高中数学优质课件精选——人教版必修五：2.3.1 等差数列的前n项和（一）.ppt

2.3.1 等差数列 的前n项和,一、数列前n项和的意义:,设数列an： a1， a2 ， a3 ， an ，,我们把a1a2 a3 an叫做数列an的前n项和，记作Sn,实例探究:,高斯(17771855） 德国著名数学家。,1+2+3+98+99+100=？ 高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？,思考：1+2+3+n=？,1 + 2 + + ( n-1) + n n + ( n-1) + + 2 + 1 (n+1) + (n+1) + + (n+1) + (n+1),推广：其它等差数列是不是也可以用这个思路来 求前n项和呢？,一般地，我们称a1+a2+an为数列an的前n项和， 常用Sn表示，即Sn=a1+a2+an,对公差为d的等差数列an ，有 Sn=a1+a2+an Sn=an+an-1+a1 所以2Sn=(a1+a2+an)+(an+an-1+a1) =(a1+an)+(a2+an-1)+(an+a1) =(a1+an)+(a1+an)+(a1+an) =n(a1+an),等差数列前n项和公式的推导：,等差数列的前n项和公式：,若把an=a1+(n-1)d代入上式，则可得,例1、等差数列-10，-6，-2，的前多少项的和为54？,解： 设该数列的前n项的和为54，则有,整理得 n2-6n-27=0 解得 n=9或n=-3（舍去）,这个数列的前9项的和为54,练习：已知在等差数列an中 （1）an=4n-1，求S50； （2）a1=12， a8=26 ，求S20； （3）a6+a9=8，求S14；,620,5050,56,思考：若知道a7=10，你能求出前几项的和？,等差数列的前n项和公式：,例2、已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项 的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的通项公式 及前 n 项和的公式吗？,解：依题意知，S10=310，S20=1220,解得 a1=4，d=6,将它们代入公式,思考：对于等差数列的相关a1,an,d,n,Sn,已知几个量就可 以确定其他量？,例2、已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项 的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的通项公式 及前 n 项和的公式吗？,思考：对于等差数列的相关a1,an,d,n,Sn,已知几个量就可 以确定其他量？,练习：已知在等差数列an中,例3、2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施校校通工程的通知。某市据此提出了实施“校校通”工程的总体目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”的工程经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年间，该市“校校通”工程中的总投入是多少？,解：根据题意，从2001 2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一个等差数列an，表示从2001年起各年投入的资金，其中，,那么，到2010年（n=10）,投入的资金总额为,答：从20012010”年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250元.,分析：Sn=a1+a2+an， Sn-1=a1+a2+an-1(n2) an=Sn-Sn-1 (n2) 特别地，当n=1时，a1=S1,例3、已知数列an的前n项和为 ，求该数列 的通项公式，这个数列是等差数列吗？,例3、已知数列an的前n项和为 ，求该数列 的通项公式，这个数列是等差数列吗？,解：当n=1时，,当n2时，,数列an的通项公式为,这是首项为 ，公差为2的等差数列,等差数列的前n项和公式：,若已知数列an前n项和为Sn，则该数列的 通项公式为,探究： 一般地，如果一个数列an的前n项和为 Sn=pn2+qn+r，其中p、q、r为常数，且p0，那么 这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与 公差分别是什么？,分析：当n=1时，a1=S1=p+q+r,又当n=1时，an=2p-p+q=p+q 当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q,故只有当r =0时该数列才是等差数列， 此时首项a1=p+q，公差d=2p(p0),当n1时，,an =Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q,