高中数学优质课件精选——人教版必修五：2.2 等差数列 2.2.2 探究导学课型 .ppt

第2课时 等差数列的性质,1.掌握等差数列的性质，能用性质解决一些实际问题. 2.能用等差数列的知识解决一些应用问题.,等差数列的性质 an是公差为d的等差数列， 若正整数m，n，p，q满足m+n=p+q，则：am+an=_.,ap+aq,1.已知等差数列an中，a7+a9=16，a8等于() A.8B.16C.24D.32 【解析】选A.因为a7+a9=2a8=16，故a8=8.,2.数列an是等差数列，公差为d，则数列2an的公差是. 【解析】数列2an的公差是2d. 答案：2d,3.数列an是等差数列，a3+a5=a2+=2. 【解析】利用等差数列的性质，因为3+5=2+6=24，所以a3+a5=a2+a6=2a4. 答案：a6a4,一、等差数列的性质 结合等差数列的性质：m+n=p+qam+an=ap+aq，探究下列问题： 探究1：该性质反过来是否成立？ 提示：不一定，当数列是常数列时，结论不成立；当数列是非常数列的等差数列时，结论成立.,探究2：特别地，若m+n=2p(m，n，pN*)，那么am+an=2ap是否成立？若m+n+p=q+r+s(m，n，p，q，r，sN*)，是否有am+an+ap=aq+ar+as成立？ 提示：成立.因为当m+n=2p时，am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d =2a1+(m+n-2)d=2a1+2(p-1)d=2ap， 同理可以证明若m+n+p=q+r+s(m，n，p，q，r，sN*)，有am+an+ap=aq+ar+as成立.,【探究总结】等差数列的常用性质 (1)在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和相 等，且等于首末两项之和，即a1+an=a2+an-1=ak+an-k+1. (2)在等差数列an中，公差d对任意的m，nN*且mn，都有 d= (3)an，bn均为等差数列，则anbn也为等差数列. (4)若kn为等差数列，knN*，an为等差数列，则 也 为等差数列.,二、等差数列与一次函数 根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，思考下面问题： 探究1：能否把等差数列的通项公式化为一次函数？ 提示：能.an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，令d=a(a为常数)， a1-d =b(b为常数)，则等差数列的通项公式化为一次函数 an=an+b(nN*).,探究2：若数列的通项公式an是n的一次函数，那么数列an是等差数列吗？ 提示：是.设an=an+b(a，b为常数)，则an+1=a(n+1)+b，则an+1-an=a(n+1)+b-an-b=a(常数)，故数列an是等差数列.,【探究总结】等差数列的函数性质 (1)当公差d0时，等差数列an的通项公式：an=a1+(n-1)d =pn+q(其中p=d)是关于n的一次函数，表示数列的各点(n，an) 在一次函数y=px+q的图象上，且该直线的斜率为公差d. (2)从图象的角度看，等差数列的图象是一条直线上孤立的 点，且斜率 (3)等差数列的单调性取决于公差d的符号.,【拓展延伸】等差数列与一次函数y=kx+b(k0)的区别与联系,类型一等差数列性质的应用 1.已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0，则有() A.a1+a1010B.a2+a101<0 C.a3+a99=0D.a51=51 2.(2014新乡高二检测)在等差数列an中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=.,【解题指南】1.利用a1+a101=a2+a100=2a51. 2.根据等差数列的性质可知a2+a8=a4+a6=a3+a7=37，进而可求出结果.,【自主解答】1.选C.根据性质得：a1+a101=a2+a100=a50+a52=2a51，由于a1+a2+a3+a101=0，所以a51=0， 又因为a3+a99=2a51=0，故正确答案为C. 2.由等差数列的性质可知a2+a8=a4+a6=a3+a7=37， 所以a2+a4+a6+a8=372=74. 答案：74,【规律总结】等差数列求值的两个重要性质 等差数列中，(1)若m，n，p，qN*且m+n=p+q，则am+an=ap+aq；(2)若m+n=2k，m，n，kN*，则am+an=2ak是最常用的两条性质，用它们解决等差数列的有关问题，有时会比较简便.,【变式训练】已知等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是() A.15B.30C.31D.64 【解析】选A.由a7+a9=a4+a12，得a12+1=16.故a12=15.,类型二等差数列的函数性质的应用 1.若数列an为等差数列，ap=q，aq=p(pq)，则ap+q为() A.p+qB.0C.-(p+q)D.,2.(2013辽宁高考改编)下面是关于公差d0的等差数列an 的四个说法： p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数 列 是递增数列；p4：数列an+3nd是递增数列，其中正确 的为() A.p1，p2B.p3，p4 C.p2，p3D.p1，p4,【解题指南】1.本题可用通项公式求解或者利用一次函数图象求解. 2.借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列.,【自主解答】1.选B.不妨设p<q，由于等差数列中，an关于n的 图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点(p， ap)，(q，aq)，(p+q，ap+q)共线.设ap+q=m，由已知，得三点 (p，q)，(q，p)，(p+q，m)共线，如图： 由ABEBCF，得 所以 所以 得m=0，即ap+q=0.,2.选D. p1：数列an是递增数列，由an+1-an=d0，知数列an是递增数列，正确. p2：数列nan是递增数列，由(n+1)an+1-nan =(n+1)(a1+nd)-na1+(n-1)d =a1+2nd，仅有d0是无法判断a1+2nd的正负的，因而不能判定(n+1)an+1，nan的大小，错误.,p3：数列 是递增数列，显然，当an=n时， =1，数列 是常数列，不是递增数列，错误. p4：数列an+3nd是递增数列，数列的第n+1项减去数列的第n 项 an+1+3(n+1)d-(an+3nd) =(an+1-an)+3(n+1)d-3nd =d+3d=4d0. 所以an+1+3(n+1)dan+3nd，即数列an+3nd是递增数列，正确.,【规律总结】等差数列函数特性应用的关注点 (1)把等差数列的通项公式看成一个特殊的一次函数，已知部分元素可求其他元素. (2)利用研究函数的方法研究数列的单调性、最值等性质.,【变式训练】已知：等差数列an满足an+2an+1+an+2=4，则该数列为() A.递增数列B.递减数列 C.常数列D.不能确定 【解析】选C.由n+n+2=2(n+1)， 得an+an+2=2an+1，即an+1=1， 所以等差数列an为常数列.,类型三等差数列的实际应用 1.九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为升.,2.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供的两个不同的信息表如图所示：,甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场生产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场生产2万只鸡. 乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请你根据提供的信息： (1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数. (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由.,【解题指南】1.设出自上而下各节的容积构成的等差数列，则该数列的前4项和为3，后3项和为4，而所求结果为第5项. 2.由图象可知养鸡数和养鸡场数目皆构成等差数列，所给的即数列的两项，可求数列的通项公式，根据通项公式来解题.,【自主解答】1.设自上而下各节的容积构成的等差数列为 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9. 则 解得 故a5=a1+4d= . 答案：,2.(1)设第n年每个养鸡场饲养鸡an万只，养鸡场为bn个，由图知an，bn均为等差数列且1n6， a1=1，a6=2，所以an=0.2n+0.8， b1=30，b6=10，所以bn=-4n+34， 所以a2=0.22+0.8=1.2， b2=-42+34=26，a2b2=1.226=31.2(万只). 所以第2年有养鸡场26个，全县出产鸡31.2万只. (2)a1b1=130=30(万只)，a6b6=210=20(万只). 因为a6b6<a1b1，所以第6年养鸡业规模比第1年缩小了.,【延伸探究】其他条件不变，求“哪一年的规模最大？并说明理由.” 【解析】由题2解析知每年出产鸡的只数为 y=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34) = (-2n2+9n+68) = 所以当n=2时，y有最大值.即第2年规模最大，共生产鸡 31.2万只.,【规律总结】利用等差数列解决实际问题的注意点 (1)实际应用的关键是从实际问题中抽象出等差数列模型. (2)公差不为0的等差数列的图象是一条直线上的均匀排列的孤立的点，反之给出这样的图象，那么它们之间构成等差数列，利用等差数列的性质解题.,【变式训练】在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值.如果1km高度的气温是8.5，5km高度的气温是-17.5，求2km，4km，8km高度的气温. 【解析】用an表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1=8.5，a5=-17.5，由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5， 解得d=-6.5，所以an=15-6.5n. 所以a2=2，a4=-11，a8=-37.,