与圆有关的角(5页).doc

-与圆有关的角-第 5 页8-4与圆有关的角知识考点：1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念；2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数；3、掌握圆周角定理及其推论； 4、掌握弦切角定理及其推论；5、掌握各角之间的转化及其综合运用。精典例题：【例1】如图，在等腰ABC中，ACBC，C1000，点P在ABC的外部，并且PCBC，求APB的度数。分析：注意条件ACBCPC，联想到圆的定义，画出以点C为圆心，AC为半径的圆，问题则得以解决。解：ACBC，PCBCA、B、P三点在以C为圆心，AC为半径的圆上若P、C在AB的同侧，则APBACBACB1000，APB500若P、C在AB的异侧，则APB1800501300【例2】如图，在ABC中，B900，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC切于点D，直线ED交BC的延长线于F，若ADAE21，求cotF的值。分析：由ADAE21和ADEABD有DEDB12，而FEBD，则cotFcotEBD，故结论得证。解：连结BDAC为O的切线，12AA，ADEABD，即 BE为O的直径，BDE9002BEF900，FBEF900，2FcotFcot22【例3】如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F、G，连结AF并延长交BGF的外接圆于H，连结GH、BH。（1）求证：DFAHBG；（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE，CFFB12，求AB的长；（3）在（2）的条件下，又知AD6，求tanHBG的值。分析：（1）证DAFAFBBGH，DFAHFGHBG即可； （2）由DCAG，得CFFBCDBG12，则ABAG13，由切割线定理得AB3； （3）由（2）知AB3，AG9，过A作AQDG于Q。由得。所以DFDG。由得，所以。故tanHBGtanHFGtanQFA18。探索与创新：【问题一】如图，已知，半圆的直径AB6cm，CD是半圆上长为2cm的弦，问：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由。分析：本题有一定难度，连结BC（或AD）可构成直角三角形，这是遇直径常用的辅助线。解；连结BCCD为定长，虽CD滑动，但的度数不变，PBC为定值PACPPBC900PBC为定值PCDPBA，PCDPBA在RtPBC中，cosP，sinP评注：本题是在变中寻不变，有一定的难度，但考虑到常用的辅助线直径，问题便迎刃而解了。变式：如图，BC与AD交于E，其它条件与上题一致，问P与DEB的大小关系？分析：AB为直径，则PCBADB900，而cosP，又CEDAEB，cosDEB。cosPcosDEB，故P与DEB的大小相等。【问题二】如图，AB是O的直径，弦（非直径）CDAB，P是O上不同于C、D的任一点。（1）当点P在劣弧CD上运动时，APC与APD的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P在优弧CD上运动时，APC与APD的关系如何？并证明你的结论（不讨论P与A重合的情形）。分析：（1）P在劣弧CD上运动时，APCAPD，利用垂径定理及圆周角定理易证；（2）P在优弧CD上运动时，APCAPD1800，APC所对的弧是，APD所对的弧是，而，的度数和等于的度数和，等于3600，由圆周角定理易证明得到结论。跟踪训练：一、选择题：1、下列命题中，正确的命题个数是（ ）顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角度数等于圆心角度数的一半；900的圆周角所对的弦是直径；圆周角相等，则它们所对的弧也相等。A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2、已知AB、AC与O相切于B、C，A500，点P是O上异于B、C的一动点，则BPC的度数是（ ） A、650 B、1150 C、650或1150 D、1300或5003、O为锐角ABC的外心，ODBC，OEAC，OFAB，垂足分别为D、E、F，则ODOEOF为（ ） A、a: b: c B、1/a :1/b :1/c C、cosAcosBcosC D、sinAsinBsinC4、如图，AB是O的直径，DB、DC分别切O于B、C，若ACE250，则D为（ ） A、500 B、550 C、600 D、6505、如图，O经过O1的圆心O1，ADB，ACD，则与之间的关系是（ ） A、 B、 C、 D、二、填空题：6、如图，四边形ABCD内接于O，则 。7、如图，A、B、C是O上的三个点，当BC平分ABO时，能得出结论 （任写一个）。8、如图，AB是O的直径，C、D、E都是O上的点，则12 。9、如图，PA切O于点A，PO交O于C，延长PO交O于点B，PAAB，PD平分APB交AB于点D，则ADP 。10、如图，已知直径ABCD于E，COB，则 。11、如图，O1与O2为两个等圆，O1在O2上，O2在O1上，O1与O2交于A、B两点，过B的直线交O1于C，交O2于D，过C作O1的切线CE与过D作O2的切线DE交于E，则E 。三、计算题或证明题：12、如图，已知P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B，OP与AB相交于点M，C为上一点。求证：OPCOCM。13、如图，O1与O2交于A、B两点，点O1在O2上，O2的弦O1C交AB、O1于D、E。求证：（1）AO12=O1D·O1C（2）E为ABC的内心。14、如图，已知AD是ABC外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB、FC。（1）求证：FBFC；（2）；（3）若AB是ABC的外接圆的直径，EAC1200，BC6cm，求AD的长。15、如图，O的直径AB6，P为AB上一点，过P作O的弦CD，连结AC、BC，设BCDACD，当时，是否存在正实数，使弦CD最短？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。16、如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于F，交AE于点M，且BCAE，EFFD43。（1）求证：AFDF；（2）求AED的余弦值；（3）如果BD10，求ABC的面积。参考答案一、选择题：ACCAD二、填空题： 6、1400；7、OCAB等；8、900；9、450；10、1；11、1200三、计算题或证明题：12、提示：连结OA，又O是公共角，OCMOPC。13、略证：（1）连结，O1B，由O1AO1B可得O1ADO1CA，AO1D是公共角，O1ADO1CA；（2）连结AE、BE，由ABEAO1CABC，BAEBO1EBAC。14、（1）（2）略；（3）cm。15、解：连结OD，设存在正实数，则在O中过P点的所有弦中，只有垂直于直径的弦最短。CPAB于P。，设AP，则BP，又AB6，解得OPOAAP在RtPOD中，cosPOD，POD300，ACD150AB为O的直径，ACB900BCD900150750 BCDACD5，即存在正实数，使CD弦最短。16、（1）先证ADEDAE；（2）作ANBE于N，设FE，FD，可求DE，由得：AN，可得EN，cosAED；（3）CAEABE，。