高中数学优质课件精选——人教版必修五：2.4.2等比数列的性质 探究导学课型 .ppt
第2课时 等比数列的性质,1.了解等比数列的单调性与首项a1及公比q的关系. 2.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质. 3.掌握等比数列的性质，并能综合应用解决有关问题.,1.等比数列的常用性质 设等比数列an的公比为q，则 (1)an=amqn-m(m，nN*). (2)若m+n=k+l(m，n，k，lN*)，则_.,aman=akal,2.等比数列的单调性 (1)当a10，_或a1<0，_时，an为递增数列. (2)当_，0<q<1或a1<0，_时，an为递减数列. (3)当_时，an为常数列.,q1,0<q<1,a10,q1,q=1,1.在等比数列an中，a6=6，a9=9，则a3=() A.3B.C.D.4 【解析】选D.由a3，a6，a9成等比数列，得a62=a3a9，所以a3=4.,2.已知数列an是等比数列，若an0，且a2a4+2a3a5+a4a6=25，则a3+a5=. 【解析】因为数列an是等比数列，所以a2a4=a32， a4a6=a52，所以a2a4+2a3a5+a4a6 =a32+2a3a5+a52=(a3+ a5)2= 25， 又an0，所以a3+a5=5. 答案：5,3.在等比数列an中，a3a5a7a9a11=243，则 =. 【解析】由等比数列的性质知a3a11=a5a9=a72得a75=243，所以 a7=3，而a7a11=a92，所以 =a7=3. 答案：3,等比数列的性质 探究1：已知等比数列an：1，2，4，8，16，2n-1， (1)计算a1a4=；a2a3=.并说明a1a4与a2a3有什么关系？它们项数之间有什么关系？ 提示：a1a4=8，a2a3=8，所以a1a4=a2a3；项数之和对应相等，即1+4=2+3.,(2)若项数满足4+5=2+7，那么项之间满足a4a5=a2a7吗？ 提示：满足，因为a4=23=8，a5=24=16，a2=2， a7=26=64，所以a4a5=128=a2a7.,(3)若m+n=p+l(m，n，p，lN*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-12n-1=2m+n-2， apal=2p-12l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.,探究2：对任意的等比数列an，若有m+n=p+l(m，n，p，lN*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列an的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.,探究3：对任意的等比数列an，若aman=apal(m，n，p，lN*)，则m+n=p+l吗？ 提示：不一定相等，当数列an为常数列时，m+n与p+l不一定相等.,【探究总结】 1.等比数列性质的关注点 (1)利用性质m+n=p+qaman=apaq时要注意只有序号之和 相等时才成立，且aman=apaq m+n=p+q. (2)性质的特殊情况：若m+n=2p，则aman=ap2.,2.等比数列四个常用性质 (1)下标成等差数列，则其对应项成等比数列. (2)从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比 中项. (3)奇数项(或偶数项)依次仍组成等比数列. (4)若an，bn都是等比数列，则anbn， an(0)， 仍是等比数列.,类型一利用等比数列的性质求解基本量 1.(2014永安高一检测)等比数列an中，首项a1=1，公比q=2，则数列an2的通项是. 2.在等比数列an中，已知a4a7=-512，a3+a8=124，且公比为整数，则a10=.,【解题指南】1.先由an为等比数列，求出an的通项，判断an2是等比数列，再求其通项. 2.利用若m+n=p+q(m，n，p，qN*)，则aman=apaq求解.,【自主解答】1.因为an=2n-1，所以 =4， 所以an2是首项为1，公比为4的等比数列，故an2=4n-1. 答案：an2=4n-1 2.由a4a7=-512，得a3a8=-512. 由 解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍). 所以q= =-2. 所以a10=a3q7=-4(-2)7=512. 答案：512,【延伸探究】题2条件不变，求数列an的通项公式. 【解析】由a4a7=-512，得a3a8=-512. 由 解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍). 所以q= =-2， 所以an=a3qn-3=-4(-2)n-3=(-1)n2n-1.,【规律总结】解决等比数列问题常用的两种方法 (1)基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，然后求出其他量.这是等比数列常用的方法，其优点是思路简单、实用.缺点是计算较烦琐. (2)数列性质法：利用性质整体求值，简化运算过程.巧妙地利用性质m+n=p+qaman=apaq和anam=ap2 (m + n =2p，m，n，pN*)可以简化解题过程.,【加固训练】已知an为等比数列，a4+a7=2，a5a6=-8，则 a1+a10=() A.7B.5C.-5D.-7 【解析】1.选D.因为数列an为等比数列，所以a5a6=a4a7= -8，联立 解得 或 所以q3=- 或 q3=-2，故a1+a10= +a7q3=-7.,类型二等比数列性质的应用 1.(2015菏泽高二检测)已知数列an为正项等比数列，若 a3，a7是方程2x2-7x+6=0的两个根，则a1a3a5a7a9的 值是() A. B.9C.9D.35 2.已知数列an为等差数列，公差d0，由an中的部分项组成的数列ab1，ab2，abn，为等比数列，其中b1=1，b2= 5，b3= 17.求数列bn的通项公式.,【解题指南】1.由根与系数的关系得a3a7=3，又a1a9= a3a7=a52，可得a1a3a5a7a9的值. 2.根据ab1，ab2，ab3成等比数列，得出等差数列an的首项与公差的关系，从而求出数列abn的通项，再根据abn为等差数列an中的第bn项，求出数列bn的通项.,【自主解答】1.选B.因为a3，a7是方程2x2-7x+6=0的两根，故a3a7=3， 又根据等比数列的性质得 a1a9=a3a7=a52=3，故a5= ， 所以a1a3a5a7a9=33 =9 .,2.依题意a52=a1a17，即(a1+4d)2= a1(a1+16d)，所以a1d = 2d2，因为d0，所以a1=2d，数列abn的公比q= =3， 所以abn=a13n-1， 又abn=a1+(bn-1)d= a1， 由得a13n-1= a1. 因为a1= 2d0，所以bn= 23n-1-1.,【规律总结】等差、等比数列综合问题的解题技巧 对于等差数列、等比数列的综合问题，既可以按等差数列设项，也可以按等比数列设项，然后再根据条件求出其他项，一般是根据条件列方程组求解.同时解题时要注意运用等差数列、等比数列的性质得出相应的条件，再对式子做出灵活变形求解.,【变式训练】已知递增的等比数列an满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项. (1)求数列an的通项公式. (2)若bn=log2an+1，Sn是数列bn的前n项和，求使Sn42+4n成立的n的最小值.,【解析】(1)设等比数列an的公比为q，依题意有 2(a3+2)=a2+a4， 又a2+a3+a4=28，将代入得a3=8.所以a2+a4=20， 于是有 解得 或 又an是递增的，故a1=2，q=2.所以an=2n.,(2)bn=log22n+1=n+1，则bn为等差数列， 所以Sn= 故由题意可得 42+4n，得n12或n<-7. 又nN*，所以满足条件的n的最小值为13.,
