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-一次函数复习讲义-第 8 页 一次函数考点一 象限内和坐标轴上点坐标特征【例1】 如果点在第四象限，那么的取值范围是（ ）ABCD【例2】 若点在轴上，则点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例3】 若点在第三象限，则点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点二 特殊点坐标的特征【例4】 若点在第二，四象限的角平分线上，则点关于轴的对称点的坐标是_【例5】 已知两点、，且轴，则、满足的条件为_【例6】 已知点到轴的距离等于到轴的距离的倍，则的值为_考点三 对称点坐标的特征【例7】 点关于轴对称的点的坐标为（ ）ABCD【例8】 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是_【例9】 已知点(，)关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围为_考点四 点的坐标与两点间距离【例10】 在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）ABCD【例11】 已知点、，那么线段的长度为（ ）A.B.C.D.【例12】 已知直线与抛物线交于、两点，在线段上有一动点，过点作轴交抛物线于点，则线段的最大值为（ ）A.B.C.D.考点五 函数的唯一性【例13】 下列各选项中，不是函数的是（ ）【例14】 下列关于变量、的关系式：；，其中表示是的函数的个数是（ ）A.个B.个C.个D.个考点六 自变量的取值范围【例15】 函数的自变量的取值范围是_【例16】 函数的自变量的取值范围是_【例17】 已知等腰三角形的周长为，设底边长为，腰长为，则与的函数关系式为_，自变量的取值范围是_【例】（2014四川泸州，第14题，3分）使函数y=+有意义的自变量x的取值范围是_考点七 函数图象信息题【例18】 某污水处理厂的一个净化水池设有个进水口和个出水口，三个水口至少打开一个每个进水口进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出.某一天点到点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：点到点只进水不出水；点到点不进水只出水，点到点不进水也不出水.其中正确的是( )ABCD【例19】 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点，再走上坡路到达点，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）A分钟B分钟C分钟D分钟考点八 正比例函数与一次函数的定义【例20】 已知是正比例函数，则的值是_【例21】 已知函数是一次函数，则、需要满足的条件为_【例22】 下列函数：；。其中一次函数的个数是（ ）A.B.C.D.考点九 正比例函数与一次函数的图象和性质【例23】 如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数，的图像分别是，；那么，的大小关系是_.【例24】 已知正比例函数，且随的增大而减小，则的值为_【例25】 已知函数的图象过点，且时，下列说法错误的是（ ）A.图象经过第一、三象限B.图象经过二、四象限C.随着的增大，也增大D.【例26】 如果直线经过第一、二、三象限，那么（填“”、“”或“”）【例27】 一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_【例28】 下列图象中，不可能是关于的一次函数的图象是（ ）【例29】 下列图形中，表示一次函数与正比例函数（、为常数且)的图像是下图中的( ) 【例31】已知abc0，而且=p，那么直线y=px+p一定通过（ ） （A）第一、二象限 （B）第二、三象限（C）第三、四象限 （D）第一、四象限【例32】在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个【例36】甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，（a<b）；乙上山的速度是a米/分，下山的速度是2b米/分如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为t（分），离开点A的路程为S（米），那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t（分）与离开点A的路程S（米）之间的函数关系的是（ ）【例39】（湖州市南浔区2005年初三数学竞赛试）设直线kx+（k+1）y-1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为Sk（k=1，2，3，2008），那么S1+S2+S2008=_考点十 待定系数法求正比例函数与一次函数的解析式【例40】一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为（ ）A.B.C.D.【例41】已知与成正比例，且时，则与之间的函数关系式为_【例42】已知与成正比例，且时，则与之间的函数关系式为_【例43】已知一次函数图象经过和两点，则，【例44】若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2x6，相应的函数值的范围是-11y9，求此函数的解析式。考点十一 两直线的位置关系【例45】已知直线：与直线：平行，且经过点，则直线的解析式为_【例46】已知直线经过点、，将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的解析式为_【例47】将直线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到图象的解析式为_考点十二 一次函数与方程【例48】一次函数的图象如图所示，则方程的解是（ ）A.B.C.或D.【例】如图是在同一坐标系内作出的一次函数和，设，则方程组的解是（ ）A.B.C.D.【例】已知直线与相交于点，的函数表达式为，点的横坐标为，且交轴于点，则直线的函数表达式为_考点十三 一次函数与不等式【例】若一次函数的图象交坐标轴于、两点，、，则不等式的解集是（ ）A.B.C.D.【例】已知函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）A.B.C.D.【例】已知一次函数的图象经过、，那么不等式的解集为_【例】用图象的方法解不等式考点十三 一次函数图像的几何变换【例】直线可以由直线向 平移 个单位得到的【例】一次函数的图象可以看成由正比例函数的图象向 （填“上”和“下”）平移 个单位得到的【例】把函数的图像向右平行移动个单位，求：（1）平移后得到的直线解析式；（2）平移后的直线到两坐标轴距离相等的点的坐标【例】若直线与直线关于轴对称，则的值分别是（）A.，B.,C.，D.，【例】若正比例函数与的图象关于轴对称，则的值= .考点十四：一次函数的实际应用【例】（2014聊城）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象（1）求出图中m，a的值；（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km【例】小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y（元），所寄樱桃为x（kg）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知小李给外婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？【例】随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中x表示人均月生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费（元）请根据图象信息，回答下列问题：（1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按 元收取；超过5吨的部分，每吨按 _元收取；（2）请写出y与x的函数关系式；（3）若某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？【例】（2014广安）广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克）售价（元/千克）甲种58乙种913（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？ 【例】(2009年咸宁市)某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示；每个售票窗口票数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示某天售票厅排队等候购票的人数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示，已知售票的前分钟开放了两个售票窗口（1）求的值；（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；143124030078ax/分y/人OOO（图）（图）（图）x/分y/人x/分y/人（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？考点十五：一次函数与几何图形【例】由方程x-1+y-1=1确定的曲线围成的图形是什么图形，其面积是多少？【例】如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，轴于，连接求的值；是直线上异于的一点，且在第一象限内，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积与面积相等，求点的坐标。【例】已知正比例函数与一次函数的图象交于点，一次函数图象与轴交于点，且，求这两个函数的解析式【例】如图，矩形的边在轴上，的中点与原点重合，点的坐标为求直线的解析式；点在边上运动，若过点、的直线将矩形的周长分成两部分，求出此时的值9.探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为面积法请你运用面积法求解下列问题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高（1）若BD=h，M是直线BC上的任意一点，M到AB、AC的距离分别为h1，h2A、若M在线段BC上，请你结合图形证明：h1+h2=h；B、当点M在BC的延长线上时，h1，h2，h之间的关系为_（请直接写出结论，不必证明）（2）如图，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+6；l2：y=-3x+6若l2上的一点M到l1的距离是3，请你利用以上结论求解点M的坐标【例】（西工大八上期末）已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为标为_【例】在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为_【例】如图，已知函数y=x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=x+b和y=x的图象于点C、D（1）求点A的坐标；（2）若OB=CD，求a的值【例】如图，直线y=kx+4与x轴、y轴分别交于点C、D，点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（6，0）（1）求k的值和该直线的函数解析式；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围【巩固】如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0x3），过点P作直线m与x轴垂直（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1y2？（2）设COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式（3）当x为何值时，直线m平分COB的面积？【例】如图，已知直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，另已知直线y=kx+b（k0）经过点C（1，0），且把AOB分成两部分（1）若AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；（2）若AOB被分成的两部分面积比为1：5，求k和b的值【巩固】已知：如图，直线y=kx+6与x轴y轴分别交于点E，F点E的坐标为（8，0），点A的坐标为（6，0）（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第一象限内的直线y=kx+6上的一个动点，当点P运动过程中，试写出OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当P运动到什么位置时，OPA的面积为9，并说明理由【例】（2010乌鲁木齐）如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴，y轴于点A、B，将AOB绕点O顺时针旋转90°后得到AOB（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB与直线l相交于点C，求ABC的面积【例】、M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由ABCD匀速运动，直线MP扫过正方形所形成的面积为Y，点P运动的路程为X，请解答下列问题：（1）当x=1时，求y的值；（2）就下列各种情况，求y与x之间的函数关系式：0x4；4x8 8x12；（3）在给出的直角坐标系（图2）中，画出（2）中函数的图象【例】如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边ABC，（1）求ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（a，）；试用含有a的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当ABP的面积与ABC的面积相等时a的值；（3）在x轴上，是否存在点M，使MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【例】如图，直线y= -x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角ABC，BAC=90°，如果在坐标平面第二象限内有一点P（a，），且ABP的面积与ABC的面积相等，求a的值.【例】如图,直线与轴轴分别相交于点. 点E的坐标为, 点A的坐标为. 点是第二象限内的直线上的一个动点。(1)求值；(2)当点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)探究：当运动到什么位置（求的坐标）时，的面积为，并说明理由【例】、如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1。（1）求直线BC的解析式：（2）直线EF：y=kx-k（k0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得SEBD=SFBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角BPQ，连接QA并延长交轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。【例】（2013，河北）如图15，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：yx+b也随之移动，设移动时间为t秒.（1）当t3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围； （3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上.【例1】 如图所示，已知正比例函数和，过点作轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交与两点，求三角形的面积（其中为坐标原点）。【例2】 求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积【例3】 已知直线的图象与轴交于两点，直线经过原点，与线段交于点，把的面积分为的两部分，求直线的解析式。【例4】 在平面直角坐标系中，轴于点，轴于点,直线与轴、轴分别交于点，且解析式，求直线的解析式。【例5】 如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限直线上的点，点，是坐标原点，的面积为，求与的函数关系式.