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-离散数学考试题详细答案-第 7 页离散数学 考试题(后附详细答案)一、 命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1. 用命题逻辑把下列命题符号化a) 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（ØPQ）Ù(PRÚS)b) 我今天进城，除非下雨。设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：ØQP或ØPQc) 仅当你走，我将留下。设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： QP2. 用谓词逻辑把下列命题符号化a) 有些实数不是有理数设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：$x(R(x) ÙØQ(x) 或 Ø"x(R(x) Q(x)b) 对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为： "x(R(x) ÙØE(x,0) $y(R(y) ÙE(f(x,y),1)c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个aA存在唯一的bB，使得f(a)=b.设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“xA”, B(x)表示“xB”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)"a(A(a)$b(B(b) Ù E(f(a),b) Ù "c(S(c) Ù E(f(a),c) E(a,b)二、 简答题（共6道题，共32分）1. 求命题公式(P(QR)«(R(QP)的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。（5分）(P(QR)«(R(QP)Û（ØPÚØQÚR）«(PÚØQÚØR) Û(（ØPÚØQÚR）(PÚØQÚØR) Ù (PÚØQÚØR) （ØPÚØQÚR）).Û(（PÙQÙØR）Ú (PÚØQÚØR) Ù (ØPÙQÙR) Ú（ØPÚØQÚR）)Û(PÚØQÚØR) Ù(ØPÚØQÚR) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为（ØPÙØQÙØR)Ú（ØPÙØQÙR)Ú（ØPÙQÙØR)Ú（PÙØQÙØR)Ú（PÙØQÙR)Ú（PÙQÙR)2. 设个体域为1,2,3，求下列命题的真值（4分）a) "x$y(x+y=4)b) $y"x (x+y=4)a) T b) F3. 求"x(F(x)G(x)($xF(x)$xG(x)的前束范式。（4分）"x(F(x)G(x)($xF(x)$xG(x) Û"x(F(x)G(x)($yF(y)$zG(z) Û"x(F(x)G(x)"y$z(F(y)G(z) Û$x"y$z(F(x)G(x) (F(y)G(z)4. 判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分）a) （AÈB）C=(A-B) È(A-C)b) 若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|B|a) 真命题。因为（AÈB）C=（AÈB）ÇC=（AÇC）È（BÇC）=（A-C）È（B-C）b) 真命题。因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranfÍB,故命题成立。5. 设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a) A上有多少种不同的等价关系？b) 从A到A的不同双射函数有多少个？a) 52 b) 5!=1206. 设有偏序集<A,>，其哈斯图如图1，求子集B=b,d,e的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g d e b c图1B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是g、下界集合是a,b、上确界是g、下确界是b.7. 已知有限集S=a1,a2,an,N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,Nn;P(N);R,R×R,o,1N（写出即可）(6分)KS=n; KP(S)=; KN=À0,KNn=À0, KP(N)=À KR=À, K=R×R= À,K0,1N= À三、 证明题（共3小题，共计40分）1. 使用构造性证明，证明下面推理的有效性。（每小题5分，共10分）a) A(BC),(EØF)ØC, B(AØS)ÞBEb) "x(P(x)ØQ(x), "x(Q(x)R(x)，$xØR(x) Þ$xØP(x)a) 证 （1）B P(附加条件) （2）B(AØS) P (3) AØS T(1)(2) I (4) A T(3) I (5) A(BC) P (6) BC T(4)(5) I (7) C T(6) I (8) (EØF)ØC P (9) Ø(EØF) T(7)(8) I (10) EF T(9) E (11) E T(10) I (12) BE CPb) 证 (1) $xØR(x) P (2) ØR(c) ES(1) (3) "x(Q(x)R(x) P (4) Q(c)R(c) US(3) (5) Q(c) T(2)(4) I (6) "x(P(x)ØQ(x) P (7) P(c)ØQ(c) US(6) (8) ØP(c) T(5)(7) I (9) $xØP(x) EG(8)2. 设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，AÆ且BÆ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>R，当且仅当< x1, x2>R1且<y1,y2>R2。试证明：R是A×B上的等价关系。（10分）证 任取<x,y>,<x,y>A×BÞxAÙ yBÞ<x,x>R1Ù<y,y>R2Þ<<x,y>,<x,y>>R，故R是自反的任取<<x,y>,<u,v>>,<<x,y>,<u,v>>RÞ<x,u>R1Ù<y,v>R2Þ<u,x>R1Ù<v,y>R2Þ<<u,v>,<x,y>>R.故R是对称的。任取<<x,y>,<u,v>>,<<u,v>,<s,t>>R<<x,y>,<u,v>>,<<u,v>,<s,t>>RÞ<x,u>R1Ù<y,v>R2Ù<u,s>R1Ù<v,t>R2Þ(<x,u>R1Ù<u,s>R1)Ù(<y,v>R2Ù<v,t>R2)Þ<x,s> R1Ù<y,t>R2Þ<<x,y>,<s,t>>R, 故R是传递的。综上所述R是A×B上的等价关系。3. 用伯恩斯坦定理证明（0,1和(a,b)等势。（10分）证 构造函数f：（0,1(a,b)，f(x)=,显然f是入射函数 构造函数g: (a,b)（0,1，,显然g是入射函数， 故（0,1和(a,b)等势。由于，所以4. 设R是集合A上的等价关系，A的元素个数为n，R作为集合有s个元素，若A关于R的商集A/R有r个元素，证明：rsn2。（10分）证 设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,mr，由于一个划分对应一个等价关系，m1+m2+mr=n， 由于（r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的平方），所以，即四、 应用题（10分）在一个道路上连接有8个城市，分别标记为a,b,c,d,e,f,g,h。城市之间的直接连接的道路是单向的，有ab, ac, bg, gb, cf, fe, bd, df.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。解 把8个城市作为集合A的元素，即A=a,b,c,d,e,f,g,h，在A上定义二元关系R，<x,y>R当且仅当从x到y有直接连接的道路，即R=<a,b>,<a,c>,<b,g>,<g,b>,<c,f>,<f,e>,<b,d>,<d,f>那么该问题即变为求R的传递闭包。利用Warshal算法，求得t(R)=那么从城市x出发能到达的城市为，故有离散数学 考试题答案一、 命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1. 用命题逻辑把下列命题符号化a) 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（ØPQ）Ù(PRÚS)b) 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：ØQP或ØPQc) 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： QP2. 用谓词逻辑把下列命题符号化a) 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：$x(R(x) ÙØQ(x) 或 Ø"x(R(x) Q(x)b) 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为： "x(R(x) ÙØE(x,0) $y(R(y) ÙE(f(x,y),1)c) 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“xA”, B(x)表示“xB”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)"a(A(a)$b(B(b) Ù E(f(a),b) Ù "c(S(c) Ù E(f(a),c) E(a,b)二、 简答题（共6道题，共32分）1. (P(QR)«(R(QP)Û（ØPÚØQÚR）«(PÚØQÚØR) Û(（ØPÚØQÚR）(PÚØQÚØR) Ù (PÚØQÚØR) （ØPÚØQÚR）).Û(（PÙQÙØR）Ú (PÚØQÚØR) Ù (ØPÙQÙR) Ú（ØPÚØQÚR）)Û(PÚØQÚØR) Ù(ØPÚØQÚR) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为（ØPÙØQÙØR)Ú（ØPÙØQÙR)Ú（ØPÙQÙØR)Ú（PÙØQÙØR)Ú（PÙØQÙR)Ú（PÙQÙR)2. a) T b) F3. "x(F(x)G(x)($xF(x)$xG(x) Û"x(F(x)G(x)($yF(y)$zG(z) Û"x(F(x)G(x)"y$z(F(y)G(z) Û$x"y$z(F(x)G(x) (F(y)G(z)4. a) 真命题。因为（AÈB）C=（AÈB）ÇC=（AÇC）È（BÇC）=（A-C）È（B-C）b) 真命题。因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranfÍB,故命题成立。5. a) 52 b) 5!=1206. B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是g、下界集合是a,b、上确界是g、下确界是b.7. KS=n; KP(S)=; KN=À0,KNn=À0, KP(N)=À KR=À, K=R×R= À,K0,1N= À三、 证明题（共3小题，共计40分）1. a) 证 （1）B P(附加条件) （2）B(AØS) P (3) AØS T(1)(2) I (4) A T(3) I (5) A(BC) P (6) BC T(4)(5) I (7) C T(6) I (8) (EØF)ØC P (9) Ø(EØF) T(7)(8) I (10) EF T(9) E (11) E T(10) I (12) BE CPb) 证 (1) $xØR(x) P (2) ØR(c) ES(1) (3) "x(Q(x)R(x) P (4) Q(c)R(c) US(3) (5) Q(c) T(2)(4) I (6) "x(P(x)ØQ(x) P (7) P(c)ØQ(c) US(6) (8) ØP(c) T(5)(7) I (9) $xØP(x) EG(8)2. 证 任取<x,y>,<x,y>A×BÞxAÙ yBÞ<x,x>R1Ù<y,y>R2Þ<<x,y>,<x,y>>R，故R是自反的任取<<x,y>,<u,v>>,<<x,y>,<u,v>>RÞ<x,u>R1Ù<y,v>R2Þ<u,x>R1Ù<v,y>R2Þ<<u,v>,<x,y>>R.故R是对称的。任取<<x,y>,<u,v>>,<<u,v>,<s,t>>R<<x,y>,<u,v>>,<<u,v>,<s,t>>RÞ<x,u>R1Ù<y,v>R2Ù<u,s>R1Ù<v,t>R2Þ(<x,u>R1Ù<u,s>R1)Ù(<y,v>R2Ù<v,t>R2)Þ<x,s> R1Ù<y,t>R2Þ<<x,y>,<s,t>>R, 故R是传递的。综上所述R是A×B上的等价关系。3. 证 构造函数f：（0,1(a,b)，f(x)=,显然f是入射函数 构造函数g: (a,b)（0,1，,显然g是入射函数， 故（0,1和(a,b)等势。由于，所以4. 证 设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,mr，由于一个划分对应一个等价关系，m1+m2+mr=n， 由于（r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的平方），所以，即四、 应用题（10分）解 把8个城市作为集合A的元素，即A=a,b,c,d,e,f,g,h，在A上定义二元关系R，<x,y>R当且仅当从x到y有直接连接的道路，即R=<a,b>,<a,c>,<b,g>,<g,b>,<c,f>,<f,e>,<b,d>,<d,f>那么该问题即变为求R的传递闭包。利用Warshal算法，求得t(R)=那么从城市x出发能到达的城市为，故有
