最小生成树和最短路径 数据结构实验(13页).doc
-最小生成树和最短路径 数据结构实验六月 182015姓名：陈斌 学号：E11314079 专业：13计算机科学与技术数据结构 第八次实验学号 E11314079 专业 计算机科学与技术 姓名 陈 斌 实验日期6.18 教师签字 成绩 实 验 报 告【实验名称】 最小生成树和最短路径 【实验目的】 (1) 掌握最小生成树以及最短路径的相关概念；(2) 掌握Prim算法和Kruskal算法；(3) 掌握Dijkstra算法【实验内容】l 采用普里姆算法求最小生成树(1) 编写一个算法，对于教材图7.16(a)所示的无向带权图G采用普里姆算法输出从顶点V1出发的最小生成树。图的存储结构自选。(2) 对于上图，采用克鲁斯卡尔算法输出该图的最小生成树。（提示：a.先对边按权值从小到大排序，得有序边集E；为所有顶点辅设一个数组Vset，标记各顶点所处的连通分量，初始时各不相同。b. 依次从E中取出一条边(i,j)，检查顶点i和j是否属于同一连通分量，如是，则重取下一条边；否则，该边即为生成树的一条边，输出该边，同时将所有与j处于同一连通分量的顶点的Vset值都修改为与i的相同。c.重复b步直至输出n-1条边。）源代码：head.h: #include<string.h>#include<ctype.h>#include<malloc.h> /malloc( )#include<limits.h> / INT ,MAX#include<stdio.h> /EOF,NULL#include<stdlib.h> /atoi( )#include<io.h> /eof( )#include<math.h> /floor( ),ceil( ),abs( )#include<process.h> /exit( )#include<iostream.h> /cout,cin/函数结果状态代码#define TRUE 1#define FALSE 0#define OK 1#define ERROR 0#define INFEASIBLE -1/OVERFLOW 在 math.h 中已定义为3typedef int Status;typedef int Boolean; / 布尔类型main.cpp:#include"head.h"typedef int VRType;typedef char InfoType;#define MAX_NAME 3 /* 顶点字符串的最大长度+1 */#define MAX_INFO 20 /* 相关信息字符串的最大长度+1 */typedef char VertexTypeMAX_NAME;/*图的数组(邻接矩阵)存储表示 */#define INFINITY INT_MAX /* 用整型最大值代替 */#define MAX_VERTEX_NUM 20 /* 最大顶点个数 */typedef enumDG,DN,AG,ANGraphKind; /* 有向图,有向网,无向图,无向网 */typedef structVRType adj; /* 顶点关系类型。对无权图，用1(是)或0(否)表示相邻否； */* 对带权图，c则为权值类型 */InfoType *info; /* 该弧相关信息的指针(可无) */ArcCell,AdjMatrixMAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUM;typedef structVertexType vexsMAX_VERTEX_NUM; /* 顶点向量 */AdjMatrix arcs; /* 邻接矩阵 */int vexnum,arcnum; /* 图的当前顶点数和弧数 */GraphKind kind; /* 图的种类标志 */MGraph; int LocateVex(MGraph G,VertexType u) /* 初始条件:图G存在,u和G中顶点有相同特征 */ /* 操作结果:若G中存在顶点u,则返回该顶点在图中位置;否则返回-1 */ int i; for(i=0;i<G.vexnum;+i) if(strcmp(u,G.vexsi)=0) return i; return -1;Status CreateAN(MGraph &G) /* 采用数组(邻接矩阵)表示法,构造无向网G*/ int i,j,k,w; VertexType va,vb; printf("请输入无向网G的顶点数 边数(用逗号隔开):"); scanf("%d,%d",&G.vexnum,&G.arcnum); printf("请输入%d个顶点的值(<%d个字符;用空格隔开):n",G.vexnum,MAX_NAME); for(i=0;i<G.vexnum;+i) /* 构造顶点向量 */ scanf("%s",G.vexsi); for(i=0;i<G.vexnum;+i) /* 初始化邻接矩阵 */ for(j=0;j<G.vexnum;+j) G.arcsij.adj=INFINITY; /* 网 */ printf("请输入%d条边的顶点1 顶点2 权值(用空格隔开): n",G.arcnum); for(k=0;k<G.arcnum;+k) scanf("%s%s%d%*c",va,vb,&w); /* %*c吃掉回车符 */ i=LocateVex(G,va); j=LocateVex(G,vb); G.arcsij.adj=G.arcsji.adj=w; /* 无向 */ G.kind=AN; return OK;typedef struct /* 记录从顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义 */ VertexType adjvex; VRType lowcost; minsideMAX_VERTEX_NUM; int minimum(minside SZ,MGraph G) /* 求的最小正值 */ int i=0,j,k,min; while(!SZi.lowcost) i+; min=SZi.lowcost; /* 第一个不为0的值 */ k=i; for(j=i+1;j<G.vexnum;j+) if(SZj.lowcost>0) if(min>SZj.lowcost) min=SZj.lowcost; k=j; return k; void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G,VertexType u) /* 用普里姆算法从第u个顶点出发构造网G的最小生成树T,输出T的各条边 算法7.9 */ int i,j,k; minside closedge; k=LocateVex(G,u); for(j=0;j<G.vexnum;+j) /* 辅助数组初始化 */ if(j!=k) strcpy(closedgej.adjvex,u); closedgej.lowcost=G.arcskj.adj; closedgek.lowcost=0; /* 初始,U=u */ printf("最小代价生成树的各条边为:n"); for(i=1;i<G.vexnum;+i) /* 选择其余个顶点 */ k=minimum(closedge,G); /* 求出T的下一个结点：第K顶点 */ printf("(%s-%s)n",closedgek.adjvex,G.vexsk); /* 输出生成树的边 */ closedgek.lowcost=0; /* 第K顶点并入U集 */ for(j=0;j<G.vexnum;+j) if(G.arcskj.adj<closedgej.lowcost) /* 新顶点并入U集后重新选择最小边 */ strcpy(closedgej.adjvex,G.vexsk); closedgej.lowcost=G.arcskj.adj;typedef struct node int va; /边的起始顶点 int vb; /边的终止顶点 int w; /边的权值 Edge;int VsetMAX_VERTEX_NUM;void Initialize(MGraph &G)for(int i=0;i<G.vexnum;i+)Vseti = i;int Sizearray(MGraph G) return 2*G.arcnum-1;void Switch(Edge &b,Edge a) b.va=a.va; b.vb=a.vb; b.w=a.w;void HeapAdjust(Edge a,int low,int high)/建大顶堆int i=low;Edge temp;Switch(temp,ai); /先将堆顶存入tempfor(int j=2*i+1;j<=high;j=2*j+1) if(j<high && aj.w<aj+1.w)/找到其最大的儿子 j+; if(temp.w<aj.w) /若不满足大顶堆条件，则需进行调准 Switch(ai,aj); i=j; else break;Switch(ai,temp); /最后确定ai的位置void Heapsort(Edge a,MGraph G)Edge temp;for(int i=Sizearray(G)/2;i>=0;-i)HeapAdjust(a,i,Sizearray(G);for(i=Sizearray(G);i>0;-i)Switch(temp,a0);Switch(a0,ai);Switch(ai,temp);HeapAdjust(a,0,i-1);void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)Edge EMAX_VERTEX_NUM;int k=0;for (int i=0;i<G.vexnum;i+) for (int j=0;j<G.vexnum;j+) if (G.arcsij.adj!=INFINITY) Ek.va=i; Ek.vb=j; Ek.w=G.arcsij.adj; k+;Heapsort(E,G);Initialize(G); /初始化辅助数组 k=1; /生成的边数，最后要刚好为总边数 int j=0; /E中的下标 printf("最小代价生成树的各条边及相应权值为:n"); while (k<G.vexnum) int sn1=VsetEj.va; int sn2=VsetEj.vb; /得到两顶点属于的集合编号 if (sn1!=sn2) /不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树 printf("(%s-%s):%dn",G.vexsEj.va,G.vexsEj.vb,Ej.w); k+; for (i=0;i<G.vexnum;i+) if (Vseti=sn2) Vseti=sn1; j+; void main()MGraph G;CreateAN(G);cout<<"-普里姆算法输出从顶点V1出发的最小生成树-n"<<endl;MiniSpanTree_PRIM(G,G.vexs0);cout<<"-n"<<endl;cout<<"-克鲁斯卡尔算法输出从顶点V1出发的最小生成树-n"<<endl;MiniSpanTree_Kruskal(G);cout<<"-"<<endl;运行结果： l 采用迪杰斯特拉算法求单源最短路径ecgfadb152125 431086 94编写一个算法，采用迪杰斯特拉算法，输出如下图所示的有向带权图G中从顶点a到其他各顶点的最短路径长度和最短路径。图的存储结构自选。源代码：head.h: #include<string.h>#include<ctype.h>#include<malloc.h> /malloc( )#include<limits.h> / INT ,MAX#include<stdio.h> /EOF,NULL#include<stdlib.h> /atoi( )#include<io.h> /eof( )#include<math.h> /floor( ),ceil( ),abs( )#include<process.h> /exit( )#include<iostream.h> /cout,cin/函数结果状态代码#define TRUE 1#define FALSE 0#define OK 1#define ERROR 0#define INFEASIBLE -1/OVERFLOW 在 math.h 中已定义为3typedef int Status;typedef int Boolean; / 布尔类型main.cpp:#include"head.h"#define MAX_NAME 5 /* 顶点字符串的最大长度+1 */#define MAX_INFO 20 /* 相关信息字符串的最大长度+1 */typedef int VRType;typedef char InfoType;typedef char VertexTypeMAX_NAME;/*图的数组(邻接矩阵)存储表示 */#define INFINITY INT_MAX /* 用整型最大值代替 */#define MAX_VERTEX_NUM 20 /* 最大顶点个数 */typedef enumDG,DN,AG,ANGraphKind; /* 有向图,有向网,无向图,无向网 */typedef structVRType adj; /* 顶点关系类型。对无权图，用1(是)或0(否)表示相邻否； */* 对带权图，c则为权值类型 */InfoType *info; /* 该弧相关信息的指针(可无) */ArcCell,AdjMatrixMAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUM;typedef structVertexType vexsMAX_VERTEX_NUM; /* 顶点向量 */AdjMatrix arcs; /* 邻接矩阵 */int vexnum,arcnum; /* 图的当前顶点数和弧数 */GraphKind kind; /* 图的种类标志 */MGraph;typedef int PathMatrixMAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUM;typedef int ShortPathTableMAX_VERTEX_NUM; int LocateVex(MGraph G,VertexType u) /* 初始条件:图G存在,u和G中顶点有相同特征 */ /* 操作结果:若G中存在顶点u,则返回该顶点在图中位置;否则返回-1 */ int i; for(i=0;i<G.vexnum;+i) if(strcmp(u,G.vexsi)=0) return i; return -1;Status CreateDN(MGraph *G) /* 采用数组(邻接矩阵)表示法,构造有向网G */ int i,j,k,w; VertexType va,vb; printf("请输入有向网G的顶点数,弧数: "); scanf("%d,%d",&(*G).vexnum,&(*G).arcnum); printf("请输入%d个顶点的值(<%d个字符):n",(*G).vexnum,MAX_NAME); for(i=0;i<(*G).vexnum;+i) /* 构造顶点向量 */ scanf("%s",(*G).vexsi); for(i=0;i<(*G).vexnum;+i) /* 初始化邻接矩阵 */ for(j=0;j<(*G).vexnum;+j) (*G).arcsij.adj=INFINITY; /* 网 */ printf("请输入%d条弧的弧尾 弧头 权值(以空格作为间隔): n",(*G).arcnum); for(k=0;k<(*G).arcnum;+k) scanf("%s%s%d%*c",va,vb,&w); /* %*c吃掉回车符 */ i=LocateVex(*G,va); j=LocateVex(*G,vb); (*G).arcsij.adj=w; /* 有向网 */ (*G).kind=DN; return OK; typedef int QElemType; /*单链队列队列的链式存储结构 */ typedef struct QNode QElemType data; struct QNode *next; QNode,*QueuePtr; typedef struct QueuePtr front,rear; /* 队头、队尾指针 */ LinkQueue; LinkQueue Q; Status InitQueue(LinkQueue *Q) /* 构造一个空队列Q */ (*Q).front=(*Q).rear=(QueuePtr)malloc(sizeof(QNode); if(!(*Q).front) exit(OVERFLOW); (*Q).front->next=NULL; return OK; Status QueueEmpty(LinkQueue Q) /* 若Q为空队列,则返回TRUE,否则返回FALSE */ if(Q.front=Q.rear) return TRUE; else return FALSE; Status EnQueue(LinkQueue *Q,QElemType e) /* 插入元素e为Q的新的队尾元素 */ QueuePtr p=(QueuePtr)malloc(sizeof(QNode); if(!p) /* 存储分配失败 */ exit(OVERFLOW); p->data=e; p->next=NULL; (*Q).rear->next=p; (*Q).rear=p; return OK; Status DeQueue(LinkQueue *Q,QElemType *e) /* 若队列不空,删除Q的队头元素,用e返回其值,并返回OK,否则返回ERROR */ QueuePtr p; if(*Q).front=(*Q).rear) return ERROR; p=(*Q).front->next; *e=p->data; (*Q).front->next=p->next; if(*Q).rear=p) (*Q).rear=(*Q).front; free(p); return OK;void ShortestPath_DIJ(MGraph G,int v0,PathMatrix *P,ShortPathTable *D) /* 用Dijkstra算法求有向网G的v0顶点到其余顶点v的最短路径Pv及带权长度 */ /* Dv。若Pvw为TRUE,则w是从v0到v当前求得最短路径上的顶点。 */ /* finalv为TRUE当且仅当vS,即已经求得从v0到v的最短路径 算法7.15 */ int v,w,i,j,min; Status finalMAX_VERTEX_NUM; for(v=0;v<G.vexnum;+v) finalv=FALSE; (*D)v=G.arcsv0v.adj; for(w=0;w<G.vexnum;+w) (*P)vw=FALSE; /* 设空路径 */ if(*D)v<INFINITY) (*P)vv0=TRUE; (*P)vv=TRUE; (*D)v0=0; finalv0=TRUE; /* 初始化,v0顶点属于S集 */ for(i=1;i<G.vexnum;+i) /* 其余个顶点 */ /* 开始主循环,每次求得v0到某个v顶点的最短路径,并加v到S集 */ min=INFINITY; /* 当前所知离v0顶点的最近距离 */ for(w=0;w<G.vexnum;+w) if(!finalw) /* w顶点在V-S中 */ if(*D)w<min) v=w; min=(*D)w; /* w顶点离v0顶点更近 */ finalv=TRUE; /* 离v0顶点最近的v加入S集 */ EnQueue(&Q,v); for(w=0;w<G.vexnum;+w) /* 更新当前最短路径及距离 */ if(!finalw&&min<INFINITY&&G.arcsvw.adj<INFINITY&&(min+G.arcsvw.adj<(*D)w) /* 修改Dw和Pw,wV-S */ (*D)w=min+G.arcsvw.adj; for(j=0;j<G.vexnum;+j) (*P)wj=(*P)vj; (*P)ww=TRUE; void main() InitQueue(&Q); int i,j,e,v0=0; /* v0为源点 */ MGraph g; PathMatrix p; ShortPathTable d; CreateDN(&g); ShortestPath_DIJ(g,v0,&p,&d); printf("最短路径数组pij如下:n"); for(i=0;i<g.vexnum;+i) for(j=0;j<g.vexnum;+j) printf("%2d",pij); printf("n"); printf("%s到各顶点的最短路径长度为：n",g.vexs0); for(i=1;i<g.vexnum;+i) printf("%s-%s:%dn",g.vexs0,g.vexsi,di); int t6;/用来存放最短路径的终点的序号(来自队列Q) for(i=0;i<6;i+) DeQueue(&Q,&ti); printf("%s到各顶点的最短路径为：n",g.vexs0); for(i=1;i<g.vexnum;+i) cout<<g.vexs0<<"-"<<g.vexsi<<"的最短路径为:"<<g.vexs0<<' ' for(j=1;j<g.vexnum;j+) if(pitj-1)cout<<g.vexstj-1<<' ' cout<<endl;运行结果： 【小结或讨论】(1) 通过本次实验，掌握了最小生成树以及最短路径的相关概念，并且会实现Prim算法、Kruskal算法以及Dijkstra算法。(2) 在实现Prim算法时需附设一个辅助数组closedge，以记录从U到V-U具有最小代价的边。(3) 在实现Kruskal算法时为所有顶点附设一个数组Vset，标记各顶点所处的连通分量，还附设了一个结构体变量存放各边的起点、终点和边的权值；在对各边按权值大小进行排序时，采用的是堆排序，初始建的是大顶堆，最终排完序后就是按边权值从小到大的有序序列。排序过程中注意双亲结点和左右孩子结点的序号问题，因为序号是从0开始的，所以结点i的孩子结点是2*i+1。(4) 在实现Dijkstra算法时附设了二维数组P记录从V0到各顶点的最短路径上包含的顶点，用数组D记录各最短路径的长度，此外还附设了一个队列Q，将每次找到的最短路径的终点入队，最后输出最短路径时根据当时入队的顺序依次输出，这里队列可以用一维数组代替，用队列可以更好地体现算法的思想。(5) 从时间复杂度上看，Prim算法的时间复杂度为O(n2)，与边数无关，适用于求边稠密的网的最小生成树；Kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)(e为网中边的数目)，适用于边稀疏的网的最小生成树。Dijkstra算法的时间复杂度为O(n2)。-第 11 页实验报告
