小学奥数周期性问题试题专项练习(7页).doc

-小学奥数周期性问题试题专项练习-第 7 页小学奥数周期性问题试题专项练习一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期_2（3分）黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中，最后一颗珠子应该是_色的，这种颜色的珠子在这串中共有_颗3（3分）流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，继续下去第1993个小珠的颜色是_色4（3分）把珠子一个一个地如图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中第1992粒珠子投在_袋中5（3分）将数列1，4，7，10，13依次如图排列成6行，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349应排在第_行第_列6（3分）分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是_7（3分）化成小数后，小数点后面1993位上的数字是_8（3分）在一个循环小数0.1234567中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5，那么表示循环节的两个小圆点，应分别在_和_这两个数字上9（3分）1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是_10（3分）算式（367367+762762）×123123的得数的尾数是_二、解答题（共4小题，满分0分）11乘积1×2×3×4××1990×1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？12有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的 恰好是第二个数的 ，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？13表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会），那么第340组是_14甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为_厘米小学奥数周期性问题试题专项练习（一）参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期五考点：日期和时间的推算1923992分析：在这十年中有3个闰年，所以这10年的总天数是365×10+3，365被7除余1，所以总天数被7除的余数是137=6，因此10年后的1月18日是星期五解答：解：（365×10+3）÷7=3653÷7=521（星期）6（天），因此10年后的1月18日是星期五故答案为：五点评：考查了日期和时间的推算，本题得到从1992年1月18日起再过十年的1月18日的总天数是关键，同时还考查了星期几是7天一个循环2（3分）黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中，最后一颗珠子应该是黑色的，这种颜色的珠子在这串中共有26颗考点：周期性问题1923992分析：根据图示可知，若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三白”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4，由此即可得出答案解答：解：因为，（1021）÷4，=101÷4，=251，所以，最后一颗珠子是黑色的又因为，1×25+1=26（颗），所以，这种颜色的珠子在这串中共有26颗；故答案为：黑，26点评：解答此题的关键是，根据图示，找出珠子排列的周期数，由此即可解答3（3分）流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，继续下去第1993个小珠的颜色是黑色考点：周期性问题1923992分析：小木球是依次按5红，4黄，3绿，2黑和1白的规律涂色的，把它看成周期性问题，每个周期为15由1993÷15=13213，所以第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色解答：解：5+4+3+2+1=15，1993÷15=13213，所以第1993个小球是第133周期中第13个，应该与第一周期的第13个小球颜色相同，是黑色答：第1993个小珠的颜色是黑色故答案为：黑点评：此题关键是找出周期的规律，然后利用除法算式得出小球是第几周期的第几个，与第一周期的颜色对比即可得出4（3分）把珠子一个一个地如图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中第1992粒珠子投在B袋中考点：周期性问题1923992分析：根据题干，可以将已知图形化出分析示意图如下：这样就把这个题目转变成了一个数字排列的问题，由上图中的数字排列可以看出：右边为第一列，下边为第一行，从1开始依次排列；其规律是：每10个数字为一个周期，这10个数字分别所在的列数依次为ABCDEFEDCB；由此规律，只要求出1992是第几周期的第几个数字，即可得出答案解答：解：根据题干分析可得：上述数字的排列规律为：每10个数字为一个周期，这10个数字分别所在的列数依次为ABCDEFEDCB；1992÷10=1992，所以1992是第200个周期的第二个数字，与第一周期的第二个数字相同，即是B答：第1992粒珠子投在B袋中故答案为：B点评：此题抓住投珠子的方法，把这个实际操作的问题转化成一个单纯的数字问题，可以使分析简洁明了5（3分）将数列1，4，7，10，13依次如图排列成6行，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349应排在第24行第4列考点：周期性问题1923992分析：为了分析方便，把列数从左到右依次排列为1、2、3、4、5、6，如上图；根据题干可得：此题是一个等差数列，公差是3；从排列可以看出，两行为一个周期，即10个数为一个周期，位置分别在的列数为：2、3、4、5、6、5、4、3、2、1；所以只要求出349是这个数列中的第几个数，在第几周期的第几个数字即可得出答案解答：解：根据题干分析可得：（3491）÷3+1=117，所以349是这列数中的第117个数117÷10=117，所以这个数是第12周期的第7个数字，那么这个数是第1周期的第二行，所以这个数在第12×2=24行，与第一周期的第7个数字位置相同即：在第4列，答：数列中的数349应排在第24行第4列故答案为：24；4点评：此题要从两个方面考虑周期行数，两行一周期，列数，即10个数字依次排列的列数6（3分）分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是6考点：周期性问题1923992分析：=，很显然小数点后面的数字循环周期是6，由此只要得出1993在第几周期的第几个数字即可解决问题解答：解：=，它的循环周期是6，因为1993÷6=3321，即在第333周期的第一个数字，与第一周期的第一个数字相同，是6故答案案为：6点评：此题抓住的循环节，即可解决问题7（3分）化成小数后，小数点后面1993位上的数字是7考点：周期性问题1923992分析：题目要求“小数点后面1993位上的数字是多少”，所以就要从化成小数后寻找规律解答：解：=从小数点后面第二位开始，它的循环周期是6，因为（19931）÷6=332，则循环节“142857”恰好重复出现332次所以小数点后面第1993位上的数字是7故答案为：7点评：此题考查了小数化分数的方法以及对循环节的掌握情况，同时培养学生寻找规律的能力8（3分）在一个循环小数0.1234567中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5，那么表示循环节的两个小圆点，应分别在3和7这两个数字上考点：循环小数及其分类1923992分析：表示循环小数的两个小圆点中，后一个小圆点显然应加在7的上面，且数字“5”肯定包含在循环节中，然后分情况讨论前一个循环节的点应放在哪解答：解：后一个小圆点应加在7上；前一个小圆点的情况：（1）设前一个小圆点加在“5”的上面，这时循环周期是3，（1004）÷3=32，第100位数字是7（2）设前一个小圆点加在“4”的上面，这时循环周期是4，（1003）÷4=241，第100位数字是4（3）设前一个小圆点加在“3”的上面，这时的循环周期是5，（1002）÷5=193，第100位数字正好是5故答案为：3，7点评：容易看出后一个小圆点应加在7的上面，但前一个圆点应加在哪个数字上，一下子难以确定，怎么办？唯一的办法就是“试”因为循环节肯定要包含5，就从数字5开始试逐步向前移动，直到成功为止这就像我们在迷宫中行走，不知道该走哪条道才能走出迷宫，唯一的办法就是探索：先试一试这条，再试一试那条9（3分）1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是2考点：周期性问题；乘积的个位数1923992分析：根据题干，要求它们的连乘积的个位数字，可以先求出它们各自的乘积的个位数字是几，由特例不难归纳出：（1）9的连乘积的个位数字按9，1循环出现，周期为2；（2）8的连乘积的个位数字按8，4，2，6循环出现，周期为4；（3）7的连乘积的个位数字按7，9，3，1循环出现，周期为4由此即可解决问题解答：解：根据上述分析可以得出1991个9的乘积个位数字、1990个8的乘积个位数字、1989个7的个位数字分别为：（1）因为1991÷2=9951，所以1991个9的连乘积的个位数字是第996周期的第一个数，与第一周期的第一个数字相同即是9；（2）因为1990÷4=4972，所以1990个8的连乘积的个位数字是第498周期的第二个数字，与第一周期的第一个数字相同即是4；（3）因为1989÷4=4971，所以1989个7的连乘积的个位数字是第498周期的第一个数字，与第一周期的第一个数字相同即是7所以，9×4×7=252，即1991个9与1990个8与1989年7的连乘积的个位数字是2答：连乘积的个位数是 2故答案为：2点评：抓住题干，求出9的连乘积、8的连乘积和7的连乘积的个位数字的规律，是解决本题的关键10（3分）算式（367367+762762）×123123的得数的尾数是9考点：周期性问题1923992分析：分别找出个位数字7、2、3的连乘积的个位数的循环周期：如7的连乘积，积的尾数以7，9，3，1，循环出现，周期为4，因为367÷4=913，所以，367367的尾数为3；如此类推，即可解决问题解答：解：（1）7的连乘积，尾数（个位数字）以7，9，3，1循环出现，周期为4；因为367÷4=913，所以，367367的尾数为3（2）2的连乘积，尾数以2，4，8，6循环出现，周期为4；因为762÷4=1902，所以，762762的尾数为4（3）3的连乘积，尾数以3，9，7，1循环出现，周期为4；123÷4=303，所以，123123的尾数为7（4）综上所述，（367367+762762）×123123的尾数就是（3+4）×7的尾数，（3+4）×7=49，答：得数的尾数是9故答案为：9点评：此题考查了利用个位数字为7，2，3的连乘积的积的尾数的规律进行解决问题的方法二、解答题（共4小题，满分0分）11乘积1×2×3×4××1990×1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？考点：周期性问题1923992分析：我们用所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数2的495次方的个位数字是8（2的n次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期495÷4=1233）那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数字是2（就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是2解答：解：此题中是1991个数字的连乘积，根据题干分析：所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数2的495次方的个位数字是8；2的n次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期，495÷4=1233；那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数字是2（就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是2点评：将原式进行分组整合讨论，根据个位数字是2、5乘积的个位数字特点进行分析，得出从右边数第一位不为0的数字规律；根据2的连乘积的末位数的出现周期解决问题，是本题的关键所在12有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？考点：周期性问题1923992分析：（1）因为第一个数×=第二个数×，所以第一个数：第二个数=：=3：10又两数互质，所以第一个数为3，第二个数为10，从而这串数为：3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055（2）要求这串数的第1991个数被3除所得的余数是几，可以先推理出得出这串数字除以3的余数的规律是什么；由此即可解决问题解答：解：根据题干分析可得这串数字为：3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055这串数字被3除所得的余数依次为：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，所以可以看出这串数字除以3的余数按“0，1，1，2，0，2，2，1”循环，周期为8因为1991÷8=2487，所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2答：这串数的第1991个数被3除所得的余数是2点评：解答此题应注意以下两个问题：（1）由于两个数互质，所以这两个数只能是最简整数比的两个数；（2）求出这串数被3除所得的余数后，找出余数变化的周期，但这并不是这串数的周期一般来说，一些有规律的数串，被某一个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性13表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会），那么第340组是（好，好）考点：周期性问题1923992分析：此题分成两部分来看：（1）上面一部分的周期为：四字一周期，分别为：共产党好；那么第340个字在340÷4=85周期最后一个，与第一组中第四个字“好”相同；（2）同样的方法可以得出下面的周期为：五字一周期：社会主义好，由此即可解决问题解答：解：根据题干分析：（1）上面四字一周期，分别为：共产党好；那么第340个字在340÷4=85周期的最后一个，与第一组中第四个字“好”相同；（2）下面五字一周期，分别为：社会主义好，那么第340个字在340÷5=68周期最后一个数字，与第一周期的最后一个字“好”相同；答：由上述推理可得：第340组的数字是（好，好），故答案为：（好，好）点评：此题也可以这样考虑：因为“共产党好”四个字，“社会主义好”五个字，4与5的最小公倍数是20，所以在连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是20组数因为340÷20=17，所以第340组正好写完第17个周期，第340组是（好，好）14甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为75厘米考点：公约数与公倍数问题1923992分析：根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白交替进行；乙按白、黑，白、黑交替进行，如图所示由图可知，甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是5与6的最小公倍数的2倍，即5×6×2=60厘米，也就是它们按60厘米为周期循环出现，据此可以轻松求解解答：解：按60厘米为周期循环出现，在每一个周期中没有涂色的部分是，1+3+5+4+2=15（厘米）；所以，在3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是，15×（300÷60）=75（厘米）故答案为：75点评：此题主要考查最小公倍数问题，注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍，而不是5与6的最小公倍数