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    高中数学优质课件精选——人教版必修五:3.4 基本不等式.1 探究导学课型 .ppt

    • 资源ID:3672756       资源大小:487.50KB        全文页数:29页
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    高中数学优质课件精选——人教版必修五:3.4 基本不等式.1 探究导学课型 .ppt

    3.4基本不等式: 第1课时基本不等式,1.理解基本不等式及其证明过程. 2.能用基本不等式证明不等式及比较大小.,重要不等式与基本不等式 (1)重要不等式:a2+b2_2ab,条件:a,bR;“=”成立的 条件是:_. (2)基本不等式:_,条件:a0,b0,“=”成立的 条件是_. (3)有关概念:_叫做正数a,b的算术平均数,_叫做正 数a,b的几何平均数.,a=b,a=b,1.a,b,c是互不相等的正数,且a2+c2=2bc,则下列关系中可能成立的是() A.abcB.bca C.bacD.acb,【解析】选C.因为a,c均为正数,且ac, 所以a2+c22ac, 又因为a2+c2=2bc,所以2bc2ac, 所以ba,可排除A,D.取a=1,b=2, 则有c2-4c+1=0,解得c=2 , 当c=2- 时,有bac.,2.不等式a+12 (a0)中等号成立的条件是 . 【解析】a+12 可变形为 等号成立的条件为a=1. 答案:a=1,3.若P=x2+1,Q=2x,则P与Q的大小关系是 . 【解析】根据重要不等式知P=x2+12x,故PQ. 答案:PQ,基本不等式 探究1:观察如图所示图形,其中AB是O的直径,点C是AB上的一点,CDAB,AC=a,BC=b,据此思考下列问题:,(1)用a,b如何表示CD? 提示:由条件知RtACDRtDCB,所以CD2=CACB,所以 CD= . (2)AB与DE的大小关系怎样? 提示:ABDE.,(3) 成立吗? 提示:成立.因为ABDE,即a+b2 ,所以 (4)C点在何位置时,上述不等式等号成立? 提示:当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立.,探究2:根据基本不等式及其成立的条件, 回答下列问题: (1)若a,b同号,则 的关系如何? 提示:当a,b0时, 当a,b0,,(2)当a,b异号时,不等式 成立吗? 提示:一定不成立,因为当a,b异号时,ab<0,所以 无意 义,故不等式一定不成立.,【探究总结】对基本不等式的四点说明 (1)“当且仅当”的含义是a=b (2)基本不等式的几何意义是:圆的半径不小于垂直于直径的半弦长. (3)基本不等式亦可表述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (4)基本不等式 与不等式a2+b22ab成立的条件不同,前者是a,bR+,后者是a,bR.,【拓展延伸】基本不等式的常用结论 (1)当x0时,x+ 2;当x0时, 当ab<0时, (3)若a,bR,则 ab,当且仅当a=b时,等 号成立. (4)若a,bR+,则 当且仅当 a=b时,等号成立.即调和平均数几何平均数算术平均数 平方平均数.,类型一 利用基本不等式比较大小 1.(2014济宁高二检测)设a0,b0,则下列不等式中,不成 立的是( ) 2.若ab1,P= Q= (lg a+lg b),R= 试比较P,Q,R的大小关系.,【解题指南】1.对每一选项利用基本不等式逐一判断. 2.在ab1的条件下,可得lgalgb0,进而可利用基本不等式比较P与Q的大小;再根据基本不等式及对数函数的单调性得出Q与R的大小.,【自主解答】1.选D.对于A: 不等式成立. 对于B:因为 相乘得 成立. 对于C:因为 又 成立. 对于D:因为,2.因为ab1,所以lg alg b0,所以Q= (lg a+lg b) =P; Q= 所以PQR.,【规律总结】利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的性质(单调性). (2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a0,b0.,【变式训练】已知a,b,c都是非负实数,试比较 与 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b22ab,所以2(a2+b2)(a+b)2,,类型二利用基本不等式证明不等式 1.(2014天津高二检测)设a,b是正实数,以下不等式: a|a-b|-b;a2+b24ab-3b2;ab+ 2. 其中恒成立的是() A.B.C.D. 2.设a,b,c都是正数,试证明不等式:,【解题指南】1.根据基本不等式及其变形形式证明. 2.原不等式左边可化为 再利用基本不等式证明.,【自主解答】1.选D.由题知,a0,b0.中 可化 为a+b 缺少两者相等的情况,故错误.中,因为a+b |a-b|成立,所以a|a-b|-b,故正确.中a2+b24ab-3b2, 可化为a2+4b24ab,由基本不等式知,缺少两者相等的情况, 故错误.中, 故正确.,2.因为a0,b0,c0,所以 所以 6,当且仅当 即a=b=c时,等号成立.所以 6.,【延伸探究】在题2条件不变的情况下,证明ab(a+b)+bc(b+c) +ca(c+a)6abc. 【证明】因为a,b,c都是正数,所以ab(a+b)+bc(b+c)+ ca(c+a)=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2=(a2b+bc2)+(b2c+ca2)+ (c2a+ab2) =6abc,所以原不等 式成立,当且仅当a=b=c时,等号成立.,【规律总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1)基本不等式成立的前提条件. (2)通过加减项的方法拼凑成可以使用基本不等式的形式. (3)注意“1”的代换. (4)灵活变换基本不等式的形式并注意其变形形式的运用. 提醒:(1)多次使用基本不等式时,注意等号能否成立. (2)利用不等式性质累加时,注意等号成立的条件.,【拓展延伸】基本不等式的推广 设aiR+(i=1,2,n),这n个数: (1)算术平均数An= (2)几何平均数Gn= (3)调和平均数Hn= (4)平方平均数Qn= 则以上平均值的关系是:HnGnAnQn.,【变式训练】已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1, 求证: 【解题指南】 其他同样放缩.,【证明】因为a,b,c为正实数,且a+b+c=1, 所以 同理, 上述三个不等式两边均为正, 相乘得 当且仅当a=b=c= 时,取等号.,

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