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-排列组合基础知识-第 4 页排列组合基础知识一、 两大原理1. 加法原理（1） 定义：做一件事，完成它有类方法，在第一类方法中有中不同的方法，第二类方法中有种不同的方法.第类方法中种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。（2） 本质：每一类方法均能独立完成该任务。（3） 特点：分成几类，就有几项相加。例1. 从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车；一天中动车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？ 如上图，从甲地到乙地共有3+2种方法。2. 乘法原理（1） 定义做一件事，完成它需要个步骤，做第一个步骤有中不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法.做第个步骤有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。（2） 本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。（3） 特点：分成几步，就有几项相乘。例2. 从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中火车2班，汽车3班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方法？ 解：由上图可知共有的可能路线为：火车1汽车1，火车2汽车1 火车1汽车2，火车2汽车2 火车1汽车3，火车2汽车3 所以共有种方式。二、 排列组合1. 排列（1） 排列的定义：从个不同的元素中，任取个（）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列。（2） 使用排列的三条件 个不同元素； 任取个； 讲究顺序。2. 组合（1） 组合的定义：从个不同的元素中，任取个（）元素并为一组，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个组合。（2） 使用三条件 个不同元素； 任取个； 并为一组，不讲顺序。排列与组合的共同点：都是“从个不同元素中任取个元素”；排列与组合的不同点：排列与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关。也就是说：组合是选择的结果，而排列是选择后再排列的结果。3排列数的定义：从个不同的元素中，任取个（）元素所有排列的个数，叫做从个不同的元素中取出个元素的排列数，记为。例1. 从甲、乙、丙三个中任取2个人分别参加明天上午和下午的比赛。问共有多少种方式？解：由上图可知，共有6种方式。需要注意：此题相当于从3个不同的元素中任取2个元素，并按一定的顺序排列，所有共有的排列数为，即，其中上标2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项3，而且之后的每项总是比前一项少1。例2. 从a, b, c, d四个元素中任取2个排成一列共有多少种可能？解 所以的可能排列为：ab, ba, ac, ca, ad, da,bc, cb, bd, db, cd,dc. 共有12种，即，其中上标2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少1。例3. 从a, b, c, d四个元素中任取3个排成一列共有多少种可能？解 所以的可能排列为：abc, acb,bac,bca,cab, cba, abd, adb, bad, bda, dab,dba, acd, adc, cad, cda, dac,dca. bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有24种，即，其中上标3是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少1由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式，其中上标表示相乘的项数，其中。尤其：。5组合数的定义：从个不同的元素中，任取个（）元素所有组合的个数，叫做从个不同的元素中取出个元素的组合数，记为。例4. 从甲、乙、丙三个中任取2个人参加某项比赛。问共有多少种方式？解：可能的组合为：甲乙，甲丙，乙丙。所以共有3种需要注意：此题相当于从3个不同的元素中任取2个元素并成一组，所有共有的组合数为，即。这个结果与例1比较发现例2. 从a, b, c, d四个元素中任取2个并成一组，共有多少种可能？解 所以的可能排列为：ab, ac, ad, bc, bd, cd. 共有6种，即。这个结果与例2比较发现例6. 从a, b, c, d四个元素中任取3个并成一组，共有多少种可能？解 所以的可能排列为：abc, abd, acd, bcd。共有4种，即。这个结果与例3比较发现由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式尤其：我们这本书用表示。下面3题要求学解题过程1.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛， (1) 列出所有各场比赛的上方； （2）列出所有冠军的可能情况。2.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？3.旅行社有豪华游5种和普通游4种，某单位欲从中选择4种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。A.60B.100C.120D140