Jacobi迭代法.ppt

第一节 迭代法,三 、 迭代法的收敛性,一、引言,二、 迭代格式的构造,四、小结,一、引言,任取 代入（1.1）的右端，算得的结果记为 ，再以 代入（1.1）的右端，算得的结果记为 ，如此进行下去，便得到迭代格式,二、 迭代格式的构造,(1.2),此格式称为 迭代格式，称 为迭代矩阵。,由此迭代格式可构造出一个向量序列：,即 为（1.1）的解。,令 ，即得（1.1）.,注：若方程组由下面形式给出,必须指出，(1.5)中的 应是便于求逆的， 的最简单选择是把它选为对角阵，通常，当 的 对角线元素全不为 零时，就把 选为 的对角 线，于是,其中 是具有 的对角线元素的对角阵 ，而 在对角线上的元素为零。此时关系式(1.6)成为,式中， 是简单的对角阵， 它的对角线元 素是 的元素的倒数。,例1、将方程组：,化成便于迭代的形式,最直观的方法是，将方程组改写为：,三 、 迭代法的收敛性,由关系式：,可得,定理 对任意右端向量F和初始向量 ， 迭代格式(1.2)收敛于（1.1）的解 的充要条 件是,所以，为使 Jacobi迭代法收敛，即要使,.,由定理1可以看出，迭代是否收敛只与迭代矩阵 的谱半径有关，而迭代矩阵 是由系数矩阵 演变过 来的，所以迭代是否收敛是与系数矩阵 以及演变的 方式有关， 与 右 端向量和初始迭代向量的选择无关。,在具 体问 题 中 ， 谱 半 径 是 很 难计算的， 但由于有 ，所 以可以 用 来 作 为 的 一种估计。 当 时迭代格式一定收 敛，不 过这 只是 收敛 的充分条件。,定理 2 若 则迭代格式（1.2）收敛于 （1.1）的解 , 且有误差估计,（1.7）,证明 因为 ，所以迭代格式 （1.2）收敛。其次，由关系式,从而有,有,所以,将此式代入（1.7）式，便有,这就证明了定理2。,依 定 理 2 可知，当,其迭代格式为,由于迭代矩阵：,经一次迭代得：,于是有，,由误差估计式,可知，若使,只须,亦只须,由于,故,除了用定理1、定理2来判别迭代法的 收敛性外，还可根据方程组的系数矩阵的特 点给出一些收敛性的判别条件。,1) 若 是严格对角占优阵（各行非对角元 绝对值之和小于对角元绝对值的矩阵），则 迭代法收敛。,设线性代数方程组的形式为 ,则,2）若A为对称正定矩阵，,也为对称正定矩阵，则 迭代法收敛；,例3 用Jacobi迭代法解下列方程组（精确到 ）,( 其中 为 A 的对角元组成的对角阵，所以 与 只是非对角元的符号不同 ）。,若 为对称正定阵而 为非正定阵，则,迭代法不收敛。,解、显然，系数矩阵A是一个严格对角占优矩阵， 所以Jacobi迭代法收敛。,先将方程组化成（1.1）的形式。 以4，3，4分别除三个方程两边得,其迭代矩阵为,因为在所要求的精度内 ，故停止计 算, 即为所求近似解 。,从条件 中，也可以看出，对任意初始向量 ， 迭代法收敛。取,则利用Jacobi迭代格式（1.9），可得,四、小结,(1.2),2、 迭代法的收敛性,1、 迭代格式的构造,