二次函数中寻找等腰三角形问题(13页).doc

-二次函数中寻找等腰三角形问题-第 9 页二次函数中寻找等腰三角形问题1如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线y=经过点C，交y轴于点G,且AGO=30°。(1)点C、D的坐标(2)求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式；(3)将(2)中的抛物线沿直线y=平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E。平移后是否存在这样的抛物线，使EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。3已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线l1、抛物线、直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标：4如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点OP为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；（3）当m0时，探索是否存在点P，使得PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由5已知抛物线yax2bxc（a0）的图象经过点B（14,0）和C（0，8），对称轴为x4（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且ADAC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x1上是否存在点M使MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由6在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；7如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动（点P异于点O）（1）求此抛物线的解析式（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，求证：PF=PR；是否存在点P，使得PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断RSF的形状8在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（1，0） （1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中EDF=90°，DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M 设AE=x，当x为何值时，OCEOBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由9如图1，在RtAOB中，AOB=90°，AO=，ABO=30°动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒在直线OB 上取两点M、N作等边PMN（1）求当等边PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值（2）求等边PMN的边长（用t的代数式表示）；（3）如果取OB的中点D，以OD为边在RtAOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上设等边PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0t2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由10如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为以AC为腰的等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由 参考答案1【解析】（1）根据题意可得点C的纵坐标为3，代入直线解析式可得出点C的横坐标，继而也可得出点D的坐标；（2）由题意可得点C和点D关于抛物线的对称轴对称，从而得出抛物线的对称轴为，再由抛物线的顶点在直线，可得出顶点坐标为()，设出顶点式，代入点C的坐标即可得出答案（3）分EF=EG、GF=EG、GF=EF三种情况分析。解：(1)C(4，)，D(1，)；(2)顶点()，解析式；(3)EF=EG GF=EG GF=EF 3解：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，又OB=3，OA=1，AB=4，点C的坐标是由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x1）（x+3），把C（0，）代入函数解析式得所以，抛物线的函数解析式为；（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF（3）当点M的坐标分别为时， MCK为等腰三角形（i）连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为（2，），又点C的坐标为（0，），则GCAB，可求得AB=BK=4，且ABK=60°，即ABK为正三角形，CGK为正三角形当l2与抛物线交于点G，即l2AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（2，），（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，CKD=30°，易知KDC为等腰三角形，当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（1，），（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，综上所述，当点M的坐标分别为时，MCK为等腰三角形4（1）设y=ax（x4），把A点坐标（3，3）代入得：a=1，函数的解析式为y=x2+4x， 4分（2）0m3，PC=PDCD=m2+3m，=+， 6分10，开口向下，有最大值，当D（，0）时，PCmax=，8分（3）P的坐标是（3，1+2）或（3+，12）或（5，5）或（4，0）12分（3）简单解答过程如下：当0m3时，仅有OC=PC，解得，当m3时，PC=CDPD=m23m，OC=，由勾股定理得：OP2=OD2+DP2=m2+m2（m4）2，当OC=PC时，解得：，当OC=OP时，解得：m1=5，m2=3（舍去），P（5，5）；当PC=OP时，m2（m3）2=m2+m2（m4）2，解得：m=4，P（4，0），存在P的坐标是（3，1+2）或（3+，12）或（5，5）或（4，0）5（1）； （2）存在，理由如下：综上所述：存在5个M点，即6【解析】解：（1）由抛物线过A（3，0），B（1，0），则，解得 。二次函数的关系解析式为。（2）设点P坐标为（m，n），则。连接PO，作PMx轴于M，PNy轴于N。PM =， ，AO=3。当时，所以OC=2。1110，函数有最大值，当时，有最大值。此时。存在点，使ACP的面积最大。 （3）存在。点。7【解析】解：（1）抛物线的顶点为坐标原点，A、D关于抛物线的对称轴对称。E是AB的中点，O是矩形ABCD对角线的交点。又B（2，1），A（2，1）、D（2，1）。抛物线的顶点为（0，0），可设其解析式为：y=ax2，则有：4a=1，a=。抛物线的解析式为：y=x2。（2）证明：由抛物线的解析式知：P（a，a2），而R（a，1）、F（0，1），则：PF=PR=，PF=PR。RF=，若PFR为等边三角形，则由得RF=PF=PR，得：=，即：a48a248=0，得：a2=4（舍去），a2=12。a=±2，a2=3。存在符合条件的P点，坐标为（2，3）、（2，3）。同可证得：QF=QS。在等腰SQF中，1=（180°SQF）。同理，在等腰RPF中，2=（180°RPF）。QSBC、PRBC，QSPR，SQP+RPF=180°。1+2=（360°SQFRPF）=90°SFR=180°12=90°，即SFR是直角三角形。（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式。（2）首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证。首先表示RF的长，若PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可。根据的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么QSF、PRF都是等腰三角形，先用SQF、RPF表示出DFS、RFP的和，用180°减去这个和值即可判断出RSF的形状。8【解析】解：（1）B（3，0），C（0，）。A（1，0）B（3，0）可设过A、B、C三点的抛物线为 。又C（0，）在抛物线上，解得。经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。（2）当OCEOBC时，则。OC=， OE=AEAO=x1， OB=3，。x=2。当x=2时，OCEOBC。存在点P。由可知x=2，OE=1。E（1，0）。 此时，CAE为等边三角形。AEC=A=60°。又CEM=60°， MEB=60°。点C与点M关于抛物线的对称轴对称。C（0，），M（2，）。过M作MNx轴于点N（2，0），MN=。 EN=1。若PEM为等腰三角形，则：)当EP=EM时, EM=2，且点P在直线x=1上，P(1，2)或P（1，2）。）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，P(1，2) 。 ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，P(1，)综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，2）或（1，2）或（1，）时，EPM为等腰三角形。（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。9解：（1）当等边PMN的顶点M运动到与点O重合时，MPAB，A=60°，AP=4，。（2分）（2）AP=，BP=又B=30°，PMB=600°，BPM=90°tanB=，即等边PMN的边长为.（4分）（3）当时，如图AP=，过F作FQ0B于Q，则QN=4，EF=OQ=.等边PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积，设为S1，0，S1随t的增大而增大，t=1时，S1的最大值为.（7分）当t2时，如图在EGK中，GE=，EK=，SGEK=.等边PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积与EGK的面积差，设为S2，对称轴为，时，的最大值为.（9分）当时，。综上可知：当时，S的最大值为.（10分）（4）过R作RHOB于H，RH=，HN=4，OH=，OD=12，DH=，OR=OD=12时，2，不合题意舍去。DR=OD=12时，2，或0，都不合题意舍去。OR=DR时，H为CD中点，OH=6，。综上所述，时，ODR是等腰三角形。（12分）10【解析】（1）二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,1) 解得： b= c=1 (2分)二次函数的解析式为 (1分)（2）设点D的坐标为（m，0）， （0m2） OD=m AD=2-m 由ADEAOC得， DE= (1分)CDE的面积=××m= (2分)当m=1时，CDE的面积最大，此时点D的坐标为（1，0） (1分)（3）存在. 由(1)知：二次函数的解析式为设y=0则 解得：x1=2 x2=1，点B的坐标为（1，0） C（0，1）设直线BC的解析式为：y=kxb 解得：k=-1 b=-1，直线BC的解析式为: y=x1在RtAOC中，AOC=900 OA=2 OC=1，由勾股定理得：AC=点B(1,0) 点C（0，1），OB=OC BCO=450. (1分) 当以点C为顶点且PC=AC=时，设P(k, k1),过点P作PHy轴于H，HCP=BCO=450，CH=PH=k，在RtPCH中k2+k2= 解得k1=， k2=P1（，） P2（，）(3分)以A为顶点，即AC=AP=设P(k, k1),过点P作PGx轴于G，AG=2k GP=k1在RtAPG中 AG2PG2=AP2，（2k)2+(k1)2=5 解得：k1=1,k2=0(舍) P3(1, 2) (3分)（3）AP=CP，此时AP²=CP²2X²-2X+5=2X²-2X=-5，X=2.5代入BC方程，Y=-3.5 因此P4（2.5，-3.5）综上所述，存在四点：P1（，）P2（-，）P3(1, -2) P4(,-).（1）用待定系数法求得二次函数的解析式（2）设点D的坐标为（m，0）， （0m2），由ADEAOC得，从而求得DE的长，通过CDE的面积公式求得当m=1时，CDE的面积最大，即可求出点D的坐标（3）求出直线BC的解析式，若三角形为等腰三角形，则有三种可能，利用勾股定理从而求得P点的坐标