椭圆知识点总结及经典习题练习(7页).doc
-椭圆知识点总结及经典习题练习-第 7 页第二部分 圆锥曲线（一）-椭圆知识点一：1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆即：。注意：若，则动点的轨迹为线段；这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距2、椭圆的几何性质： 标准方程 图形性质焦点，焦距 范围，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，轴长长轴长=，短轴长= 离心率准线方程焦半径，注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有和；3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ， 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；（2）；（3）；规律方法： 1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2椭圆标准方程中的三个量的几何意义椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，且。可借助右图理解记忆： 显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4方程是表示椭圆的条件方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。5求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。7如何求解与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、之间的关系. 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，用表示为。显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。（二）椭圆练习题一、选择题1、与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是 ( )(A) 2、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为 ( )(A) (B) (C) (D)或3、椭圆中,F1、F2为左、右焦点,A为短轴一端点,弦AB过左焦点F1,则ABF2的面积为 ( )（A）3 （B） （C） （D）44、方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m< (C)<m<25 (D)m> 5、已知椭圆的离心率e=，则m的值为 ( )(A)3 (B)3或 (C) (D)或 6、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的 ( )(A)倍 (B)2倍 (C)倍 (D)倍7、椭圆ax2by2ab=0(a<b<0)的焦点坐标为 ( )(A)(0，±) (B)(±，0) (C)(0，±) (D)(±，0) 8、椭圆x2+4y2=1的离心率为 ( ) (A) 9、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e= ( )(A) (B) (C) (D) 10、曲线与曲线(m<9)一定有 ( )(A)相等的长轴长 (B)相等的焦距 (C)相等的离心率 (D)相同的准线二、填空题11.(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为9，离心率为的椭圆的方程为_；(2)对称轴是坐标轴,离心率等于，且过点(2，0)的椭圆的方程是_12.(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是_；(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是_13.已知椭圆=1的焦距为4，则这个椭圆的焦点在_轴上，坐标是_14.已知椭圆的离率为，则m= 三、解答题15、求椭圆的内接矩形面积的最大值16已知圆，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段，求线段的中点M的轨迹.17ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程.18. （本小题满分15分）已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； （2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且，求直线l的方程.
