初中数学论文：从近几年中考数学应用题的特点谈“增长率问题”的复习策略(6页).doc

-初中数学论文：从近几年中考数学应用题的特点谈“增长率问题”的复习策略-第 6 页挖掘教材 超越教材从近几年中考数学应用题的特点谈“增长率问题”的复习策略阅览了近几年初中毕业学业考试数学试题卷，发现应用题选择“增长率”作为考点较多，从命题的立意、素材的选取、试题的呈现方式、解决问题的方法等方面揭示了试题的命题特点。本文拟结合中考第二轮复习，以复习“增长率问题”作为呈现的教学个案，供同行教学参考。一 挖掘教材，夯实基础知识，掌握知识模型1 “增长率”在教材中呈现的形式增长率问题在教材中均渗透在“一元二次方程”应用教学中，教材中“增长率”呈现两种模型，一种是同一个数量中，经过一次增长（降低）的增长率（降低率）问题，其数学本质是a(1±)=b，其中a为原始状态的数量（起始数），b为经过一次变化（增长、降低）后的最终状态的数量（终端数），为经过一次增长（降低）的百分率；另一种是同一数量经过两次增长（降低）的问题。同一个数量经过一次增长（降低）为a(1±)=b，在一次增长（降低）后再以相同的百分率增长（降低）一次，那么就有a(1±)2=b，这里a 为原始状态数量（起始数），b为最终状态数量（终端数），为增长（降低）过程中的相同增长（降低）的百分率。2 案例呈现例1（2005年重庆中考题） 受国际油价上涨的影响，某地2005年4月份93号的汽油价格是每升3.8元，5月份93号的汽油价格是每升3. 99元，则45月份93号油价上涨的百分数是 。解：此题“起始数”a是3.8元，“终端数”b是3.99元上涨的百分率，根据a(1+)=b，得3.8(1+)=3.99，=0.05例2 某农场去年种植的棉花总产量为20000kg，根据市场需求，计划将3年的累计总产量提高到140000kg，求今、明两年的平均增长率。剖析：此题若设平均增长率为，则今年的总产量为20000（1+）kg，明年的总产量为20000(1+)2kg，故这三年的累计总产量为20000+20000（1+）+20000 (1+)2kg，所以有方程20000+20000（1+）+20000 (1+)2=140000，解得今明两年的平均增长率为100%， 注意：不能错误地将方程列为20000 (1+)2=140000，这里的140000是3年的总产量的和，而非“终端数”。例3 （2010年安徽省中考题） 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2。（1）问4，5两月平均每月降价的百分率约是多少（参考数据：0.95）（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由。解：（1）设4，5两月平均每月降价的百分率为，根据题意，得 14000（1-）2=12600化简，得（1-）2=0.9解得10.05 , 21.95（不合题意，舍去）因此，4，5两月平均每月降价的百分率为5%。（2）如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为12600（1-）2=12600×0.9=1134010000由此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m2例4（2007安徽省中考题） 据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率（取 1.41）解：此题把每年秸杆总量设为“1”，则此题“起始数”a是1×30%，“终端数”b是1×60%，设增长率，根据a(1+)2=b，得1×30% (1+)2=1×60% ，=40%二 超越教材，提升学生思维，拓展课堂空间在上述增长率、平均增长率的问题中，研究的是一个数量的变化，即某一个数量经过一次变化a（1+）=b或经过两次相同变化a(1±)2=b的问题，而增长率问题往往还涉及到不同数量的增长问题，对于这类问题该如何解决，这就要求教师创造性的使用教材，拓展教材内容，进一步提升学生对增长率问题本质的理解。1 增长率的一般定义如果某种量原数量为a，经过一段时间后增长（或减少）到b，那么ba与a的比率叫做这段时间内该量的增长率，即%=。2 非平均增长率问题非平均增长率问题。当n（n2）次的增长率不相同，应对每次的增长率情况分别予以考虑，还要注意上一次增长的现有量，往往是下一次增长的基础量。假设第1，2，n次增长率分别为1，2，n时，n次增长后的产量为a（1+1）（1+2）（1+n）。3 案例呈现例5 （2009年安徽省中考题） 某市2008年国内生产总值（GDP）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2009年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是（ ）（A）12%+7%=% ， （B）（1+12%）（1+7%）=2（1+%），（C）12%+7%=2% ， （D）（1+12%）（1+7%）=（1+%）2。解：设2007年的GDP为a，2008年的GDP为b，2009年的GDP为C，则=12%，即b=a（1+12%），=7%，即C=b（1+7%），C=a（1+12%）（1+7%），2007年的GDP为a，若这两年的GDP年平均增长率为%，c=a（1+%）2，（1+12%）（1+7%）=（1+%）2，故选（D）。例6（2008年安徽省中考题）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%，求这个月的石油价格相对于上个月的增长率。解：设上个月的石油进口量为a，石油的费用为b，则上个月的石油价格为；这个月的石油进口量为a（1 - 5%），石油的费用为b（1+14%），则这个月的石油价格为。所以这个月的石油价格相对于上个月的增长率为：答：这个月的石油价格相对于上个月的增长率为20%。注：此题也可以这样解析，进口石油的费用等于石油的进口价格与石油的进口量的积，若设这个月的石油价格相对于上个月的增长率为，则有a（1+）·b（15%）=ab（1+14%）。例7 （1995年浙江省中考题） 某公司的年利润由1992年的1000万元，增加到1994年的1320万元，已知1993年年利润比上一年增长的百分率是1994年年利润比上一年增长百分率的，问1993年和1994年的年利润分别比上一年增加了百分之几？ 解：设1993年的年利润比上一年增长的百分率是，则1994年的年利润比上一年增长的百分率是2，由题意，得1000（1+）（1+2）=1320，22+30.32=0，解得1=0.1，2=1.6（不合题意，舍去）答：1993年和1994年的年利润分别比上一年增加了10%和20%。三 教学中应注意的几个问题1 根据上述定义，“增长率”不一定是表示增长，当ba时，增长率小于零，就表示实际上量是减少的。2 增长率是对一段时间内量的变化而言的，这段时间若为1个月，那么就称为月增长率，若这段时间为1年，那么就称为年增长率。3 平均月增长率、平均年增长率与一般增长率的联系和区别。例如：一月份的产量为a，二月份的产量为b，三月份的产量为c，那么：一至二月份的增长率是k1=；二至三月份的增长率是k2=；一至三月份的增长率是k3=。但是，月产量一至三月份的平均月增长率，应当用下列方法求得。假设月产量的每月增长率都为，则二月份的产量为a（1+），（注意：a（1+）不一定会等于二月份的实际月产量b）。三月份的产量为a（1+）（1+）=a（1+）2，它应当等于三月份的实际产量a（1+）2 =c。= - 1±（正负号根据实际意义决定取舍）这样求得的值才是一至三月份产量的平均月增长率。四 巩固练习1、（2010年乌鲁木齐中考题） 2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越发展和长治久安，作出了重要战略决策部署。为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元。（1）求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的平均增长率；（2）若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元。2、（2009广东省汕头市） 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？3、（2007年青海省西宁中考题）某商品连续两次降价10%后价格为a元，则该商品的原价为（ ）（A）， （B）1.12a元， （C） ，（D）0.81a元。4、商店经销一种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8%，那么原来经销这种商品的利润率是多少？提示：设原来的进货价为，售出价为y，则原来的利润率为×100%，降低后进货价为（16.4%），售出价仍为y，则现在的利润率为×100% ×100%=8%，解得：，5、（2007年南京中考题） 某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产量的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率。提示：设南瓜亩产量的增长率为，则种植面积的增长率为2，今年南瓜种植面积为10（1+2）；今年南瓜亩产量为2000（1+）；由题意，得 10（1+2）·2000（1+）=600006、小明将1000元压岁钱先存一个一年定期，一年后将本息自动转存到另一个一年定期，但此时一年定期存款的年利率已做了下调，仅为前一个一年定期利率的80%，结果两年后共得本息和1054.72元，若设前一个一年定期存款的年利率为，则所列方程为（ ）（A）1000（1+）2=1054.72 （B）1000（1+80%）2=1054.72（C）1000（1+）（1+80%）=1054.72 （D）1000（1+）+1000（1+80%）=1054.72提示：由题意可知两个一年定期的年利率不相同，前一个一年定期存款中，增长率为，基础量为1000元，则现有量为1000（1+）；在后一个一年定期存款中，增长率为80%，基础量则为1000（1+）元，现有量1054.72元。由此可列出方程1000（1+）（1+80%）=1054.72，故选（C）。7、（第六届“希望杯”培训题） 某种商品的平均价格在一月份上调了10%，二月份下降了10%，三月份又上调了10%，则这种商品从原价到三月底的价格上升了（ ）（A）10% （B）9.9% （C）8.5% （D）8.9%提示：设某种商品的平均价格为a，一月份上调10%后售价为a（1+10%），二月份下降了10%，售价为a（1+10%）（110%），三月份又上调了10%，售价为a（1+10%）（110%）（1+10%），比原价上升了 ， 故选（D）。