新北师大版七年级数学下_第一章_整式的乘除学案.doc

教 学 反 思第一章 整式的乘除学案1.1 同底数幂的乘法一、学习目标1经历探索同底数幂乘法运算性质过程，进一步体会幂的意义2了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题二、学习重点：同底数幂的乘法运算法则的推导过程以及相关计算三、学习难点：对同底数幂的乘法公式的理解和正确应用四、学习设计（一）预习准备预习书p2-4（二）学习过程1.试试看：(1)下面请同学们根据乘方的意义做下面一组题： =a3a4=a( )       (2)根据上面的规律，请以幂的形式直接写出下列各题的结果：= = = ×= 2.猜一猜：当，为正整数时候， =即am·an= (m、n都是正整数)3.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘 运算形式：（同底、乘法） 运算方法：（底不变、指加法）当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 用公式表示为 am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数）练习1.    下面的计算是否正确? 如果错，请在旁边订正（1）a3·a4=a12 （2）m·m4=m4 ( 3）a2·b3=ab5 （4）x5+x5=2x10（5）3c4·2c2=5c6 （6）x2·xn=x2n (7）2m·2n=2m·n （8）b4·b4·b4=3b42填空：（1）x5 ·（ ）=x 8 （2）a ·（ ）=a6（3）x · x3（ ）= x7 （4）xm ·（ ）x3m（5）x5·x( )=x3·x7=x( ) ·x6=x·x( ) （6）an+1·a( )=a2n+1=a·a( )例1计算（1）(x+y)3 · (x+y)4 （2）（3） （4）（m是正整数）变式训练计算（1）（2） （3）. （4） （5）（a-b）(b-a)4 （6） （是正整数）拓展1、填空（1） 8 = 2x，则 x = （2） 8 × 4 = 2x，则 x = （3） 3×27×9 = 3x，则 x = .2、 已知am=2，an=3,求的值 3、 4、已知的值。 5、已知的值。回顾小结1同底数幂相乘法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字2解题时要注意a的指数是13解题时，是什么运算就应用什么法则同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项，不能混淆4-a2的底数a，不是-a计算-a2·a2的结果是-(a2·a2)=-a4，而不是(-a)2+2=a45若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算1.2 幂的乘方与积的乘方（1）一、学习目标：1能说出幂的乘方与积的乘方的运算法则2能正确地运用幂的乘方与积的乘方法则进行幂的有关运算二、学习重点：会进行幂的乘方的运算。三、学习难点：幂的乘方法则的总结及运用。四、学习设计：（一）预习准备（1）预习书56页（2）回顾：计算（1）（x+y）2·（x+y）3 （2）x2·x2·x+x4·x （3）（0.75a）3·（a）4 （4）x3·xn-1xn-2·x4（二）学习过程：一、 1、探索练习： (62)4表示_个_相乘.a3表示_个_相乘.(a2)3表示_个_相乘.在这个练习中，要引学习生观察，推测(62)4与(a2)3的底数、指数。并用乘方的概念解答问题。 （62）4=_×_×_×_ =_(根据an·am=anm) =_ （33）5=_×_×_×_×_ =_(根据an·am=anm) =_ 64表示_个_相乘.（a2）3=_×_×_ =_(根据an·am=anm) =_（am）2=_×_ =_(根据an·am=anm) =_（am）n=_×_××_×_ =_(根据an·am=anm)=_即 （am）n =_(其中m、n都是正整数)通过上面的探索活动,发现了什么?幂的乘方,底数_,指数_2、例题精讲类型一 幂的乘方的计算例1 计算 (54)3 （a2）3 (ab)24 随堂练习（1）（a4）3m； （2）（）32； (ab)43类型二 幂的乘方公式的逆用例1 已知ax2，ay3，求a2xy； ax3y随堂练习（1）已知ax2，ay3，求ax3y（2）如果，求x的值随堂练习已知：84×432x，求x类型三 幂的乘方与同底数幂的乘法的综合应用例1 计算下列各题 （1） （a）2·a7 x3·x·x4（x2）4（x4）2 （4）（ab）2（ba）3、当堂测评 填空题：（1）(m2)5_；()32_；(ab)23_（2）-(-x)52·(-x2)3_；(xm)3·(-x3)2_（3）(-a)3·(an)5·(a1-n)5_； -(x-y)2·(y-x)3_（4） x12（x3）（_）（x6）（_）（5）x2m(m1)()m1 若x2m3，则x6m_（6）已知2xm，2yn，求8xy的值（用m、n表示）判断题（1）a5+a5=2a10 （ ）（2）（s3）3=x6 （ ）（3）（3）2·（3）4=（3）6=36 （ ）（4）x3+y3=（x+y）3 （ ） （5）（mn）34（mn）26=0 （ ）4、拓展：1、 计算 5（P3）4·（P2）3+2（P）24·（P5）22、 若（x2）n=x8，则m=_.3、 若（x3）m2=x12，则m=_。4、 若xm·x2m=2，求x9m的值。5、 若a2n=3，求（a3n）4的值。6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.回顾小结：1幂的乘方 （am）n_（m、n都是正整数）2语言叙述： 3幂的乘方的运算及综合运用。 1.2 幂的乘方与积的乘方（2）一、学习目标：1能说出幂的乘方与积的乘方的运算法则2能正确地运用幂的乘方与积的乘方法则进行幂的有关运算二、学习重点：积的乘方的运算。三、学习难点：正确区别幂的乘方与积的乘方的异同。四、学习设计：（一）预习准备（1）预习书78页（2）回顾：1、计算下列各式：（1） （2） （3）（4）（5）（6）（7） （8） （9）（10） （11）2、下列各式正确的是（ ）（A） （B） （C）（D）（二）学习过程：探索练习：1、 计算：2、 计算：3、 计算：从上面的计算中，你发现了什么规律？_ 4、猜一猜填空：（1） （2）（3） 你能推出它的结果吗？结论：例题精讲类型一 积的乘方的计算例1 计算（1）（2b2）5； （2）（4xy2）2 （3）(ab)2 （4）2（ab）35随堂练习（1） （2） （3）(-xy2)2 （4）3（nm）23类型二 幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘、整式的加减混合运算例2 计算（1）-(-x)52·(-x2)3 （2）（3）（xy）3（2x2y）2（3x3y）2 （4）（3a3）2·a3（a）2·a7（5a3）3随堂练习（1）(a2n-1)2·(an2)3 （2） (-x4)2-2(x2)3·x·x(-3x)3·x5（3）(ab)23·(ab)34类型三 逆用积的乘方法则例1 计算 （1）82004×0.1252004； （2）（8）2005×0.1252004随堂练习0.2520×240 -32003·()2002类型四 积的乘方在生活中的应用例1 地球可以近似的看做是球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么Vr3。地球的半径约为千米，它的体积大约是多少立方千米？随堂练习（1）一个正方体棱长是3×102 mm，它的体积是多少mm？（2）如果太阳也可以看作是球体，它的半径是地球的102倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢？”当堂测评一、判断题1(xy)3xy3() 2(2xy)36x3y3() 3(-3a3)29a6()4(x)3x3() 5(a4b)4a16b()二、填空题1-(x2)3_，(-x3)2_2(-xy2)2_381x2y10 ()2 4(x3)2·x5_ 5(a3)n(an)x(n、x是正整数)，则x_6.（0.25）11×411_ （0.125）200×8201_4、拓展：（1） 已知n为正整数，且x2n4求（3x3n）213（x2）2n的值 （2） 已知xn5，yn3，求（xy）2n的值（3） 若m为正整数，且x2m3，求（3x3m）213（x2）2m的值回顾小结：1.积的乘方 （ab）n （n为正整数）2语言叙述： 3积的乘方的推广（abc）n （n是正整数）1.3 同底数幂的除法一、学习目标了解同底数幂的除法的运算性质，并能解决一些实际问题二、学习重点：会进行同底数幂的除法运算。三、学习难点：同底数幂的除法法则的总结及运用（一）预习准备（1）预习书p9-13（2）思考：0指数幂和负指数幂有没有限制条件？（3）预习作业：1（1）28×28= （2）52×53=（3）102×105= （4）a3·a3=2（1）216÷28=（2）55÷53=（3）107÷105=（4）a6÷a3=（二）学习过程 上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？得出：同底数幂相除，底数，指数即：am÷an=（，m，n都是正整数，并且m>n）练习：（1） （2）（3）（4）= （5）（6）（-ab）5÷（ab）2=（8）=提问：在公式中要求 m，n都是正整数，并且m>n，但如果m=n或m<n呢？计算：32÷32 103÷103 am÷am（a0）= （a0）32÷32=3（）=3（） 103÷103=10（）=10（） am÷am=a（）=a（）（a0）于是规定：a0=1（a0） 即：任何非0的数的0次幂都等于1最终结论：同底数幂相除：am÷an=am-n（a0，m、n都是正整数，且mn）想一想： 10000=104 ， 16=24 1000=10（）， 8=2（） 100=10 （） ， 4=2（） 10=10 （）， 2=2（） 猜一猜： 1=10（） 1=2（） 0.1=10（） =2（）0.01=10（） =2（）0.001=10（） =2（）负整数指数幂的意义：（，p为正整数）或（，p为正整数）例1 用小数或分数分别表示下列各数：练习：1下列计算中有无错误，有的请改正 2若成立，则满足什么条件？3若无意义，求的值4若，则等于？5若，求的的值6用小数或分数表示下列各数：（1） （2） （3） （4）（6）7（1）若 （2）若（3）若0.000 000 33×，则 （4）若拓展：8.计算：（n为正整数） 9已知,求整数x的值。回顾小结：同底数幂相除，底数不变，指数相减。1.4整式的乘法（1）一、学习目标：理解并掌握单项式的乘法法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算二、学习重点：单项式乘法法则及其应用三、学习难点：理解运算法则及其探索过程（一）预习准备（1）预习书p14-15（2）思考：单项式与单项式相乘可细化为几个步骤？（3）预习作业：1下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？次数：系数：2下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？3（1）(a5)5 （2） (a2b)3 （3）(2a)2(3a2)3 （4）(y n)2 y n-1（二）学习过程：整式包括单项式和多项式，从这节课起我们研究整式的乘法，先学习单项式乘以单项式例1. 利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质，计算下列单项式乘以单项式：(1) 2x2y·3xy2(2) 4a2x5·(-3a3bx)解：原式=()()()解：原式=()()() ()单项式乘以单项式的乘法法则：单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式注意：法则实际分为三点：(1) 系数相乘有理数的乘法；此时应先确定结果的符号，再把系数的绝对值相乘相同字母相乘同底数幂的乘法；（容易将系数相乘与相同字母指数相加混淆）只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式(2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则(3)单项式相乘的结果仍是单项式例1 计算：(1) (-5a2b3)(-3a)(2) (2x)3(-5x2y) （3） =_ (4) (-3ab)(-a2c)2·6ab(c2)3 注意：先做乘方，再做单项式相乘练习：1. 判断：单项式乘以单项式，结果一定是单项式 （ ） 两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积 （ ） 两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积 （ ）两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现（ ）2. 计算： （6）2y·（xy）2-（-2x）3·xy3拓展：3已知am=2,an=3,求(a3m+n)2的值4求证：52·32n+1·2n-3n·6n+2能被13整除5回顾小结：单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。1.4 整式的乘法（2）一、学习目标经历探索整式的乘法运算法则的过程,会进行简单的整式的乘法运算二、学习重点：整式的乘法运算三、学习难点：推测整式乘法的运算法则（一）预习准备（1）预习书p16-17（2）思考：单项式与多项式相乘最容易出错的是哪点？（3）预习作业：（1） （2） （3）2(ab3) （4）(2xy2) ·3yx（5）(2a3b) (6ab6c) （6）3(ab2c+2bcc) （二）学习过程：1我们本单元学习整式的乘法，整式包括什么？2什么是多项式？怎么理解多项式的项数和次数？abymx整式乘法除了我们上节课学习的单项式乘以单项式外，还应该有单项式乘以多项式，今天将学习单项式与多项式相乘做一做：如图所示，公园中有一块长mx米、宽y米的空地，根据需要在两边各留下宽为a米、b米的两条小路，其余部分种植花草，求种植花草部分的面积.（1） 你是怎样列式表示种植花草部分的面积的?是否有不同的表示方法？其中包含了什么运算?方法一：可以先表示出种植花草部分的长与宽，由此得到种植花草部分面积为方法二：可以用总面积减去两条小路的面积，得到种植花草部分面积为由上面的探索，我们得到了上面等式从左到右运用了乘法分配律，将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加例1 计算：（1） （2）练习：1判断题：(1) 3a3·5a3=15a3 （ ） (2) ( )(3) ( ) (4) x2(2y2xy)=2xy2x3y ( )2计算题：(1) (2) (3) (4) 3x(yxyz)(5) 3x2(yxy2x2) (6) 2ab(a2bc)(7) （x3）22x3x3x（2x21） (8) xn（2xn+23xn-1+1） 拓展：3已知有理数a、b、c满足 |ab3|+（b+1）2+|c1|=0，求（3ab）·（a2c6b2c）的值。4已知：2x·（xn+2）=2xn+14，求x的值。5若a3（3an2am+4ak）=3a92a6+4a4，求3k2（n3mk+2km2）的值。回顾小结：单项式和多项式相乘，就是根据分配律用单项式去多乘多项式的每一项，再把所得的积相加。1.4 整式的乘法（3）一、学习目标1理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算二、学习重点：多项式乘法的运算三、学习难点：探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“符号”的问题（一）预习准备（1）预习书p18-19（2）思考：如何避免“漏项”？（3）预习作业：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（二）学习过程： 如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？ 方法1：S方法2：S方法3：S方法4：S由此得到： (m+b)(a+n) =运用乘法分配律进行解释，请将其中的一个多项式看作一个整体，再运用单项式与多项式相乘的方法进行计算（把(a+n)看作一个整体）(m+b)(a+n)多项式与多项式相乘：先用一个乘以另一个多项式的，再把所得的积例1 计算： 注意：（1）用一个多项式的每一项依次去乘另一个多项式的每一项，不要漏乘，在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是原来两个多项式项数之积。 （2）多项式里的每一项都包含前面的符号，两项相乘时先判断积的符号，再写成代数和形式。 （3）展开后若有同类项必须合并，化成最简形式。例2 计算：(2)练习：（1） （2） （3）（4） （5）（6）1 则m=_ ， n=_2若 ，则k的值为（ ） （A） a+b （B） ab （C）ab （D）ba3已知 则a=_ b=_拓展：4在与的积中不含与项，求P、q的值回顾小结：多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 1.5 平方差公式（1）一、学习目标会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算二、学习重点：掌握平方差公式的特点，能熟练运用公式三、学习难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式四、学习设计（一）、预习准备1、预习书p20-212、思考：能运用平方差公式的多项式相乘有什么特点？3、预习作业：（1） （2）（m+3）（m-3） （3）（-x+y）（-x-y）（4） （5）（6）（2x+1）（2x-1）（二）、学习过程以上习题都是求两数和与两数差的积，大家应该不难发现它们的规律用公式可以表示为： 我们称它为平方差公式平方差公式的推导（ab）（ab）（多项式乘法法则） （合并同类项）即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差平方差公式结构特征： 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； 右边是乘式中两项的平方差。即用相同项的平方减去相反项的平方例1计算：（1） （2） （3）变式训练：1、用平方差公式计算：（1）； （2）； 2（2008·金华）如果，那么代数式的值为_注意：（1）公式的字母可以表示数，也可以表示单项式、多项式； （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式例2下列各式都能用平方差公式吗? （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9） （10）（11）能否用平方差公式，最好的判断方法是：两个多项式中：两项相等，两项互为相反数在平方差这个结果中谁作被减数,谁作减数,你还有什么办法确定?相等数的平方减去相反数的平方变式训练：1、判断（1） （ ） （2） （ ） （3） （ ）（4） （ ） （5） （ ） （6） （ ）2、填空：（1） （2）（3） （4）拓展：1、计算：（1）（2）2先化简再求值的值，其中 3（1）若= （2）已知，则_回顾小结：熟记平方差公式，会用平方差公式进行运算。 1.5 平方差公式（2）一、学习目标1进一步使学生掌握平方差公式，让学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异二、学习重点：公式的应用及推广三、学习难点：公式的应用及推广四、学习设计（一）预习准备（二）预习书p21-22（三）思考：如何确定平方差公式中哪个是多项式中的和哪个是多项式的差？（四）预习作业： 你能用简便方法计算下列各题吗？（1）（2） （3）（4） （5）学习设计：1、做一做：如图，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形。（1）请表示图中阴影部分的面积： （2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？ 你能表示出它的面积吗？ 长宽 （3）比较1，2的结果，你能验证平方差公式吗? 进一步利用几何图形的面积相等验证了平方差公式平方差公式中的可以是单项式，也可以是多项式，在平方时，应把单项式或多项式加括号；学会灵活运用平方差公式。有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式如：中相等的项有和；相反的项有，因此形如这类的多项式相乘仍然能用平方差公式例1计算（1） （2）第 38 页 共 38 页（1）题中可利用整体思想，把看作一个整体，则此题中相同项是，相反项是和；（2）题中的每个因式都可利用加法结合律改变形式，则是相同项，相反项是和变式训练：计算：（1）；（2）方法小结 我们在做恒等变形时，一定要仔细观察：一是观察式子的结构特征，二是观察数量特征，看是否符合公式或是满足某种规律，同时逆用公式可使运算简便。2、知识回顾：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号例2 1在等号右边的括号内填上适当的项： （1）（ ） （2）（ ） （3）（ ） （4）（ ） 2下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？若可以，请用平方差公式解出 （1） （2）（3） （4）变式训练：1、 2、3、观察下列各式：根据前面的规律可得：_回顾小结：1什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？2平方差公式中字母可以是那些形式？3怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？1.6 完全平方公式（1）一、学习目标1会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算2了解完全平方公式的几何背景二、学习重点：会用完全平方公式进行运算三、学习难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算四、学习设计（一）预习准备（1）预习书p23-26（2）思考：和的平方等于平方的和吗？（3）预习作业：（1） （2）（3） （4） （5） （6） （7） （8） （二）学习过程观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而，恰好是两个数乘积的二倍（3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用因此我们得到完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的，加（或减）它们的积的倍公式表示为： 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减）例1应用完全平方公式计算：（1） （2） （3） （4）变式训练：1纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正：（1） （2） （3）2下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 ，把它计算出来（1） （2） （3） （4）分析：完全平方公式和平方差公式不同：形式不同：结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项3计算：（1） （2） （3） （4）例2.计算：（1）； （2）；（3）.方法小结 （1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘方法则，再用乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合在一起，可构成平方差公式。变式议练2.计算：（1）； （2）（3）。，则_2.（2008·成都）已知，那么的值是_3、已知是完全平方公式，则= 4、若= 回顾小结：1.完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同 结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 （a ±b）2a2 ±2ab+b2;平方差公式的结果是两项， 即（a+b）（ab）a2b2.2. 解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。 3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。1.6完全平方公式（2）一、学习目标1会运用完全平方公式进行一些数的简便运算二、学习重点：运用完全平方公式进行一些数的简便运算三、学习难点：灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算四、学习设计（一）预习准备（1）预习书p26-27（2）思考:如何更简单迅捷地进行各种乘法公式的运算?（3）预习作业： 1利用完全平方公式计算（1） （2） （3） （4）2计算：（1）（2）（二）学习过程平方差公式和完全平方公式的逆运用由反之反之 1、填空：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）若 ，则k = （8）若是完全平方式，则k = 例1 计算：1.2现在我们从几何角度去解释完全平方公式：从图（1）中可以看出大正方形的边长是a+b，它是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和则S即：如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是，宽都是，所以它们的面积都是；正方形HCGM的边长是b，其面积就是；正方形A