2018年度高三惠州惠一调(理数)有答案解析.pdf

1 惠州市惠州市 2018 届高三第一次调研考试届高三第一次调研考试 数学数学（理科理科） 一、选择题：一、选择题：本题共本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. （1）已知集合 | 12Mxx ， |2 x Ny y，则MN （） A(0,2B(0,2)C0,2D2,) （2）已知a是实数，i是虚数单位，若 1 ai i 是纯虚数，则a=（） A. 1B. 1C.2D. 2 （3）从 0，1，2，3，4 中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（） A6B8C10D12 （4）已知定义域为R的偶函数( )f x在(,0上是减函数，且(1)2f， 则不等式 2 (log)2fx 的解集为（） A(2,)B. 1 (0, )(2,) 2 C. 2 (0,)( 2,) 2 D.( 2,) （5）点yxP,为不等式组 012 083 022 yx yx yx 所表示的平面区域内的动点， 则 x y 的最小值为（） A 2 1 B2C3D 3 1 （6）设命题 p ：若定义域为R的函数 ( )f x 不是偶函数，则 xR ， ()( )fxf x 命题q： ( )|f xx x 在( ,0) 上是减函数,在(0, ) 上是增函数 则下列判断错误的是（） A p 为假B q 为真C p q为真D. p q为假 （7） 已知函数( )3cos()(0) 3 f xx 和( )2sin(2)1g xx的图象的对称轴完全相同， 若0, 3 x ， 则( )f x 的取值范围是（） A. 3,3B. 3 ,3 2 C. 3 3 3, 2 D. 3 3, 2 （8） 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1 , ）(0,1,1), 1 ( ,1,0) 2 ， 绘制该四面体 三视图时, 正视图的方向如下图所示， 则得到左视图左视图 可以为（） 2 （9）三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明下面是赵爽的弦图及注文，弦图 是一个以勾股形之弦为边的正方形， 其面积称为弦实 图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形， 分别涂成红 （朱） 色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股 2 勾股 4朱实黄实弦实，化简得：勾 2 股 2 弦 2 设勾股形中勾股比为3:1，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计） ，则落 在黄色图形内的图钉数大约为（）732. 13 A866B500C300D134 （10）已知函数 xfy 的定义域为R，且满足下列三个条件： 对任意的84, 21 ，xx，当 21 xx 时，都有 0 21 21 xx xfxf 恒成立； xfxf 4；4xfy是偶函数； 若 2017116fcfbfa，则cba,的大小关系正确的是（） A.cbaB.cabC.bcaD.abc （11）已知三棱锥SABC，ABC是直角三角形，其斜边8,ABSC平面,ABC6SC ，则三棱锥的外接 球的表面积为（） A64B68C72D100 （12）已知 12 ,F F分别是双曲线 22 22 1( ,0) yx a b ab 的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直 线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 12 F F为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（） A(1, 2)B(2, +)C(1,2)D( 2,) 二填空题：本题共二填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。分。 （13）执行如图所示的程序框图，则输出 S 的结果为 （14）二项式 6 2 ()x x 展开式中的常数项是 （15）已知正方形ABCD的中心为O且其边长为 1， 则 BCBAOAOD （16）已知a，b，c是ABC的三边，4a，)64( ，b， CAsin2sin，则边c的取值范围是. 三三解答题解答题：共共 70 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 1721 题为必考题题为必考题，每个考生都必须作答每个考生都必须作答。 第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 （17）（本小题满分 12 分） 朱朱 朱朱 朱朱 朱朱 黄黄 开始 0,1Si 6?i 2ii 2SSi S输出 结束 是 否 3 在公差不为 0 的等差数列 n a中， 148 ,a a a成等比数列 （1）已知数列 n a的前 10 项和为 45，求数列 n a的通项公式； （2）若 1 1 n nn b a a ，且数列 n b的前n项和为 n T，若 11 99 n T n ， 求数列 n a的公差 （18） （本小题满分 12 分） 已知圆柱 1 OO底面半径为 1，高为，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点 M 从点 B 出发沿着圆柱的侧面到达点 D， 其距离最短时在侧面留下的曲线l如图所示将轴截面 ABCD 绕着轴 1 OO逆时针旋转 (0)后，边 11 BC与曲 线l相交于点 P （1）求曲线l长度； （2）当 2 时，求点 1 C到平面 APB 的距离 （19） （本小题满分 12 分） 近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升。伴 随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来。例如在智能手机行业，国产 品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外 派大量70后、80后中青年员工。该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式 从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表： 愿意被外派不愿意被外派合计 70后202040 80后402060 合计6040100 （1）根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由； （2）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加。70后员工 中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x；80后 员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y， 求xy的概率 参考数据： 2 ()P Kk0.150.100.050.0250.0100.005 k2.0722.7063.8415.0246.6357.879 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd. AB CD 1 A 1 B 1 C 1 D 1 O O P 4 （20） （本小题满分 12 分） 如图，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点为(2,0)A，左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过点A且斜率为 1 2 的直线 与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点 1 F （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P且斜率大于 1 2 的直线与椭圆交于,M N两点（| |PMPN） ，若: PAMPBN SS ，求实数的取值 范围 （21） （本小题满分 12 分） 已知函数xaxxxfln2)( 2 （其中 a 是实数） （1）求)(xf的单调区间； （2）若 3 20 ) 1 (2a e e，且)(xf有两个极值点 1 x 212 ,()x xx， 求)()( 21 xfxf的取值范围 （其中 e 为自然对数的底数） （二（二）选考题选考题：共共 10 分分。请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分。答题时请写答题时请写 清题号并将相应信息点涂黑。清题号并将相应信息点涂黑。 （22）（本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 ty tx 5 4 2 5 3 2 （t为参数） 以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为costan （1）求曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C与 2 C交于A B,两点，点P的极坐标为 2 2, 4 ，求 11 |PAPB 的值 （23）（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( )211,( )f xxxg xxaxa （1）解不等式( )9f x ； （2） 12 ,xxRR，使得 12 ()()f xg x，求实数a的取值范围 1 F 2 F B x y N P A O M 5 数学（理科）参考答案数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 题号123456789101112 答案AACBDCDBDBDA 1【解析】依题意得 1,2M ， (0,)N (0,2MN 2【解析】设 i = i (0) 1i a bb ，则i=(1i) i=i abbb，所以 , 1, ab b 解得a=1, 选择 A 3【解析】由题意，末尾是 0，2，4，末尾是 0 时，有 4 个；末尾是 2 时，有 3 个；末尾是 4 时，有 3 个，所以共有 4+3+3=10 个，故 选 C 4【解析】( )f x是R的偶函数，在(,0上是减函数，所以( )f x在0,)上是增函数， 所以 2 (log)2(1)fxf 2 (|log|)(1)fxf 2 |log| 1x 2 log1x或 2 log1x 2x或 1 0 2 x. 答案 B. 5【解析】如图所示，不等式组 012 083 022 yx yx yx 所表示的平面区域为图中阴影部分由 012 083 yx yx 可得 1 3 y x ， 故1, 3 A x y 的几何意义为直线OP的斜率， 故当点P 与点A重合时直线OP的斜率的最小，此时 3 1 OP k 6【解析】函数( )f x不是偶函数， 仍然可,(- )( )xfxf x使，p 为假； ( )|f xx x 2 2 (x0) (x0) x x 在R上都是增函数，q 为假；以 pq 为假，选 C 7 【解析】 因为函数 f(x)和 g(x)的图象的对称轴完全相同， 故 f(x)和 g(x)的周期相同， 所以=2，( )3cos(2) 3 f xx ， 由0, 3 x ， 得2, 33 x ， 根据余弦函数的单调性， 当2 3 x ， 即 3 x 时， f (x)min=3， 当2 33 x ， 即0 x 时， f (x)max= 3 2 ， 所以 f (x)的取值范围是 3 3, 2 ，选择 D. 8【解析】满足条件的四面体如左图，依题意投影到yOz平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图， 故答案选 B 9【解析】设勾为a，则股为a3， 弦为a2，小正方形的边长为aa 3所以图中大正方形的面积为 2 4a，小正方形面积 为 2 2 13a，所以小正方形与大正方形的面积比为 2 3 1 4 13 2 落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约 6 为1341000 2 3 1 10【解析】由知函数 xf在区间84，上为单调递增函数；由知 xfxfxf48，即函数 xf的周期为8， 所以 1182522017fffc， 311ffb；由可知 xf的图象关于直线4x对称，所以 5311fffb， 71ffc；因为函数 xf在区间84，上为单调递增函数，所以 765fff， 即cab 11【解析】本题考查空间几何体的表面积.三棱锥所在长方体的外接球,即三棱锥所在的外接球;所以三棱锥的外接球的直径 ,即三棱锥的外接球的半径 R=5;所以三棱锥的外接球的表面积.选 D. 12【解析】如图 1，不妨设 12 (0, ),(0,)Fc Fc，则过 F1与渐近线 a yx b 平行的直线为 a yxc b ， 联立 , , a yxc b a yx b 解得 , 2 , 2 bc x a c y 即(, ) 22 bc c M a 因 M 在以线段 12 FF为直径的圆 222 xyc内， 故 222 ()( ) 22 bcc c a ，化简得 22 3ba, 即 222 3caa，解得2 c a ，又双曲线离心率 1 c e a ，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2). 选择 A. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 301424015 116)102 ,24( 13 【解析】第一次，i=1，满足条件，i6，i=1+2=3，S=6， 第二次，i=3，满足条件，i6，i=3+2=5，S=6+10=16， 第三次，i=5，满足条件，i6，i=5+2=7，S=16+14=30， 第四次，i=7，不满足条件 i6，程序终止， 输出 S=30，故答案为：30 14 【解析】二项式 6 ) 2 ( x x 展开式的通项公式为 r rr r xCT 2 3 6 61 2 ，令 0 2 3 6r ，求得 4r ，所以二项式 6 () a x x 展开 式中的常数项是 4 6 C24=240 15 【解析】 145cos21 BDADBCBAOAOD 16 【解析】由正弦定理 C c Asinsin 4 ， A c A2sinsin 4 ，Accos8， 由余弦定理Abccbcos1616 22 ，AbAb 222 cos16cos6416 7 16 4 )4(16 )4)(4( 1664 16 cos 2 2 b b bb b b A ，b b Ac416 16 4 64cos64 22 由)64( ，b，4032 2 c，10224c. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17 （本小题满分 12 分） 【解】 （1）设数列 n a的公差为 d（0d） ， 由 148 ,a a a成等比数列可得 2 418 aa a，即)7()3( 11 2 1 daada，得da9 1 4 分 由数列 n a的前 10 项和为 45 得454510 1 da，即454590dd，所以3, 3 1 1 ad 故数列 n a的通项公式为： 3 8 3 1 ) 1(3 n nan8 分 （2）因为 1 1 n nn b a a ) 11 ( 1 1 nn aad ， 所以数列 n b的前n项和为 n T) 11 ( 1 ) 11 () 11 () 11 ( 1 1113221 nnn aadaaaaaad ， 即 n T nndnddddndaad 9 1 9 1 ) 9 1 9 1 ( 1 ) 9 1 9 1 ( 1 ) 11 ( 1 2 11 ， 因此1 1 2 d ，解得公差1d或112 分 18 （本小题满分 12 分） 【解】(1)l在侧面展开图中为 BD 的长，其中 AB = AD = ， l的长为2;3 分 (2)当 2 时，建立如图所示的空间直角坐标系，4 分 则有(0, 1,0)A、(0,1,0)B、( 1,0,) 2 P 、 1( 1,0, ) C，6 分 (0,2,0)AB 、( 1,0,) 2 AP 、 1 ( 1,0, )OC 8 分 设平面 ABP 的法向量为( , , )nx y z ，则 20 0 2 y xyz ，9 分 取 z = 2 得( ,0,2)n ，10 分 所以点 C1到平面 PAB 的距离为 1 2 | | 4 OC n d n ；12 分 x z y AB CD 1 A 1 B 1 C 1 D 1 O O P 8 注：本题也可以使用等积法求解 19 （本小题满分 12 分） 【解】 （1） 22 2 ()100 (20 2040 20) ()()()()60 40 60 40 n adbc K ab cd ac bd 400 400 100 2.7782.706 5760000 4 分 所以有 90% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关”5 分 （2）“xy”包含：“0,1xy”、 “0,2xy”、 “0,3xy”、 “1,2xy”、 “1,3xy”、 “2,3xy”六个互斥事件6 分 且 0312 3342 33 66 4 (0,1) 400 C CC C P xy CC ， 0321 3342 33 66 12 (0,2) 400 C CC C P xy CC 0330 3342 33 66 4 (0,3) 400 C CC C P xy CC ， 1221 3342 33 66 108 (1,2) 400 C CC C P xy CC 1230 3342 33 66 36 (1,3) 400 C CC C P xy CC ， 2130 3342 33 66 36 (2,3) 400 C CC C P xy CC 所以： 4 124 10836362001 () 4004002 P xy 12 分 20 （本小题满分 12 分） 【解】 （1）因为 1 BFx轴，得到点 2 (,) b Bc a ，2 分 所以 2 222 2 2 1 3 ()2 1 a a b b a ac c abc ，所以椭圆C的方程是 22 1 43 xy 5 分 （）因为 1 sin 2 2 (2) 1 12 sin 2 PAM PBN PA PMAPM SPMPM SPNPN PB PNBPN 6 分 所以 2 PMPN 由（）可知(0, 1)P，设MN方程:1ykx， 1122 ( ,),(,)M x yN xy， 联立方程 22 1 1 43 ykx xy 得： 22 (43)880kxkx即得 12 2 12 2 8 43 8 43 k xx k xx k （*） 又 1122 ( ,1),(,1)PMx yPNxy ，有 12 2 xx ，7 分 将 12 2 xx 代入（*）可得： 22 2 (2)16 43 k k 8 分 9 因为 1 2 k ，有 2 2 2 1616 (1,4) 3 43 4 k k k ，9 分 则 2 (2) 14 且2442 3 (没考虑到2扣 1 分) 11 分 综上所述，实数的取值范围为(4,42 3)12 分 注：若考生直接以两个极端位置分析得出答案，只给结果 2 分. 21 （本小题满分 12 分） 【解】 （1）( )f x的定义域为(0)， 2 222 ( )2 xax fxxa xx ，.1 分 令 2 ( )22g xxax， 2 16a ，对称轴 4 a x ，(0)2g， 1)当16 2 a0，即a4 时，)(x f 0 于是，函数( )f x的单调递增区间为(0)，无单调递减区间2 分 2)当16 2 a0，即4a 或4a 时， 若4a ，则( )0fx恒成立,于是，( )f x的单调递增区间为(0)，无减区间3 分 若4a 令( )0fx，得 2 1 16 4 aa x ， 2 2 16 4 aa x ， 当 12 (0)()xxx，时，( )0fx，当 12 ()xxx，时，( )0fx 于是，( )f x的单调递增区间为 1 (0)x，和 2 ()x ，单调递减区间为 12 ()xx，4 分 综上所述：当4a时，( )f x的单调递增区间为(0)，无单调递减区间 当4a 时，( )f x的单调递增区间为 1 (0)x，和 2 ()x ，单调递减区间为 12 ()xx，5 分 （2）由（1）知，若( )f x有两个极值点，则4a ，且 12 0 2 a xx， 12 1x x ， 12 01xx 又 2 11 220 xax， 1 1 1 2()ax x ， 120 2() 3 ea e , 1 1 111 3 3 ex ex ， 又 1 01x， 解 得, 1 11 3 x e 7 分 于是， 22 12121122 2()()()ln()ln2f xf xxxaxxaxx 22 121212 )(2(lnl(n)xxxxxxa 1 1212 2 )2()(ln 2 x xxx a ax x 10 111 11 )4l 11 (n(xxx xx 2 11 2 1 1 4lnxx x 9 分 令 2 2 ( )l 1 4 nh xxx x 11 () 2e x，则 22 3 2(1) ( )0 x h x x 恒成立， ( )h x在 1 1 ( , ) 3 e 单调递减， 11 ( )( )( ) e3 hh xh，即 2 12 2 180 e4()()4ln3 e9 f xf x， 故 12 ()()f xf x的取值范围为 2 2 180 (e44ln3) e9 ，12 分 22.（本小题满分 10 分） 【解】 （1）曲线 1 C的普通方程为4320;xy2 分 曲线 2 C的直角坐标方程为: 2 yx.5 分 （2） 1 C的参数方程的标准形式为 3 2, 5 ( 4 2. 5 xt t yt 为参数)代入 2 yx得 2 9801500,tt6 分 设 12 ,t t是AB、对应的参数,则 121 2 8050 0. 93 ttt t，7 分 12 1 2 |11|8 . | |15 ttPAPB PAPBPAPBt t 10 分 23.（本小题满分 10 分） 【解】 （） 1 3 , 2 1 ( )2, 1, 2 3 ,1. x x f xxx x x 2 分 ( )9f x 等价于 11 1,1, 22 30 3929 xxx x xx 或或3 分 综上,原不等式的解集为 |33.x xx 或5 分 （2）| 2|.xaxaa7 分 由()知 13 ( )( ). 22 f xf 所以 3 2| 2 a ，9 分 实数a的取值范围是 3 3 , . 4 4 10 分