衡水金卷2018届全国高三大联考理科试卷及答案.pdf

第 1 页 共 8 页 衡水金卷 2018 届全国三大联考 理科数学 本试卷分第卷和第卷两部分，共150 分。考试时间120 分钟。 注意事项： 1答卷前 , 考生要务必填写答题卷上的有关项目 2选择题每小题选出答案后, 用 2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动 , 先划掉原 来的答案 , 然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4请考生保持答题卷的整洁考试结束后, 将答题卷交回 第卷 一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合 2 |540Mx xx，|24 x Nx，则( ) A | 24MNxxI B MNRU C| 24MNxxID|2MNx xU 2. 记复数z的虚部为 Im( )z，已知复数 5 2 21 i zi i （i为虚数单位） ，则Im( )z为( ) A 2 B-3 C 3i D3 3. 已知曲线 32 ( ) 3 f xx在点(1, (1)f 处的切线的倾斜角为 ，则 22 2 sincos 2sincoscos ( ) A 1 2 B 2 C 3 5 D 3 8 4. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示 是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径22mm，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是 ( ) A 2 726 5 mmB 2 363 10 mmC. 2 363 5 mmD 2 363 20 mm 5. 已知双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线经过圆E： 22 240 xyxy的圆心， 则双曲线C的离心 率为 ( ) A 5 B 5 2 C.2 D 2 6. 已知数列 n a为等比数列，且 2 2347 64a a aa，则 46 tan() 3 a a ( ) A 3 B 3 C. 3 D 3 3 7. 执行如图的程序框图，若输出的S的值为 -10，则 中应填 ( ) A 19?n B 18?n C. 19?n D 20?n 8.已知函数 ( )f x 为R内的奇函数，且当0 x时， 2 ( )1cosf xemx，记 2( 2)af ， ( 1)bf ， 3(3)cf ，则a，b，c间的大小关系是 ( ) AbacBacbC.cbaDcab 9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( ) A 2 3 B 1 2 C.2 6 D2 3 10. 已 知 函 数( )2sin()( 0,) 2 f xx的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 其 中 5 | 2 MN.记 命 题 p： 5 ( )2sin() 36 f xx，命题 q：将( )f x 的图象向右平移 6 个单位，得到函数 2 2sin() 33 yx的图象 .则以 下判断正确的是( ) A. pq为真 B.p q为假 C.()pq为真D.()pq为真 第 2 页 共 8 页 11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物 线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 2 4yx的焦点为F，一条平行于 x轴的光线从 点 (3,1)M 射出，经过抛物线上的点 A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则ABM 的周长为( ) A 71 26 12 B 926 C. 9 10 D 83 26 12 12.已知数列na与nb的前n项和分别为nS，nT，且0na， 2* 63 , nn Saa nN， 1 2 (21)(21) n nn a naa b， 若 * , n nNkT 恒成立，则k的最小值是 ( ) A 7 1 B 1 49 C. 49 D 8 441 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 2223题为选考 题，考生根据要求作答 . 二、填空题：本大题共4 小题，每题 5 分. 13.已知在ABC中，| | |BCABCB uuu ru uu ruu u r ，(1,2)AB uuu r ，若边 AB的中点D的坐标为 (3,1)，点C的坐标为( ,2)t， 则t 14. 已知 *1 () () 2 n xnN x 的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为 p，q，则 64pq的最小值 为 15. 已知x， y满足 3, , 6 0, xyt x y 其中 2 t，若sin()xy的最大值与最小值分别为 1， 1 2 ，则实数t的取值范围 为 16.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑MABC中，MA 平面ABC，2MAABBC，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数 2 1 ( )cos3 sin()cos() 2 f xxxx，xR. （ ）求函数 ( )f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程； （ ）在锐角ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知( )1f A，3a，sinsinbCaA， 求ABC的面积 . 18. 如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形， 其中 / /,CDAB BCAB， 侧面 ABE 平面ABCD， 且222ABAEBEBCCD，动点 F 在棱 AE 上，且EFFA. （ 1）试探究的值，使 / /CE 平面 BDF ，并给予证明； （ 2）当 1时，求直线CE与平面BDF 所成的角的正弦值. 第 3 页 共 8 页 19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺 的一部分 .为了解网络外卖在 A市的普及情况，A市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查， 并从参与 调查的网民中抽取了200 人进行抽样分析，得到下表：（单位：人） （）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15 的前提下认为 A市使用网络外卖的情况与性别有关？ （）现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5 人，再从这5 人中随机选出3 人赠送外卖优惠卷，求 选出的 3 人中至少有2 人经常使用网络外卖的概率 将频率视为概率，从A市所有参与调查的网民中随机抽取 10 人赠送礼品， 记其中经常使用网络外卖的人数为 X ， 求X的数学期望和方差. 参考公式： 2 2() ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd. 参考数据： 2 0 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k3.841 6.635 10.828 20. 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为点1 F ，2 F ，其离心率为 1 2 ，短轴长为2 3. （ ）求椭圆 C的标准方程； （ ）过点 1 F的直线 1 l与椭圆 C交于M，N两点，过点2 F的直线 2 l与椭圆C交于 P，Q两点，且12 / /ll，证明： 四边形MNPQ不可能是菱形. 21. 已知函数，( )(1) ( ,) x f xea xb a bR其中e为自然对数的底数 . （ ）讨论函数( )f x的单调性及极值； （ ）若不等式( )0f x在xR内恒成立，求证： (1)3 24 b a . 第 4 页 共 8 页 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy中，已知曲线 C的参数方程为 cos , sin xt y （0t，为参数） .以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin()3 4 . （）当 1t 时，求曲线 C上的点到直线l的距离的最大值； （）若曲线 C上的所有点都在直线l的下方，求实数 t的取值范围 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数( )21|1|f xxx. （）解不等式( )3f x； （）记函数( )( )|1|g xf xx的值域为 M ，若tM，证明： 2 3 13tt t . 第 5 页 共 8 页 衡水金卷 2018 届全国高三大联考 理科参考答案及评分细则 一、选择题 1-5: CBCBA 6-10:ACDAD 11、12： BB 二、填空题 13. 1 14. 16 15. 57 , 66 16.248 2 三、解答题 17. 解： （1）原式可化为， 21 ( )cos3 sincos 2 f xxx， 1cos231 sin 2 222 x x， sin(2 )sin(2) 66 xx， 故其最小正周期 2 2 T， 令2() 62 xkkZ， 解得() 23 k xkZ， 即函数( )f x图象的对称轴方程为， () 23 k xkZ. （2）由（ 1） ，知( )sin(2) 6 f xx， 因为0 2 A，所以 5 2 666 A. 又( )sin(2)1 6 fAA， 故得2 62 A，解得 3 A. 由正弦定理及sinsinbCaA，得 2 9bca. 故 19 3 sin 24 ABC SbcA. 18. （1）当 1 2 时，/ /CE平面BDF. 证明如下：连接AC交BD于点G，连接GF. / /,2CDAB ABCD， 1 2 CGCD GAAB . 1 2 EFFA， 1 2 EFCG FAGA . / /GFCE. 又CE平面BDF，GF平面BDF， / /CE平面BDF. （ 2）取AB的中点O, 连接EO. 则EOAB. 平面 ABE 平面ABCD，平面ABEI平面ABCD AB，且EOAB， EO平面ABCD. / /BOCD，且1BOCD ， 四边形 BODC为平行四边形，/ /BCDO. 又BCAB，/ /ABDO. 由,OA OD OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 则(0,0,0)O，(0,1,0)A，(0,1,0)B，(1,0,0)D，(1, 1,0)C，(0,0,3)E. 当1时，有EFFA uu u ruu u r ， 可得 13 (0,) 22 F. (1,1,0)BD uuu r ，( 1,1, 3)CE uuu r ， 33 (1,) 22 BF uu u r . 设平面BDF的一个法向量为( , )nx y z r ， 第 6 页 共 8 页 则有 0, 0, n BD n BF r uuu r r uu u r 即 0, 33 0, 22 xy yz 令3z，得1y，1x. 即(1, 1, 3)n r . 设CE与平面 BDF所成的角为 ， 则sin| cos|CE n uuu r r |1 13 |1 555 . 当1时，直线CE与平面BDF所成的角的正弦值为 1 5 . 19. 解： （1）由列联表可知 2 K的观测值， 2 () ()()()() n adbc k abcdac bd 2 200(50405060) 2.0202.072 11090 100100 . 所以不能在犯错误的概率不超过0.15 的前提下认为A市使用网络外卖情况与性别有关. （2）依题意，可知所抽取的5 名女网民中，经常使用网络外卖的有 60 53 100 （人） ， 偶尔或不用网络外卖的有 40 52 100 （人） . 则选出的3人中至少有2 人经常使用网络外卖的概率为 213 323 33 55 7 10 C CC P CC . 由22列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为 11011 20020 ， 将频率视为概率，即从 A市市民中任意抽取 1 人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 11 20 . 由题意得 11 (10,) 20 XB， 所以 1111 ()10 202 E X； 11999 ()10 202040 D X. 20. 解： （1）由已知，得 1 2 c a ，3b， 又 222 cab， 故解得 22 4,3ab， 所以椭圆 C的标准方程为 22 1 43 xy . （ 2）由（ 1） ，知 1( 1,0) F，如图， 易知直线MN不能平行于x轴 . 所以令直线MN的方程为1xmy， 11 (,)Mx y， 22 (,)N xy. 联立方程 22 34120, 1, xy xmy ， 得 22 (34)690mymy， 所以 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m . 此时 22 1212 (1)()MNmyyy y， 同理，令直线PQ的方程为1xmy， 33 (,)P xy， 44 (,)Q xy， 此时 342 6 34 m yy m ， 342 9 34 y y m ， 此时 22 3434 (1)()4PQmyyy y. 故| |MNPQ. 所以四边形MNPQ是平行四边形. 若MNPQY是菱形，则 OMON，即 0OMON u uu u r u uu r ， 于是有 1212 0 x xy y. 第 7 页 共 8 页 又 1212 (1)(1)x xmymy， 2 1212 ()1m y ym yy， 所以有 2 1212 (1)()10my ym yy ， 整理得到 2 2 125 0 34 m m ， 即 2 1250m，上述关于m的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ不可能是菱形 . 21. 解： （1）由题意得( )(1) x fxea. 当10a，即1a时，( )0fx，( )f x在R内单调递增，没有极值. 当10a，即1a， 令( )0fx，得ln(1)xa， 当ln(1)xa时，( )0fx，( )f x单调递减； 当ln(1)xa时，( )0fx，( )f x单调递增， 故当ln(1)xa时，( )f x取得最小值(ln(1)1(1)ln(1)faabaa，无极大值 . 综上所述，当1a时，( )f x在R内单调递增，没有极值； 当1a时，( )f x在区间(,ln(1)a内单调递减，在区间(ln(1),)a内单调递增，( )f x的极小值为 1(1)ln(1)abaa，无极大值 . （2）由（ 1） ，知当1a时，( )f x在R内单调递增， 当1a时， (1)3 0 24 b a 成立 . 当1a时，令c为1和 1 1 b a 中较小的数， 所以 1c ，且 1 1 b c a . 则 1x ee，(1)(1)a cb. 所以 1 ( )(1)(1)0 x f cea cbebb， 与( )0f x恒成立矛盾，应舍去. 当 1a 时， min ( )(ln(1)f xfa1(1)ln(1)0abaa， 即1(1)ln(1)aaab， 所以 22 (1)(1)(1) ln(1)abaaa. 令 22 ( )ln(0)g xxxx x， 则( )(12ln)gxxx. 令( )0gx，得0 xe， 令( )0gx，得xe， 故( )g x在区间(0,)e内单调递增， 在区间(,)e内单调递减 . 故 max ( )()ln 2 e g xgeeee， 即当11aeae时， max ( ) 2 e g x. 所以 22 (1)(1)(1) ln(1) 2 e abaaa. 所以 (1) 24 b ae . 而3e， 所以 (1)3 24 b a . 22. 解： （1）直线l的直角坐标方程为30 xy. 曲线C上的点到直线l的距离， |cossin3| 2 d |2sin()3| 4 2 ， 当sin( )1 4 时， max |23|23 2 22 d， 即曲线 C上的点到直线l的距离的最大值为 23 2 2 . 第 8 页 共 8 页 （2）曲线 C上的所有点均在直线l的下方， 对 R，有cossin30t 恒成立， 即 2 1cos()3t（其中 1 tan t ）恒成立， 2 13t. 又0t，解得02 2t， 实数t的取值范围为(0, 2 2). 23. 解： （1）依题意，得 3 ,1, 1 ( )2, 1, 2 1 3 , 2 x x f xxx x x 于是得 1, ( )3 33, x f x x 或 1 1, 2 23, x x 或 1 , 2 33, x x 解得 11x . 即不等式( )3f x的解集为| 11xx. （2）( )( )|1|g xf xx| 21| 22 |xx| 2122|3xx， 当且仅当(21)(22)0 xx时，取等号， 3,)M. 原不等式等价于 23 31tt t ， 222 33(3)(1)ttttt tt . tM，30t， 2 10t. 2 (3)(1) 0 tt t . 23 13tt t .