数列)，其中公差为2A. (2)利用等差数列的前n项和性质解题能使问题的解决简单、快捷.,2.等差数列前n项和的三条性质 (1)等差数列an中，若Sn=m，Sm=n(mn)，则Sm+n=-(m+n). (2)等差数列an中，若Sn=Sm(mn)，则Sm+n=0. (3)设数列an是等差数列，项数为m，其奇数项之和记为S奇， 偶数项之和记为S偶，那么，当项数m为偶数2n时，S偶-S奇=nd， 当项数m为奇数2n+1时，S奇-S偶=an+1， .,类型一等差数列前n项和公式的应用 1.(2014福建高考)等差数列an的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于() A.8B.10C.12D.14 2.已知数列 则a1+a2+a3+a4+a99 +a100=() A.4800B.4900C.5000D.5100,3.数列an为等差数列.已知a2=1，a4=7. (1)求通项公式an. (2)求an的前10项和S10.,【解题指南】1.利用公式，联系基本量a1，d建立方程求解. 2.先列出数列的项，再利用等差数列的前n项和公式求解. 3.先根据a2=1，a4=7，求出首项和公差，进而得出通项公式，再根据等差数列的前n项和公式求前10项和.,【自主解答】1.选C.由题得 解得 所以a6=a1+5d=12. 2.选C.由题意得a1+a2+a3+a4+a99+a100 =0+2+2+4+4+98+98+100 =2(2+4+6+98)+100 =2 +100=5 000. 3.(1)设公差为d，则 解得 所以an=3n-5. (2)S10=10(-2)+ 3=115.,【规律总结】等差数列前n项和公式运用的注意点及解题流程 (1)注意点： 方程思想：等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解； 整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.,(2)解题流程： 等差数列an中，a1和d是两个基本量，利用等差数列通项公式与前n项和公式列方程组求解a1和d是解决等差数列求和问题的常用方法.,其一般的解题流程为：,【变式训练】 1.已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1= ，S2=a3， 则a2=，Sn=. 2.在等差数列an中，已知a6=10，S5=5，则S8=.,【解析】1.设an的公差为d， 由S2=a3知，a1+a2=a3，即2a1+d=a1+2d， 又a1= ，所以d= ，故a2=a1+d=1， Sn=na1+ n(n-1)d= n+ (n2-n) = n2+ n. 答案：1 n2+ n,2.因为a6=10，S5=5， 所以 解方程组得 则S8=8a1+28d=8(-5)+283=44. 答案：44,类型二等差数列前n项和的性质的应用 1.(2014重庆高二检测)在等差数列an中，3(a2+a6)+ 2(a5+a10+a15)=24，则此数列前13项之和为() A.26B.13C.52D.156 2.等差数列an的通项公式是an=2n+1，其前n项和为Sn，则数 列 的前10项和为. 3.一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求 前110项之和.,【解题指南】1.由条件求出a1+a13的值，然后利用等差数列 前n项和的性质求解. 2.利用数列 是等差数列来求解. 3.可利用等差数列前n项和的性质求解.,【自主解答】1.选A.由条件知6a4+6a10=24，即a4+a10=4， 故a1+a13=4，所以S13= =26. 2.因为an=2n+1，所以a1=3， 所以Sn= =n2+2n，所以 =n+2， 所以 是公差为1，首项为3的等差数列， 所以前10项和为310+ 1=75. 答案：75,3.数列S10，S20-S10，S30-S20，S100-S90，S110-S100成等差数 列，设其公差为D，前10项和10S10+ D=S100=10，所以 D=-22，所以S110-S100=S10+(11-1)D=100+10(-22)=-120. 所以S110=-120+S100=-110.,【规律总结】等差数列前n项和的几个常用性质 已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，在解题中常用的性质有： (1)Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，成等差数列. (2)若项数为2n-1项，则S2n-1=(2n-1)an.,【变式训练】已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sm=70，S2m=110，则S3m=. 【解析】因为an为等差数列， 所以Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列， 所以2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m， 即2(110-70)=70+S3m-110， 所以S3m=120. 答案：120,类型三数列Sn与an的关系问题 1.(2013新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m=() A.3B.4C.5D.6 2.Sn是数列an的前n项和，根据条件求an. (1)Sn=2n2+3n+2. (2)Sn=3n-1.,【解题指南】1.利用an=Sn-Sn-1，求出am及am+1的值，从而确定 等差数列an的公差，再利用前n项和公式求出首项a1，进而 根据通项公式求出m的值. 2.利用 求数列的通项公式，注意验证n=1 时是否适合一般的式子.,【自主解答】1.选C.由已知得，am=Sm-Sm-1=2，am+1=Sm+1-Sm=3，因为数列an为等差数列， 所以d=am+1-am=1， 又因为 所以m(a1+2)=0， 因为m0，所以a1=-2， 又am=a1+(m-1)d=2，解得m=5.,2.(1)当n=1时，a1=S1=7， 当n2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n+2)-2(n-1)2+3(n-1)+2 =4n+1，又a1=7不适合上式， 所以an= (2)当n=1时，a1=S1=2， 当n2时，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=23n-1，显然a1适合上式， 所以an=23n-1(nN*).,【规律总结】由数列的前n项和求数列的通项公式的步骤 (1)令n=1，求a1，即a1=S1. (2)当n2时，an=Sn-Sn-1. (3)验证n=1时，an=Sn-Sn-1是否成立. (4)得出结论.,【变式训练】已知数列an的前n项和 求数 列an的通项公式an. 【解析】当n2时，an=Sn-Sn-1 当n=1时， 满足上式， 所以an=-3n+104(nN*).,类型四等差数列前n项和的实际应用 1.为了参加5 000m长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划.第1天跑5 000m，以后每天比前一天多跑400m，李强10天一共跑了m.,2.甲、乙两物体分别从相距70m的两处相向运动，甲第一分钟运动2m，以后每分钟比前一分钟多运动1m，乙每分钟运动5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折回，甲继续每分钟比前一分钟多运动1m，乙继续每分钟运动5m，那么开始运动后几分钟第二次相遇？,【解题指南】1.根据李强每天跑的路程构成一个首项为 5 000m，公差为400m的等差数列，转化为求和. 2.(1)甲每分钟运动的路程构成了一个首项a1=2，公差d=1的等差数列，由甲运动的路程与乙运动的路程之和为70求解. (2)到第二次相遇，甲、乙两人共运动了370m，建立方程求解.,【自主解答】1.将李强每一天跑的路程记为数列an， 则a1=5 000m，公差d=400m. 所以S10=10a1+ d =105 000+45400=68 000(m)， 故李强10天一共跑了68 000m. 答案：68 000,2.把物理问题转化为等差数列求项数问题. (1)设第n分钟后第一次相遇，依题意有 2n+ +5n=70， 整理，得n2+13n-140=0， 解得n=7，n=-20(舍去). 所以第一次相遇在开始运动后的第7分钟.,(2)设第m分钟后第二次相遇， 依题意，有2m+ +5m=370， 整理，得m2+13m-420=0， 解得m=15，m=-28(舍去). 所以第二次相遇在开始运动后的第15分钟.,【规律总结】解数列应用题的四个关注点 (1)认真审题，准确理解题意，认真筛选，收集和处理问题中提供的信息，善于把问题数学化. (2)弄清题目中的主要已知事项，明确所求的结论是什么. (3)将实际问题抽象为数列问题，将已知与所求联系起来，根据题意引出满足题意的数学关系式. (4)在解数列应用题时，一般要经历“设列解答”四个环节.,【变式训练】某地区有荒山2 200亩，从2007年开始每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化？,【解析】由题意可知，各年植树亩数为100，150，200， 成等差数列， 设植树n年可将荒山全部绿化，则： 100n+ 50=2 200， 解之得n=8或n=-11(舍去)， 所以到2014年可将荒山全部绿化.,