高中数学优质课件精选——人教版必修五：2.3 等差数列的前n项和 2.3.1 精讲优练课型 .ppt

2.3等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和,【知识提炼】 1.数列的前n项和 (1)定义：对于数列an，一般地，称_为数列an的前n项和. (2)表示：常用符号Sn表示，即Sn=_.,a1+a2+a3+an,a1+a2+a3+an,2.等差数列的前n项和公式,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)若数列an的前n项和为Sn，则a1与S1有什么关系？ 提示：a1=S1.,(2)等差数列an的前n项和公式(包含首项、公差和项数)是关于n的二次函数吗？ 提示：不一定.当d0时，Sn=na1+ d= n2+ (a1- )n是关于n的二次函数；当d=0时，Sn=na1=a1n是关于n的一次函数.,2.若数列an的前n项和为Sn=n2+2，则a10的值为() A.19B.20C.100D.102 【解析】选A.a10=S10-S9=(102+2)-(92+2)=19.,3.等差数列an中首项a1=1，公差d=-2，则前10项的和S10=() A.-20 B.-40 C.-60 D.-80 【解析】选D.S10=101+ (-2)=-80.,4.等差数列an中，若a1=-2，a9=12，则S9=_. 【解析】S9= =45. 答案：45,5.2+6+10+14+(4n+2)+(4n+6)=_ 【解析】数列2，6，10，14，4n+2，4n+6是首项为2，公差为4的等差数列，共有n+2项. 所以原式= =2n2+8n+8. 答案：2n2+8n+8,【知识探究】 知识点1 等差数列的前n项和公式 观察图形，回答下列问题：,问题1：等差数列前n项和公式的两种形式中，一共涉及哪几个量？怎样由已知量求未知量？ 问题2：等差数列前n项和公式的两种形式分别适合在什么情况下使用？,【总结提升】 1.等差数列前n项和公式的结构,2.等差数列前n项和公式的特点 (1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和. (2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.,(3)当已知首项、末项和项数时，用Sn= 较为简便；当已知首项、公差和项数时，用Sn=na1+ 较好.,知识点2 数列的通项an与前n项和Sn的关系 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：当n2时，数列an的前n项和Sn与an有怎样的关系？ 问题2：数列的通项公式何时采用分段形式？,【总结提升】 1.an与Sn的关系 当n2时，有Sn=a1+a2+a3+an，Sn-1=a1+a2+a3+ an-1，所以Sn-Sn-1=an. 当n=1时，a1=S1. 综上可知，an=,2.对an与Sn的关系的两点说明 (1)这一关系对任何数列都适用.,(2)若由an=Sn-Sn-1(n2)中令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1相同，则说明an=Sn-Sn-1(n2)也适合n=1的情况，数列的通项公式用an=Sn-Sn-1表示. 若由an=Sn-Sn-1(n2)中令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1不相同，则说明an=Sn-Sn-1(n2)不适合n=1的情况，数列的通项公式采用分段形式即an=,【题型探究】 类型一 等差数列前n项和的有关计算 【典例】1.(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=() A.5B.7C.9D.11,2.(2015安徽高考)已知数列an中，a1=1，an=an-1 + (n2)，则数列an的前9项和等于_. 3.根据下列条件，求相应的等差数列an的有关未知数： (1)d= ，an= ，Sn=- ，求a1及n. (2)a1= ，a15=- ，Sn=-5，求n和d.,【解题探究】1.典例1中，为了简化计算可以利用等差数列的什么性质？ 提示：利用等差数列的性质得2a3=a1+a5，所以S5=5a3，即可求解. 2.典例2中，数列an是等差数列吗？若是，其首项和公差分别是什么？ 提示：数列an为等差数列，其首项为1，公差为 .,3.典例3中，解题的依据是什么？用到什么数学思想？ 提示：依据是以下三个公式an=a1+(n-1)d， Sn= ，Sn=na1+ d.解题基本思想是方程的思想.,【解析】1.选A.因为a1+a3+a5=3a3=3， 所以a3=1，所以S5= =5a3=5. 2.当n2时，an=an-1+ 且a2=a1+ ，所以an是首项为1，公差是 的等差数列，所以S9=91+ = 9+18=27. 答案：27,3.(1)方法一：由题意得 由得a1=2- ，代入整理得 n2-7n-30=0解得n=10或n=-3(舍去)， 所以a1=2- =-3.,方法二：a1=an-(n-1)d = -(n-1) =2- ， 所以Sn= 整理得n2-7n-30=0，下同方法一.,(2)因为a15= +(15-1)d=- ， 所以d=- .又Sn=na1+ d=-5， 解得n=15，或n=-4(舍).,【方法技巧】等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值.,(2)利用等差数列的性质解题.,【变式训练】1.在等差数列an中，其前n项和为Sn，且S2 011=2 011，a1 007=-3，则S2 012=_.,【解析】因为S2 011=2 011， 所以 =2 011. 所以a1+a2 011=2. 又因为a1+a2 011=2a1 006，所以a1 006=1. 又因为a1 007=-3， 所以S2 012=,答案：-2 012,2.在等差数列an中， (1)已知a5+a10=58，a4+a9=50，求S10. (2)已知S7=42，Sn=510，an-3=45，求n.,【解析】 (1)方法一：由已知条件得 解得 S10=10a1+ d=103+454=210.,方法二： 所以a1+a10=42， 所以S10= =542=210. (2)S7= =7a4=42，所以a4=6. Sn= =510， 所以n=20.,类型二 an与Sn关系的应用 【典例】数列an的各项都为正数，且满足Sn= (nN*)，求数列an的通项公式.,【解题探究】本例中如何消去Sn？消去Sn后，为求an应整理为何种形式？ 提示：先根据Sn= 得出4Sn+1=(an+1+1)2，然后作差消去Sn.应整理为an+1-an=f(n)或 =g(n)的形式.,【解析】由Sn= 得4Sn=(an+1)2 所以4Sn+1=(an+1+1)2 -得4Sn+1-4Sn=(an+1+1)2-(an+1)2， 4an+1= +2an+1- -2an， ( - )-2(an+1+an)=0，,(an+1+an)(an+1-an-2)=0， 因为an0，所以an+1-an=2， 又4S1=4a1=(a1+1)2得a1=1， 故an是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以an=2n-1.,【延伸探究】1.(变换条件)本例中的条件Sn= 改为log2(Sn+1)=n+1，其他条件不变，结果又如何？,【解析】因为log2(Sn+1)=n+1， 所以Sn=2n+1-1， 当n2时，an=Sn-Sn-1 =(2n+1-1)-(2n-1)=2n， 当n=1时，a1=S1=22-1=3不适合上式， 所以an=,2.(改变问法)本例条件不变，试证明数列 是等差数列. 【证明】由已知得 2 =an+1，所以2 =Sn-Sn-1+1(n2)， 化简可得( -1)2=Sn-1， ( + -1)( - -1)=0，,又S1=1，an的各项都为正数， 所以 - =1(n2)， 所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列.,3.(变换条件、改变问法)本例条件Sn= 改为 Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0，其他条件不变，求证：数列an是等差数列.,【证明】因为Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0，nN*， 所以令n=1得S12-(-1)S1-6=0， 即a12+a1-6=0，解得a1=2或a1=-3， 由于数列an各项为正数，所以a1=2. 由Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0， 因式分解得(Sn+3)(Sn-n2-n)=0，,由数列an各项为正数可得Sn-n2-n=0， 即Sn=n2+n， 当n2时，an=Sn-Sn-1 =n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n， 当n=1时，a1=2也适合上式， 所以an=2n，nN*,因为an+1-an=2(n+1)-2n=2，nN*， 所以数列an是首项为2，公差为2的等差数列.,【方法技巧】 1.由Sn求通项公式an的步骤 第一步：令n=1，则a1=S1，求得a1； 第二步：令n2，则an=Sn-Sn-1； 第三步：验证a1与an的关系： (1)若a1适合an，则an=Sn-Sn-1.,(2)若a1不适合an，则an= 2.Sn与an的关系式的应用 (1)“和”变“项”. 首先根据题目条件，得到新式(与条件相邻)，然后作差将“和”转化为“项”之间的关系，最后求通项公式.,(2)“项”变“和”. 首先将an转化为Sn-Sn-1，得到Sn与Sn-1的关系式，然后求Sn.,【补偿训练】若数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn-1=0(n2)，a1= . (1)求证： 成等差数列. (2)求数列an的通项公式.,【解析】(1)当n2时，由an+2SnSn-1=0， 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1，所以 =2， 又 =2， 故 是首项为2，公差为2的等差数列.,(2)由(1)可得 =2n，所以Sn= . 当n2时， an=Sn-Sn-1= 当n=1时，a1= 不适合上式. 故an=,【延伸探究】1.(变换条件)若将条件改为“a1=2，Sn= (n2)”，如何求解.,【解析】(1)因为Sn= 所以 所以 =2. 所以 是以 为首项，2为公差的等差数列. 所以 即Sn=,(2)当n2时，an=Sn-Sn-1= 当n=1时，a1=2不适合an， 故an= n2.,2.(变换条件、改变问法)若将条件改为“2Sn=an2+n-4”，求证：数列an是等差数列.,【证明】当n=1时， 有2a1=a12+1-4，即a12-2a1-3=0， 解得a1=3(a1=-1舍去). 当n2时，有2Sn-1= +n-5， 又因为2Sn=an2+n-4， 两式相减得2an=an2- +1，,即an2-2an+1= ，即(an-1)2= ， 因此an-1=an-1或an-1=-an-1. 若an-1=-an-1，则an+an-1=1，而a1=3， 所以a2=-2，这与数列an的各项均为正数相矛盾， 所以an-1=an-1，即an-an-1=1， 因此数列an为等差数列.,类型三 等差数列前n项和的最值问题 【典例】1.已知数列an为等差数列，若 0的n的最大值为_.,2.(2015长春高一检测)已知数列an是一个等差数列，且a2=1，a5=-5. (1)求an的通项an. (2)求an前n项和Sn的最大值.,【解题探究】1.典例1中，如何判断a6与a7的符号？进一步可判断前多少项和的符号？ 提示：由Sn有最大值可知公差da7，所以a60，a70，S12<0.,2.典例2中，(1)关键是计算等差数列的哪些关键量？ (2)求Sn的最大值的基本方法是什么？ 提示：(1)关键是计算等差数列的首项和公差. (2)求Sn的最大值的基本方法：分析项的符号变化规律；类比二次函数求最值的方法.,【解析】 1.因为 0，a70； 当n7时，an<0，,S1S7S8， 又因为S11= =11a60， S12= =6(a6+a7)0的n的最大值为11. 答案：11,2.(1)设an的公差为d，由已知条件， 解出a1=3，d=-2. 所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.,(2)方法一：因为an=-2n+5=2( -n)， 所以当1n2时，an0； 当n3时，an<0， 所以n=2时，Sn取到最大值4.,方法二：Sn=na1+ d=-n2+4n =4-(n-2)2. 所以n=2时，Sn取到最大值4.,【延伸探究】典例1中的“ 0，a110； 当n11时，an<0，,S1S11S12， 又因为S19= =19a100， S20= =10(a10+a11)0的n的最大值为19.,【方法技巧】等差数列前n项和最值的两种求法 (1)符号转折点法. 当a10，d0时，由不等式组 可求得Sn取最小值时的n值.,(2)利用二次函数求Sn的最值. 知道公差不为0的等差数列的前n项和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a0)的形式，我们可将其变形为Sn= 若a0，则当 最小时，Sn有最小值； 若a<0，则当 最小时，Sn有最大值.,【变式训练】等差数列an的首项a10，设其前n项和为Sn，且S5=S12，则当n为何值时，Sn有最大值？ 【解题指南】解答本题若利用二次函数求Sn的最大值，关键是分析出d<0和相应函数图象的对称轴；若用符号转折法，一方面是分析出d<0，得到数列是递减数列，另一方面是判断出a9=0.,【解析】方法一：由题意知d<0， 因为Sn= ，则可设f(x)= 如图：,由S5=S12知，抛物线的对称轴为x= 由图可知，当1n8时，Sn单调递增；当n9时，Sn单调递减. 又nN*，所以当n=8或9时，Sn最大.,方法二：设等差数列an的公差为d， 由S5=S12得5a1+10d=12a1+66d，d=- a10，nN*， 所以当n=8或n=9时，Sn有最大值.,方法三：设等差数列an的公差为d， 由方法二得d=- a1<0. 设此数列的前n项和最大，则 即 解得 即8n9， 又nN*，所以当n=8或n=9时，Sn有最大值.,方法四：同方法二得d=- a1<0， 又S5=S12，得a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12=0， 所以7a9=0，所以a9=0，所以当n=8或9时，Sn有最大值.,【补偿训练】1.设数列an是公差d<0的等差数列，Sn为前n项和，若S6=5a1+10d，则Sn取最大值时，n的值 为() A.5 B.6 C.5或6 D.11 【解析】选C.由题意得S6=6a1+15d=5a1+10d， 所以a6=0，故当n=5或6时，Sn最大.,2.等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，已知a10=18，S5=-15. (1)求数列an的通项公式. (2)求数列an的前n项和的最小值，并指出此时n的值.,【解析】(1)设等差数列an的公差为d， 由题意得 解得a1=-9，d=3，所以an=3n-12. (2)Sn= 因为nN*，所以当n=3或4时，前n项和取得最小值为 -18.,易错案例 利用an与Sn的关系求an 【典例】(2015龙岩高二检测)若数列an的前n项和为Sn=2n2+3n+1，求该数列的通项公式an.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是忽视an=Sn-Sn-1成立的条件是n2.实际上，本题中a1=S1=6，不满足an=Sn-Sn-1，n2.数列an的通项公式是分段形式.,【自我矫正】 因为Sn=2n2+3n+1，所以当n2时， Sn-1=2(n-1)2+3(n-1)+1=2n2-n， 所以an=Sn-Sn-1=(2n2+3n+1)-(2n2-n)=4n+1. 又a1=S1=6，不满足an=4n+1， 所以数列an的通项公式是an=,【防范措施】由Sn求an应注意的两点 (1)应重视分类讨论的应用，分n=1和n2两种情况讨论；特别注意an=Sn-Sn-1中需n2.,(2)由an=Sn-Sn-1，n2推得an后，当n=1时，若a1也适合“an式”，则需统一“合写”. 若不适合“an式”，则应分段表示(“分写”). 即an=,