中考专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明.doc

-专题提升(十)以等腰或直角三角形为背景的计算与证明类型之一以等腰三角形为背景的计算与证明【经典母题】把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形你能办到吗？请画示意图说明剪法经典母题答图解：如答图，作ABC的平分线，交AC于点D.在BA上截取BEBD，连结ED，则沿虚线BD，DE剪两刀，分成的3个三角形都是等腰三角形【思想方法】等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边长的计算【中考变形】12017·湖南已知ABC的三边长分别为4，4，6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 (B)A3条 B.4条 C.5条 D.6条中考变形1答图【解析】 如答图，当ACCD，ABBG，AFCF，AEBE时，都能得到符合题意的等腰三角形22016·杭州已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(mn)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则 (C)Am22mnn20 B.m22mnn20Cm22mnn20 D.m22mnn20中考变形2答图【解析】 如答图，根据题意，得m2m2(nm)2，2m2n22mnm2，m22mnn20.32017·绍兴已知ABC，ABAC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，ADAE，设BAD，CDE.(1)如图Z101，若点D在线段BC上，点E在线段AC上如果ABC60°，ADE70°，那么_20_°，_10_°.求，之间的关系式；(2)是否存在不同于以上中的，之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，请说明理由图Z101解：(1)ABAC，B60°，BAC60°，ADAE，ADE70°，DAE180°2ADE40°，BAD60°40°20°，ADCBADB60°20°80°，CDEADCADE10°.设Bx，ADEy，Cx，AEDy，在DEC中，yx，在ABD中，xyx，2；(2).当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，如答图，设Bx，ADEy，Cx，Ey，在ABD中，xy，在DEC中，xy180°，2180°.中考变形3答图 中考变形3答图.当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上时，如答图，同的方法可得180°2.【中考预测】2016·菏泽如图Z102，ACB和DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.(1)如图，若CABCBACDECED50°，求证：ADBE.求AEB的度数；(2)如图，若ACBDCE120°，CM为DCE中DE边上的高线，BN为ABE中AE边上的高线，求证：AE2CMBN.图Z102解：(1)证明：CABCBACDECED50°，ACBDCE180°2×50°80°.ACBACDDCB，DCEDCBBCE，ACDBCE.ACB和DCE均为等腰三角形，ACBC，DCEC.在ACD和BCE中，ACDBCE(SAS)，ADBE；ACDBCE，ADCBEC.点A，D，E在同一直线上，且CDE50°，ADC180°CDE130°，BEC130°，AEBBECCED130°50°80°；(2)证明：ACB和DCE均为等腰三角形，且ACBDCE120°，CDMCEM×(180°120°)30°.CMDE，CMD90°，DMEM.在RtCMD中，CDM30°，DE2DM2×2CM.ACBDCE120°，ACBDCBDCEDCB，即ACDBCE，又ACBC，CDCE，ACDBCE(SAS)，ADCBEC，ADBE.BECADC180°30°150°，BECCEMAEB，AEBBECCEM150°30°120°，BEN180°120°60°.在RtBNE中，N90°，BEN60°，BEBN.ADBE，AEADDE，AEDEBE2CMBN.类型之二以直角三角形为背景的计算与证明【经典母题】已知：如图Z103，在ABC中，ADBC于点D，E为AC上一点，且BFAC，DFDC.求证：BEAC.图Z103证明：ADBC，ADCBDF90°，又BFAC，DFDC，RtBDFRtADC(HL)，DBFDAC，BFDAFE，AEFBDF90°，即BEAC.【思想方法】直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛，常与三角形全等知识结合使用【中考变形】1如图Z104，将RtABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到ABC，连结AA，若120°，则B的度数是 (B)图Z104A70°B65°C60°D55°【解析】 RtABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到ABC，ACAC，ACA是等腰直角三角形，CAA45°，ABC1CAA20°45°65°，由旋转的性质，得BABC65°.图Z10522016·济宁如图Z105，在ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件_AECE(答案不唯一)_，使AEHCEB.【解析】 该题为开放型题，根据垂直关系，可以找出AEH与CEB的两对相等的对应角，只需要找它们的一对对应边相等就可以了ADBC，CEAB，垂足分别为D，E，BECAECADB90°，在RtAEH中，EAH90°AHE，在RtABD中，EAH90°B，BAHE.根据AAS添加AHCB或AECE，根据ASA添加EHEB，可证AEHCEB.故填空答案：AHCB或EHEB或AECE(答案不唯一)图Z1063如图Z106，在ABC中，ABCB，ABC90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BEBD，连结AE，DE，DC.(1)求证：ABECBD；(2)若CAE30°，求BDC的度数解：(1)证明：ABC90°，DBE180°ABC180°90°90°，ABECBD.在ABE和CBD中，ABECBD(SAS)；(2)ABCB，ABC90°，ABC是等腰直角三角形，ECA45°.CAE30°，BEAECACAE，BEA45°30°75°.由(1)知BDCBEA，BDC75°.4如图Z107，ACB与ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90°，D为AB边上的一点图Z107(1)求证：ACEBCD；(2)若DE13，BD12，求线段AB的长解：(1)证明：ACB与ECD都是等腰直角三角形，CECD，ACBC，ACBECD90°，ACEBCD90°ACD，在ACE和BCD中，ACEBCD(SAS)；(2)ACEBCD，AEBD12，EACB45°，EADEACCAD45°45°90°，在RtEAD中，EAD90°，DE13，AE12，由勾股定理，得AD5，ABBDAD12517.52017·重庆B卷如图Z108，ABC中，ACB90°，ACBC，点E是AC上一点，连结BE.(1)如图，若AB4，BE5，求AE的长；(2)如图，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AFBD于点F，连结CD，CF.当AFDF时，求证：DCBC.图Z108【解析】 (1)根据勾股定理先求得ACBC4，再利用勾股定理求CE的长即可；(2)过C点作CMCF交BD于点M，构造BCMACF得FCMC，即FCM为等腰直角三角形，AFCDFC135°，再证DCFACF即可解：(1)ACB90°，ACBC，BACABC45°.AB4，BCAC4×4.在RtBCE中，CE3，AEACCE431；(2)证明：如答图，过C点作CMCF交BD于点M.中考变形5答图ACBFCM90°，ACFBCM，ACBAFE90°，BECAEF，FACMBC，在ACF和BCM中，ACFBCM(ASA)，FCMC，MFCFMC45°，DFC180°45°135°，AFC90°45°135°，DFCAFC.在ACF和DCF中，ACFDCF(ASA)，ACDC.ACBC，DCBC.【中考预测】如图Z109，ABAC，AEAF，BACEAF90°，BE，CF交于M，连结AM.(1)求证：BECF；(2)求证：BECF；(3)求AMC的度数图Z109 中考预测答图解：(1)证明：BACEAF90°，BACCAEFAECAE，BAECAF，在CAF和BAE中，CAFBAE(SAS)，BECF；(2)证明：设AC与BE交点为O，如答图，CAFBAE，ABEACF，BAC90°，ABOBOA90°，BOACOM，COMACF90°，CMO180°90°90°，BECF；(3)如答图，过点A分别作AGBE于G，AHCF于H，则AGBAHC90°，在AGB和AHC中，AGBAHC(AAS)，AGAH，AGBE，AHFC，BECF，AGMGMHAHM90°，四边形AHMG是正方形，GMH90°，AMGHMG45°，AMC90°45°135°.【精品文档】第 9 页