中考数学 第二轮 专题突破 能力提升 专题集训10 等腰三角形探究试题.doc

-专题集训10等腰三角形探究一、选择题1如图，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角ABC，使BAC90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是( A )【解析】如图，作ADx轴，作CDAD于点D，由已知可得，OBx，OA1，AOB90°，BAC90°，ABAC，点C的纵坐标是y，ADx轴，DAOAOB180°，DAO90°，OABBADBADDAC90°，OABDAC，可证OABDAC(AAS)，OBCD，点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，yx1(x0)故选A.2如图，AOB120°，OP平分AOB，且OP2.若点M，N分别在OA，OB上，且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMN有( D )A1个B2个C3个D3个以上【解析】如图，在OA，OB上截取OEOFOP，作MPN60°.OP平分AOB，EOPPOF60°，OPOEOF，OPE，OPF是等边三角形，EPOP，EPOOEPPONMPN60°，EPMOPN，可证PEMPON(ASA)，PMPN，MPN60°，POM是等边三角形，只要MPN60°，PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个二、填空题3正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点，若PBE是等腰三角形，则腰长为_2或或_【解析】如图，取E为C，则PBPC2；在AB上取E使PEEB，如图，设AEx，(4x)2x24，解得x，使PE；在BP上取中点M，如图，作MEPB交DC于E.设ECx，由PEBE知42x222(4x)2，解得x，PE.4如图，在菱形ABCD中，ABC60°，AB2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，D(P，D两点不重合)两点间的最短距离为_22_【解析】如图，连结AC，BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P.此时PBC是等腰三角形，线段PD最短，四边形ABCD是菱形，ABC60°，ABBCCDAD，ABCADC60°，ABC，ADC是等边三角形，BODO×2，BD2BO2，PD最小值BDBP22.三、解答题5如图，已知点A(1，2)是反比例函数y图象上的一点，连结AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若PAB是等腰三角形，求点P的坐标解：反比例函数y图象关于原点对称，A，B两点关于O对称，O为AB的中点，且B(1，2)，当PAB为等腰三角形时有PAAB或PBAB，设P点坐标为(x，0)，A(1，2)，B(1，2)，AB2，PA，PB，当PAAB时，则有2，解得x3或5，此时P点坐标为(3，0)或(5，0)；当PBAB时，则有2，解得x3或5，此时P点坐标为(3，0)或(5，0)综上可知P点的坐标为(3，0)或(5，0)或(3，0)或(5，0)6如图，抛物线yax2bxc的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，顶点为D.(1)求此抛物线的解析式；(2)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)抛物线yax2bxc的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)， 解得即此抛物线的解析式是yx22x3；(2)存在一点P，使得以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为(1，y)，当PAPD时，解得y，即点P的坐标为(1，)；当DADP时，解得y4±2，即点P的坐标为(1，42)或(1，42)；当ADAP时，解得y±4，即点P的坐标是(1，4)或(1，4)，当点P为(1，4)时与点D重合，故不符合题意，由上可得，以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为(1，)或(1，42)或(1，42)或(1，4)7在等腰直角三角形ABC中，BAC90°，ABAC，直线MN过点A且MNBC，过点B为一锐角顶点作RtBDE，BDE90°，且点D在直线MN上(不与点A重合)，如图1，DE与AC交于点P，易证：BDDP.(无需写证明过程)(1)在图2中，DE与CA的延长线交于点P，BDDP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；(2)在图3中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明(这是边文，请据需要手工删加)解：(1)BDDP成立，证明：如图2，过点D作DFMN，交AB的延长线与点F，则ADF为等腰直角三角形，DADF.1ADB90°，ADB290°，12.在BDF与PDA中，BDFPDA(ASA)，BDDP(2)BDDP.证明：如图3，过点D作DFMN，交BA的延长线于点F，则ADF为等腰直角三角形，DADF.在BDF与PDA中， BDFPDA(ASA)，BDDP(这是边文，请据需要手工删加)8如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B(5，3)，抛物线yx2bxc经过A，C两点，与x轴的另一个交点是点D，连结BD.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿DB匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BAD匀速运动，当点P到达点B时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有符合条件t的值解：(1)矩形ABCD，B(5，3)，A(5，0)，C(0，3)点A(5，0)，C(0，3)在抛物线yx2bxc上，解得b，c3，抛物线的解析式为yx2x3(2)在RtABD中，AB3，AD4，则BD5，sinABD，cosABD.以D，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形，则：若PDPQ，如答图1，此时有PDPQBQt，过点Q作QEBD于点E，则BEPE，BEBQ·cosBt，QEBQ·sinBt，DEttt，由勾股定理得DQ2DE2QE2AD2AQ2，即(t)2(t)242(3t)2，整理得11t230t1250，解得t或t5(舍去)，t；若PDDQ，如答图2，此时PDt，DQABADt7t，t7t，t；若PQDQ，如答图3，PDt，BP5t；DQ7t，PQ7t，AQ4(7t)t3，过点P作PFAB于点F，则PFPB·sinB(5t)×4t，BFPB·cosB(5t)×3t，AFABBF3(3t)t.过点P作PEAD于点E，则四边形PEAF为矩形，PEAFt，AEPF4t，EQAQAE(t3)(4t)t7.在RtPQE中，由勾股定理得EQ2PE2PQ2，即(t7)2(t)2(7t)2，整理得13t256t0，解得t0(舍去)或t，t.综上所述，当t，t或t时，以D，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形【精品文档】第 3 页