2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(1)(5页).doc

-2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(1)-第 5 页2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（1） 姓名_一、 填空题1、 已知函数 ，则_.2、 A,B两点分别在抛物线和上，则的取值范围是_.3、 若，则的最大值为_.4、 已知ABC等腰直角三角形，其中C为直角，AC=BC=1，过点B作平面ABC的垂线DB，使得DB=1，在DA、DC上分别取点E、F，则BEF周长的最小值为_.5、 已知函数，对任意的，恒成立，则正实数x的取值范围为_.6、 已知向量满足，且，若为的夹角，则的值为_.7、 现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为_.8、 将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为_.二、 解答题9. (本小题满分14分)在ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，向量，向量，且满足.()求ABC的内角C的值；()若c=2，2sin2A+sin(2B+C)=sinC，求ABC的面积.10. （本小题满分14分）已知数列满足：.(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式;(2)若，且数列的前n项和为，求证：.11. (本小题满分14分)设.（e是自然对数的底数）()若对一切恒成立，求a的取值范围；()求证：.12. (本小题满分15分)设正数x,y满足，求使恒成立的实数的最大值.13. (本小题满分15分)已知椭圆及点，过点P作直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B两点分别作C的切线交于点Q.(1) 求点Q的轨迹方程；(2) 求ABQ的面积的最小值.2017年高中数学竞赛模拟试卷（1）答案1. 【解析】2. 【解析】由于，则只需要考虑的范围.故的取值范围为.3. 【解析】4. 【解析】由题意可知，且BDA与CDA之和为.如图，将侧面BDA和侧面CDB分别折起至面和，且与侧面ADC位于同一个平面上.则BEF周长的最小值即面上两点之间的线段长.由前面的分析可知，由余弦定理可得，所以，BEF周长的最小值为.5. 【解析】为奇函数且为增函数等价于即即对任意的成立即，所以，即0<x<26. 【解析】由得所以，又，所以，又，所以k=2，所以的值为.7. 【解析】这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条棱是3个小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为，故容器棱长的最小值为.8. 【解析】法1：如果只有2个小球（1黑1白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为；如果只有4个小球（2黑2白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为；如果只有6个小球（3黑3白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为；以此类推，可知将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球.无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为；法2：直接从10个小球入手分类讨论.9. 【解析】()由题意，所以，.由正弦定理，可得.整理得.由余弦定理可得，又，所以，6分()由可得，.整理得，.当时，此时，.所以ABC的面积为当时，上式即为，有正弦定理可得b=2a，又，解之得，所以ABC的面积为.综上所述，ABC的面积为.14分10. 【解析】(1)由已知得，因为，所以，两边取对数得，即，故为以lg3为首项，2为公比的等比数列，即，即.5分(2) 法1：由两边取倒数得，所以，即，10分故，故.14分法2：，则.11. 【解析】()，令，则，由得x>0.所以h(x)在上单调递增，h(x)在(-1,0)单调递减.所以，由此得：.又x=-1时，即为，此时a取任意值都成立.综上得：.8分由()知，当a=1时对一切恒成立，即(x=0时取等号).取，得.即证得：.14分12【解析】由正数x,y满足，知.令.不等式等价于，等价于 ，等价于 等价于 .因为，等号仅当，即时成立，所以，实数的最大值为.15分13. 【解析】(1)设，则过Q，有；，有，故直线过点，则有故Q的轨迹方程为 x+y=2.5分(2) 对直线AB，当斜率不存在时，即为x=1，此时斜率存在时，设直线.联立，消掉y得.于是有又-，得到与式联立，可解得.10分