反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析(7页).doc

-反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析-第 7 页反比例函数与一次函数综合经典例题解析  在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。一. 探求同一坐标系下的图象例1. 已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 分析：由图知，一次函数中，y随x的增大而增大，所以；反比例函数 在第二、四象限，所以。观察各选项知，应选B。评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。例2.在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）A. B. C. D.图2分析：本题可采用排除法。由选项A、B的一次函数图象知，即，则一次函数图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项A、B都不符合要求，故都排除；由选项D的一次图象知，即，则反比例函数图象应在第一、三象限，而选项D不符合要求，故也排除；所以本题应选C。评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。二. 探求函数解析式例3.如图3，直线与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴，y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。解析：因为双曲线过点A（1，2），所以得双曲线的解析式为。因为AD垂直平分OB，A点的坐标为（1，2）。所以B点的坐标为（2，0）。因为过点A（1，2）和B（2，0），所以解得所以直线的解析式为评注：解决本题的关键是确定点B的坐标，由AD垂直OB知，点D和点A的横坐标应相同，所以点D的坐标为（1，0），又AD平分OB知，所以点B坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式。三. 探求三角形面积例4.如图4，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则的面积为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2解析：把代入，得整理得解得把分别代入得所以点A的坐标为点B的坐标为由题意知，点C的横坐标与点A的横坐标相同，点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，所以点C的坐标为（）。因为，所以的面积为故应选A。例5.如图5，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么的面积为（ ）A. 2B. C. D. 析解：把代入，得，整理得，解得得分别代入得又点A在第一象限内，所以点A的坐标为在中由勾股定理，得所以OB=2。所以的面积为故应选（C）评注：例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。四. 探求点的坐标例6.如图6，直线分别交x轴、y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线 在第一象限内的交点，轴，垂足为点B，的面积为4。（1）求点P的坐标；（2）略。析解：在中，令，则；令，则。所以点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1）。因为点P的直线上，不妨设点P的坐标为所以。又因为所以整理得即解得因为点P在第一象限，所以。故点P的坐标为（2，2）。评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。五、综合运用例6 已知关于x的一次函数ymx3n和反比例函数的图象都经过点(1，2)求：(1)一次函数和反比例函数的解析式；(2)两个函数图象的另一个交点的坐标解析：(1)两函数图象都过点(1，2)，一次函数的解析式为y4x6，(2)根据题意，列出方程组评注：(1，2)，则该点坐标满足两解析式；要求两图象交点，则应由两图象的解析式组成方程组求解例已知一次函数和反比例函数7 yx6y(k0)kx(1)k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？(2)设(1)中的两个公共点为A，B，试判断AOB是锐角还是钝角？消去y，得x26xk0364k0，k9当k9且k0时，方程x26xk0有两个不相等的非零实数解k9且k0时，两函数图象有两个公共点(2)yx6的图象过第一，二，四象限，0k9时，双曲线两支分别在第一、三象限由此知两公共点A，B在第一象限，此时AOB是锐角k0时，双曲线两支分别在第二，四象限，两公共点A，B分别在第二、四象限，此时AOB是钝角例已知，是直线与双曲线的交点8 A(m2)ly3x(1)求m的值；(2)若直线l分别与x轴、y轴相交于E，F两点，并且RtOEF(O是坐标原点)的外心为点A，试确定直线l的解析式；l绕点A旋转后所得的直线记为l，若l与y轴的正半轴相交于点C，若存在，请求出点P的坐标？若不存在，请说明理由解析：直线与双曲线的一个交点为，yA(m2)l3x(2)作AMx轴于MA点是RtOEF的外心，EAFA由AMy轴有OMMEOF2OMMA2，OF4F点的坐标为(0，4)设l：ykxb，则有C点坐标为(0，1)设B点坐标为(x1，y1，)，则x1y13设P点坐标为(0，y)，满足SPCASBOK当点P在C点上方时，y1，有y3当点P在C点下方时，y1，有y2综上知，在y轴存在点P(0，3)与(0，2)，使得SPACSBOK评注：直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意：(1)交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲线的解析式(2)要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标(3)判断两种图象有无交点时，可用判别式确定，也可以画出草图直观地确定例如图，已知，是双曲线在第一象限内的分支91332CDymx上的两点，直线CD分别交x轴，y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，连结OC，OD析式证明：(1)如图1333过点C作CGx轴，垂足为G，则CGy1，OGx1在RtOCG中，CGOCCGOG，解(2)：在RtGCO中，GCOBOC，解之，得x1±1负值不合题意，x11，y13点C的坐标为(1，3)，过点D作DHx轴，垂足为H则DHy2，OHx2解之得y2±1负值不合题意，y21，x23点D的坐标为(3，1)设直线CD的解析式为ykxb直线CD的解析式为yx4