人高中数学优质课件精选——人教版必修五：3.4 基本不等式.2 精讲优练课型 .ppt

第2课时 基本不等式的应用,【知识提炼】 基本不等式与最值 已知x0，y0，则 (1)若x+y=s(和为定值)，则当_时，积xy取得最_ 值_.,x=y,大,(2)若xy=p(积为定值)，则当_时，和x+y取得最_ 值_. 记忆口诀：两正数的和定积_，两正数的积定和 _.,x=y,小,最大,最小,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？ 提示：三个条件是：一正，二定，三相等.,(2)凑配法求最值的基本技巧有哪些？ 提示：配凑系数. 配凑常数. 配凑分子. 配凑分母.,2.已知x+2y=1，则2x+4y的最小值为() A.8B.6C.2D.3 【解析】选C.因为2x0，4y0，所以2x+4y 当且仅当2x=4y，即x=2y.又x+2y=1. 故x= ，y= 时，等号成立.,3.已知xy<0，则代数式 () A.有最小值2B.有最大值-2 C.有最小值-2D.不存在最值 【解析】选B.因为x2+y22|xy|=-2xy，又xy<0， 故 -2.,4.已知0<x<1，则x(3-3x)取最大值时x的值是_. 【解析】因为0<x<1，所以x(3-3x)=3x(1-x) 当且仅当x=1-x，即x= 时，等号成立. 答案：,5.已知a0，b0，且2a+b=4，则 的最小值为_. 【解析】因为a0，b0，且2a+b=4，所以4=2a+b 2 ，即 当且仅当2a=b， 即a=1，b=2时，取最小值. 答案：,【知识探究】 知识点 基本不等式的应用 观察如图所示的内容，回答下列问题：,问题1：若求和(积)的最值时，一般找哪个量为定值？ 问题2：利用基本不等式求最值时应注意哪些方面？,【总结提升】 1.利用基本不等式求最值时应注意的四个方面 (1)代数式中，各项必须都是正数.例如，x+ ，当x<0 时，就不能直接用基本不等式得x+ 2，而应该转化 为正数后再应用基本不等式.,(2)代数式中，含变量的各项的和或积必须是常数.若含变量的各项之和或之积不是常数(定值)时，必须进行适当的配凑，使和或积变为常数(定值)，方可求出函数的最大值或最小值.,(3)利用基本不等式求最值时，必须保证“=”能取得.若取不到等号，必须经过适当的变形，使之能取到等号. (4)多次使用基本不等式时，由于连续使用基本不等式或者限定了某些量的取值范围，而导致等号成立的条件不具备，不能直接运用基本不等式，这时应进一步转化，使其转化成能用不等式求解或用其他方法求解.,2.正确理解基本不等式模型 (1)基本不等式模型为我们提供了利用基本不等式解决 简单的最值问题的思考方向，若x+y=s(x0，y0，s是 常数)，则 由此得 当且仅当 x=y时取“=”.所以xy取得最大值 .,(2)同理，当xy=p(x0，y0，p是常数)时， 当且仅当x=y时，x+y取得最小值 . 那么，当和为定值时，可以求得积的最大值，当积为 定值时，可以求得和的最小值.,【题型探究】 类型一 利用基本不等式求最值问题 【典例】1.(2015洛阳高二检测)下列函数中，最小值为4的函数是() A.y=x+B.y=sinx+ C.y=ex+4e-xD.y=log3x+logx81,2.(2015邢台高二检测)如果log3m+log3n=4，那么m+n 的最小值是() A.4B.18C.4D.9 3.设0<x< ，则函数y=x(3-2x)的最大值是_.,【解题探究】1.典例1中要求函数的最值，应从哪些方面考虑？ 提示：看是否满足一正、二定、三相等. 2.典例2中由log3m+log3n=4可得到什么结论？ 提示：由log3m+log3n=4，可得mn=34.,3.典例3中的函数y=x(3-2x)如何变形才能利用基本不等式？ 提示：y=x(3-2x)= 2x(3-2x).,【解析】1.选C.选项A，C，D不能保证是正数之和，选项B中sinx取不到2，只有C项满足两项均为正，当且仅当x=ln2时等号成立，故选C. 2.选B.因为log3m+log3n=4，故mn=34且m0，n0. 又因为 mn，所以m+n18. 当且仅当m=n=9时取等号.,3.因为00， 所以y=x(3-2x)= 2x(3-2x) 当且仅当x= 时等号成立， 所以函数y=x(3-2x)的最大值是 . 答案：,【方法技巧】 1.利用基本不等式求最值的策略,2.利用基本不等式求条件最值的常用方法 (1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.,(2)构造法： 构造不等式：利用ab 将式子转化为含ab或a+b的一元二次不等式，将ab，(a+b)作为整体解出范围； 构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.,(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.,【变式训练】已知a3，求 的最小值. 【解题指南】利用a3的条件及结构式中一为分式，一为整式的特点配凑.,【解析】因为a3，所以a-30， 当且仅当a-3= ，即a=5时等号成立.,类型二 利用基本不等式解决实际应用问题 【典例】1.蓝天超市一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_吨.,2.(2015承德高二检测)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3m，AD=2m.,(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2，则AN的长度应在什么范围内？ (2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小值.,【解题探究】1.典例1中的总运费为多少元？ 提示：由于每次购买x吨，则购买的次数为 次，每 次运费为4万元，则总运费为 4万元. 2.典例2中矩形AMPN的面积如何表示出来？ 提示：设AN的长为xm(x2)，则由 得 所以,【解析】1.超市一年购买某种货物400吨，每次都购买 x吨，则需要购买 次，运费为4万元/次，一年的总 存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用之 和为（ 4+4x）万元.因为 4+4x160，当 即x=20时，一年的总运费与总存储费用之和最小 答案：20,2.设AN的长为x m(x2)，则由 得 所以 (1)由S矩形AMPN32，得 32. 又x2，解得28. 所以AN的长度的取值范围为(2， )(8，+),(2)因为 当且仅当3(x-2)= ，即x=4时，等号成立所以当 AN的长度是4 m时，矩形AMPN的面积最小，最小值为 24 m2.,【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：,(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.,【变式训练】(2014湖北高考)某项研究表明：在考 虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经 过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假 设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式为F=,(1)当l=6.05时，则最大车流量为_辆/小时. (2)当l=5时，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时.,【解析】(1)当l=6.05时，则 1 900，当且仅当v= ，即v=11(米/秒)时取等号.,(2)当l=5时，则 当且仅当v= ，即v=10(米/秒)时取等号，此时最大 车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时. 答案：(1)1 900 (2)100,【补偿训练】(2015吉林高二检测)围建一个360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).,(1)将y表示为x的函数. (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.,【解析】(1)如图，设矩形的另一边长为a m， 则y=45x+180(x2)+1802a， 由已知xa=360，得a= . 所以y=225x+ 360(x0),(2)因为x0， 所以 所以y=225x+ -36010 800360=10 440， 当且仅当225x= 时，等号成立 即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元,类型三 基本不等式的综合应用 【典例】1.(2015徐州高二检测)当00，a1)的图象恒过定点A， 若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m0，n0，则 的最小值为_.,3.(2015青岛高二检测)设x，y，z为正实数，满足 x-2y+3z=0，求 的最小值.,【解题探究】1.典例1中由不等式x(2-x)a恒成立，转 变为求x(2-x)的最大值还是最小值？ 提示：只要求x(2-x)的最大值即可. 2.典例2中定点A的坐标是什么？ 提示：函数y=loga(x+3)-1(a0，a1)的图象恒过定点， 即当x+3=1，x=-2时，y=loga1-1=-1，即A(-2，-1).,3.典例3中由x-2y+3z=0可得到什么？ 提示：由x-2y+3z=0，得y=,【解析】1.因为00，所以x(2-x) =1.所以a1. 答案：1，+),2.由题意可得函数y=loga(x+3)1(a0，a1)的图象 恒过定点A(2，1)又因为点A在直线mx+ny+1=0上， 所以2m+n=1. 所以 当且 仅当 时等号成立，因为m0，n0，所以n=2m，即 当m= ，n= 时， 有最小值8. 答案：8,3.由x2y+3z=0，得y= ，代入 ， 得 当且仅当x=3z时取等号所以 的最小值为3.,【延伸探究】 1.(改变问法)典例3中条件不变，求 的最大值. 【解析】因为x，y，z为正实数， 由x-2y+3z=0得x+3z=2y， 所以 当且仅当x=3z时取等号. 故 的最大值为 .,2.(变换条件，改变问法)典例3中条件“x-2y+3z=0”改为“x-xz+3z=0”其他条件不变，求xz的最小值. 【解析】因为x，y，z为正实数， 由x-xz+3z=0得xz=x+3z 故 xz12， 当且仅当x=3z时取等号， 所以xz的最小值为12.,【方法技巧】最值法解答恒成立问题 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： (1)f(x)a恒成立af(x)min. (2)f(x)a恒成立af(x)max.,【补偿训练】(2015上饶高二检测)已知x0，y0， lg2x+lg8y=lg2，则 的最小值为() A.2B.2C.4D.2,【解析】选C.由lg 2x+lg 8y=lg 2得， 2x+3y=2，即x+3y=1， 所以 当且仅当 ，即x=3y时取等号.,规范解答 利用基本不等式求最值 【典例】(12分)(2015益阳高二检测)已知3a2+2b2=5，试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值.,【审题指导】(1)要求y=(2a2+1)(b2+2)的最值，要利用好已知条件3a2+2b2=5. (2)需将y=(2a2+1)(b2+2)中的乘积的形式转化为和的形式，才能利用好已知条件3a2+2b2=5.,【规范解答】y=(2a2+1)(b2+2) = 3(2a2+1)4(b2+2)2分 8分,当且仅当 即 时， 等号成立，故所求的最大值为 . 12分,【题后悟道】 1.转化与化归意识 在解决问题时要注意转化与化归思想的应用，如本题中 的转化.,2.注意基本不等式的使用条件 “一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.在解答过程中要注意体现，如本例中若漏掉等号的检验，则会导致此题会而不全.,