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第二章 债券价格与收益率2022年8月28日5时25分2内容提要 利率利率 1 债券价格表达式债券价格表达式2 债券价格与时间利率的关系债券价格与时间利率的关系 3 收益率收益率4 债券价格变动与套利机制债券价格变动与套利机制 52022年8月28日5时25分3利率 利率是人们贷出货币所要求的回报率 。按照货币借贷交易达成的时间与借款开始的时间之间的关系，利率可以分为即期利率与远期利率。 三个重要日期：议定日、借出日、偿还日 2022年8月28日5时25分4利率 即期利率 即期利率就是人们根据零息债券的价格计算出来的利率水平 。用i(0,t)表示偿还期为t的当前时刻的即期利率。如果市场上期满日为三个月的零息债券的价格是99元（面值100元），在意味着（年度化的）即期利率=（100-99）/99/（1/4）=4.04% 设想某2年期零息债券当前的价格79.72，则79.72（1+i）2=100,得到i=12%，意味着2年期市场的即期利率是（平均每年）12%。 2022年8月28日5时25分5利率 远期利率 远期利率代表了未来两个时点之间的利率水平。 用f(0,t,T)代表一个议定日为当前（0时刻）、资金借出日为t,偿还日为T的远期利率水平。 0tT议定日贷款日偿还日f(0,t,T)2022年8月28日5时25分6利率 即期利率和远期利率的关系 即期利率可以表示为：i(0,t)=f(0,0,t)。 金融市场套利机制的存在使得即期利率与远期利率存在如下关系： 如果等号左边大于等号右边：借一笔期限为T的长期资金，立即投资t期，同时签订一个T-t的远期贷款合同,就可获得无风险利润。 如果等号左边小于等号右边：借一笔期限为t的短期资金并立即按照T期贷出，同时签订一个远期借款协议（期限为T-t）,就可获得无风险利润。TtTtTiTtfti), 0(1 ), 0(1 ), 0(1 2022年8月28日5时25分7利率 远期利率的表达式1), 0(1 ), 0(1 ), 0(tTtTtiTiTtf2022年8月28日5时25分8利率 如何计算远期利率 已知3年期即期利率为5%，两年期即期利率为4%，则第2年到第3年之间的远期利率为%03. 71%41 %51 1%41 %51 )3 , 2 , 0(232323f2022年8月28日5时25分9利率 利率与金额回报 把“1+利率”看作是某个投资期实现的金额回报。T期即期金额回报就是组成T期的两个远期金额回报的几何加权平均数，权重是每段时间占总时段的比重。 TtTTtTtftiTi/ )(/), 0(1 ), 0(1 ), 0(12022年8月28日5时25分10利率 利率与金额回报 把时间段（0，T）划分成n个小区间，分别由t1，t2，t3，tn来代表这些小的时间区间上的时间点，则市场套利机制使得下面的式子成立nnntnttnnttttittfttfti), 0(1 ), 0(1 ), 0(1 ), 0(1 11211211njjtttnjjjnttfti/ )(111), 0(1 ), 0(1tn期限内的即期金额回报是该区间内各个小的时间段的远期金额回报的几何平均数。 2022年8月28日5时25分11债券价格表达式 一般意义 债券的价格，从理论上讲，就是债券带来的现金流的贴现之和 零息债券 零息债券是到期一次性还本付息的债券，其特征是仅发生两笔现金流 零息债券的现金流特点。箭头向下表示支出现金流，箭头向上表示收到现金流当前价格到期偿付2022年8月28日5时25分12债券价格表达式 零息债券的价格表达式TTTiBB), 0(1 0v例如：某零息债券剩余期限为两年，如果当前两年期的即期利率是4%，则 B0=1001+4%-2=92.46。 2022年8月28日5时25分13债券价格表达式如果当前零息债券的市场价格B(i)小于B0，即 则可以按照利率i 在（0，T)期间内借款B(i)，用此借款按市场价格购买一张债券并持有到期。到期时得到金额BT，此时需要偿还的借款本息和为B(i)1+i(0,T)T。TTTiBBiB), 0(1 )(0如果当前零息债券的市场价格B(i)大于B0，即 则可以借出一张债券，得到金额B(i)，将其按利率i 在(0,T)期间投资，到期时本息和为B(i)1+i(0,T)T。TTTiBBiB), 0(1 )(0获得无风险收益导致债券供不应求，价格上涨，利率上涨。获得无风险收益导致债券供过于求，价格下跌，利率下降。2022年8月28日5时25分14债券价格表达式 附息债券 附息债券现金流的特点是中途有票息支付，到期归还本金和最后一次票息 附息债券的现金流特点。与零息债券不同的是中途有多笔现金流发生。当前价格本金+最后的票息=CTC1C2C3CT-1CT-2C42022年8月28日5时25分15债券价格表达式 附息债券的理论价格是所有现金流的贴现和，故附息债券的价格表达式是：tTttticB10),0(1 v当债券的市场价格偏离理论价格时，就会存在套当债券的市场价格偏离理论价格时，就会存在套利行为，套利活动会使市场价格回归到理论价格。利行为，套利活动会使市场价格回归到理论价格。对于利率固定的附息债券，i(0,t)=i2022年8月28日5时25分1683.111%)5 . 41 (107%)5 . 51 (7%)45. 51 (7%)4 . 51 (7%)3 . 51 (7%)2 . 51 (7%)1 . 51 (7%)95. 41 (7%)75. 41 (7%)5 . 41 (710987654320B债券价格表达式v 如果第1年至第10年的即期利率分别为4.5%，4.75%，4.95%，5.1%，5.2%，5.3%，5.4%，5.45%，5.5%，5.5%，则对于一个剩余期限为10年的票息率为7%的债券，其理论价格为：2022年8月28日5时25分17债券价格表达式 当债券的市场价格B(i)小于理论价格，即tTttticBiB10), 0(1 )( 用k(0k1。此时，套利者借入借入债券并立即抛售，然后获得的资金用于投资，就可获得无风险利润。第一步，借入债券并抛售，所得资金为：TttttikckBiB10), 0(1 )(第二步，按照下列方式投资并计算净收益： 将金额为 kc11+i(0,1)-1的货币按利率 i(0,1)投资1年，将金额为 kc21+i(0,2)-2的货币按利率 i(0,2)投资2年， ，将金额为 kc21+i(0,T)-T的货币按利率 i(0,T)投资T年。2022年8月28日5时25分20债券价格表达式 于是，第1年年底套利者得到的贷款本息和是kc1，在偿还了债券出借者的票息c1后，净利润是：kc1-c1=c1(k-1) 同理，第t 年年底的净利润是：kc t -c t =c t (k-1)第三步，在第T 期期末，套利者用得到的现金kc t买回债券（价格为c t ）还给出借者。第四步，计算套利结果。每期净现金流的贴现值是：0)() 1(), 0(1 ) 1(001BiBBktickNVPTttt套利行为通过借入债券并抛售，促使债券市场价格下降，套利行为通过借入债券并抛售，促使债券市场价格下降，通过贷出资金，导致利率下降，从而提高债券理论价格。通过贷出资金，导致利率下降，从而提高债券理论价格。这两方面都促使被高估的债券市场价格趋向理论价格。这两方面都促使被高估的债券市场价格趋向理论价格。2022年8月28日5时25分21债券价格与时间、利率的关系债券价格与时间、利率的关系 假设各个期限的即期利率都相同，则债券价格表达式是： 因此，债券价格债券价格B(i)与利率与利率i呈反比关系。呈反比关系。TTTTTTTTTTTTiBiiciBiiiciBiiiciBiciciciB)1 ()1 (11)1 ()1 (1)1 (11)1 ()1 (11111)1 ()1 ()1 (1)(112这里，cT=c+BT2022年8月28日5时25分22债券价格与时间、利率的关系债券价格与时间、利率的关系 债券价格的封闭形式 等式左边称为债券的相对价格。右边式子中的c/BT就是票息率。该等式的直观意义有3点： 1.债券相对价格始终在（c/ BT）/i和1之间波动 2.票息率和市场利率之间的关系决定债券相对价格 3.随着到期日的临近（令T趋向于零），等式右边趋向于1，即债券价格趋近于面值 TTTTiiiBcBiB)1 (1)1 (11/)(2022年8月28日5时25分23债券价格与时间、利率的关系债券价格与时间、利率的关系 债券价格与时间、利率关系示意图 仅时间变动T时间债券价格1000溢价债券平价债券折价债券TTTTiiiBcBiB)1 (1)1 (11/)(2022年8月28日5时25分24债券价格与时间、利率的关系债券价格与时间、利率的关系 债券价格与时间、利率关系示意图 仅利率变动短期债券到期债券长期债券利率债券价格0TTTTiiiBcBiB)1 (1)1 (11/)(2022年8月28日5时25分2596国债8 经历了中国从1996年到2003年之间利率变动的周期。以该国债为例，分析利率波动和时间效应对其价格的影响。挂牌代码000896期限7挂牌名称96国债到期日2003-11-01国债全称九六年记帐式(八期)国债票面利率8.56%实际发行量200亿国债付息方式按年付息发行价格100计息日期1996-11-01发行方式记帐式上市日期1996-11-2196国债8的基本信息债券价格与时间、利率的关系债券价格与时间、利率的关系2022年8月28日5时25分26 96国债8净价平均价格与1年期定期存款利率的走势债券价格与时间、利率的关系债券价格与时间、利率的关系2022年8月28日5时25分27收益率 债券收益率就是投资债券的回报率。 影响收益率高低的4个因素： 债券的买卖价格（资本利得因素） 票息的高低（票息因素） 票息以什么样的利率再投资（再投资因素） 时间因素 2022年8月28日5时25分28收益率 当期收益率当期收益率 1 到期收益率到期收益率2 持有期收益率持有期收益率 3 总收益率总收益率4v债券的收益率指标很多，不同假设条件下收益率的含义和名称有所不同。2022年8月28日5时25分29收益率 当期收益率 当期收益率（current yield,简称CY）是票息与债券购买价格之比 计算公式 特点： 直观简单，便于计算，强调了购买价格和票息的高低对收益率的影响 它没有考虑卖出价格与时间的因素，更没有考虑再投资因素 0BcCY 2022年8月28日5时25分30收益率 例子： 21国债（10）是财政部于2001年9月25日发行的10年期国债，到期日为2011年9月25日，票面额为100元，票面利率为2.95%，计息方式为固定利率，每年9月25日付息一次。某投资者于2006年12月25日按照市场报价99.59元购买了这一债券，问其当期收益率是多少？ 由于距离上一付息日为3 个月，所以累计利息为2.95/4=0.7375，支付价格=99.59+0.7375=100.3275。所以，在投资者购买债券的当天持有期收益率为 %94. 23275.10095. 20BcCY2022年8月28日5时25分31收益率 到期收益率 到期收益率（ yield to maturity,简称YTM）是这样一种贴现率，经它贴现后的债券现金流加总后，正好等于债券的购买价格。即通过反解 得到。 特点： 考虑到了票息因素、再投资因素和时间因素，在一定程度上也考虑了资本利得因素TtttYTMcB10)1 (2022年8月28日5时25分32收益率 到期收益率(例子) 仍以21国债（10）为例。某投资者于2009年9月25日按照报价102.77元购买债券时，其到期收益率为多少？ 由于9月25日当天是付息日，没有累积利息，所以这个价格也就是全价。债券剩余期限为2年，通过解下面的方程 解得YTM=1.08% 2)1 (95.102195. 277.102YTMYTM2022年8月28日5时25分33收益率 到期收益率的实现条件 债券现金流能够如约实现 投资者必须持有债券到期 再投资收益率等于到期收益率 所有期限的利率水平都相同且在债券持有期间保持不变 2022年8月28日5时25分34收益率 持有期收益率 持有期收益率（horizon rate of return,简称HRR）是假设投资者计划持有债券一段期间获得的投资回报率 计算公式： 特点：难点在于如何计算未来的期末的总回报FH，这需要对利率进行预测 2022年8月28日5时25分35收益率 持有期收益率-举例 某投资者按照250元的价格购买了这样一种债券，该债券承诺今后三年内每年可以支付100元，如果进一步假定三年内再投资利率为5%，那么3年后投资者的总回报为： HRR=（315.25/250）1/3-1=8.037%。 25.315%)51 (100313tt2022年8月28日5时25分36收益率 持有期收益率-对未来利率的设定 假如在购买债券后，利率由初始水平（设为i0）变成了新的水平（设为i）并在持有期间一直保持这个水平，则债券总回报可以由B(i)(1+i)H=FH得出，这里B(i)表示新的利率下对应的债券的价格。 1)1 ()(0iBiBHRRH2022年8月28日5时25分37收益率 持有期收益率-对未来利率的设定 某投资者以115.44元的价格购买了一张票面利率为7%，剩余期限为10年的债券，此时市场利率为5%。假设投资者刚买完债券后，市场利率上涨到6%，其债券价格下跌到107.36元，如果今后5年内利率一直保持6%这一水平不变，问投资者持有该债券5年期间的收益率为多少？ %47. 41%)61 (44.11536.1075/1HRR2022年8月28日5时25分38收益率 总收益率 总收益率（total rate of return,简称TR）是根据一定的再投资收益和债券出售价格的计算出来的债券投资回报率 计算公式： 特点： TR中的“FH”与HRR中的“FH”不尽相同。TR的“FH”是指假设了再投资收益率与“卖出价格”后的总回报，而HRR中的“FH”是指假设了再投资收益率与持有期末“债券估值”后的总回报，假设的“卖出价格”并不一定等于假设的“债券估值” 2022年8月28日5时25分39收益率 总收益率(例子) 按照82.84的价格购买一张20年期、票息率为8%的债券（每年支付2次票息），持有3年后卖掉债券。假设未来3年内再投资利率为6%，3年后出售债券时的到期收益率为7%，问总收益率是多少？ 解答 总回报的构成息票以及息票带来的利息3年后债券的卖价2022年8月28日5时25分40收益率 总收益率(例子) 总回报的构成息票以及息票带来的利息 3年后债券的卖价87.252/06. 01)2/06. 01 (42385.109)2/07. 01 (1002/07. 0)2/07. 01 (142172172022年8月28日5时25分41收益率 总收益率(例子) 总回报的构成：25.87+109.85=135.72 （半年的）总收益率=8.58% （年度化的）总收益率= 2*8.58%=17.16% %58. 8184.8272.13562022年8月28日5时25分42收益率 各类收益率之间的关系-CY与YTM 以前面提到的“21国债（10）”为例，说明各类收益率之间的区别与联系。先看看当期收益率与到期收益率有何不同。表3-1描绘了该债券某些时点上的收盘价、当期收益率和到期收益率。 2022年8月28日5时25分43收益率表3-1 21国债（10）当期收益率和到期收益率时间收盘价当期收益率到期收益率2006/12/2599.590.0296210.0304002007/03/2698.950.0298130.0325002007/06/2595.650.0308420.0437002007/09/2594.820.0311120.0479002007/12/2596.260.0306460.0437002008/03/2597.160.0303620.0412002008/06/2596.650.0305230.0450002008/09/2598.460.0299610.0373002008/12/25103.310.0285550.0103002009/03/25102.930.0286600.0098002009/06/25102.30.0288370.0139002009/09/25102.770.0287050.0108002022年8月28日5时25分44各时点“21国债（10）”当期收益率和到期收益率比较2022年8月28日5时25分45收益率 各类收益率之间的关系-HRR与TR 假设2007年9月25日当天，某投资者以94.82元买入一份“21国债（10）”并预计再持有该国债2年。如何计算持有期收益率？除非预测利率，否则无法精确算出这个收益率。因为只有通过预测利率，才能计算出期末（2009年9月25日）的总回报FH。假如该投资者简单地预计市场利率从4%降至3%并保持不变直至2009年9月25日，则持有期收益率是：%68. 51%)31 (82.9477.1021)1 ()(0iBiBHRRH2022年8月28日5时25分46收益率 各类收益率之间的关系-HRR与TR 如果该投资者在2009年9月25日出售了其所购买的“21国债（10）”，为了评价此次投资债券的绩效，就要估计该投资的总收益率。2年后一份“21国债（10）”的实际售价为102.77元，按照3%的预计利率水平，利率及再投资收益为2.95+2.95（1+3%）=6.785元，则总收益率是：%49. 7182.94)6.785102.77(10HHBFTRHRR和和TR都明显高于当期收都明显高于当期收益率。它们的共同点是对再益率。它们的共同点是对再投资利率进行预测，不同的投资利率进行预测，不同的是持有估值（是持有估值（HRR）与确定）与确定性出售（性出售（TR）的区别。）的区别。2022年8月28日5时25分47 债券价格变动与套利机制债券价格变动与套利机制 假设一个社会中只存在两种资产可供投资选择：一是金融资产（以零息债券代表），一是实物资产（以酒店为代表）。 我们还可以进一步假设两种投资中都消除了收益不确定的风险（可以通过远期交易转移这些风险）。 我们的投资活动以1元钱开始，投资期限是1年，市场无风险利率是i。 2022年8月28日5时25分48 债券价格变动与套利机制债券价格变动与套利机制 在金融市场上投资零息债券，1年后的总收入是1+i。投资收益率是(1+ i)-1/1=i； 假如酒店的价格为p0，酒店每年的租金是q，酒店1年后的出售价格是p1，那么，1元钱投资酒店时，可以拥有酒店权益为1/p0，1年可以得到的租金是 q(1/p0)= q/p0，1年后出售酒店的收益是p1/p0，1年投资的总收益是(q+p1)/p0。 投资酒店的收益率是(q+p1)/p0-1/1=(q+p)/p0。其中，p= p1- p0。2022年8月28日5时25分49 债券价格变动与套利机制债券价格变动与套利机制 两种投资带来的回报是相同的如果酒店投资收益超过债券投资收益，套利者就在市场上借入资金投资酒店，一方面抬高了利率，另一方面抬高了酒店的购买价格，使得酒店投资回报降低，债券投资回报上升，两者的回报水平趋于一致；如果酒店投资回报低于债券投资回报，就发生相反的套利活动，套利者放弃酒店投资，使得酒店价格下降，投资回报提高，达到债券投资的收益水平。 2022年8月28日5时25分50 债券价格变动与套利机制债券价格变动与套利机制 存在以下的等式 把酒店替换为附息债券。债券每年的票息可以代替酒店每年的租金，酒店的购买价格与出售价格可以更换成债券相应的价格，用B代表债券当前价格，B1代表1年后债券的价格，B=B1-B。这样以来，上述等式就成了00pppqiBBBci2022年8月28日5时25分51 债券价格变动与套利机制债券价格变动与套利机制 推论是 等式说明：债券价格变动率，等于市场利率减去债券当期收益率。 前面计算持有期收益率的第2个例子中，投资者5年内持有期（平均每年的）收益率为4.47%。按照上面的式子，投资者购买债券后的1年以内债券价格的变化是 这说明溢价买入债券并持有期间必然发生资本利得损失，因为溢价买入本身就意味着市场利率小于当期收益率。BciBB%06. 1%06. 6%544.1157%5BciBB