立体几何大题(23页).doc

-立体几何大题-第 26 页2016年7月9日数学周测试卷一、解答题（共25小题；共325分）1. 如图，正方体 的棱长为 （1） 在图中找出平面 ，平面 ，平面 的一个法向量；（2） 以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出（1）中三个法向量的坐标2. 如图，在正方体 中，求 与平面 所成角的余弦值3. 设 ， 分别是两条异面直线 ， 的方向向量，且 ，求异面直线 和 所成的角4. 如图，直三棱柱 ，点 、 分别为 和 的中点（锥体体积公式 ，其中 为底面面积， 为高）（1） 证明：；（2） 求三棱锥 的体积5. 三棱锥 中，侧面 与底面 垂直，（1） 求证：；（2） 设 ，求 与平面 所成角的大小6. 如图， 和 所在平面互相垂直，且 ， 分别为 ， 的中点（1） 求证：；（2） 求二面角 的正弦值7. 如图，四边形 为正方形， 平面 ，（1） 证明： 平面 ；（2） 求棱锥 的体积与棱锥 的体积比值8. 如图，在 中， 两点分别在 ， 上，使 ，现将 沿 折成直二面角，求：（1） 异面直线 与 的距离；（2） 二面角 的大小（用反三角函数表示）9. 如图，直三棱柱 中， 分别是 ， 的中点（1） 证明：；（2） 设 ，求三棱锥 的体积10. 如图，正四棱锥 的所有棱长均为 ， 分别为棱 ， 的中点（1） 求证：，并求出直线 到平面 的距离；（2） 求点 到平面 的距离11. 已知过球面上三点 ， 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 ，计算球的表面积与体积12. 如图，三棱柱 中，点 在平面 内的射影 在 上，（1） 证明：；（2） 设直线 与平面 的距离为 ，求二面角 的大小13. 如图，四棱锥 的底面 是平行四边形， 分别是棱 的中点（1） 证明： 平面 ；（2） 若二面角 为 ， 证明：平面 平面 ； 求直线 与平面 所成角的正弦值14. 如图，在四棱柱 中，侧棱 ，用向量法解决下列问题：（1） 若 的中点为 ，求 与 所成的角；（2） 求二面角 （锐角）的余弦值15. 已知在四棱锥 中，底面 是矩形，且 ， 平面 ， 分别是线段 ， 的中点（1） 证明：；（2） 在线段 上是否存在点 ，使得 ?若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由（3） 若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值16. 如图，直三棱柱 中， 为 的中点， 为 上的一点，（1） 证明： 为异面直线 与 的公垂线；（2） 设异面直线 与 的夹角为 ，求二面角 的大小17. 已知在四棱锥 中， 分别为 ， 的中点（1） 求证：；（2） 求证：；（3） 若 ，求二面角 的大小18. 如图，在直三棱柱 中， 为 的中点（1） 求异面直线 和 的距离；（2） 若 ，求二面角 的平面角的余弦值19. 如图 ，在等腰梯形 中， ， 为 中点，点 ， 分别为 ， 的中点，将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 （如图 ）（1） 求证： （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值（3） 侧棱 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，求处 的值，若不存在，说明理由20. 在正三角形 中， 分别是 ， 边上的点，满足 （如图1）将 沿 折起到 的位置，使二面角 成直二面角，连接 ，（如图2）（1） 求证：；（2） 求直线 与平面 所成角的大小；（3） 求二面角 的余弦值21. 如图，四面体 中， 是 的中点， 和 均为等边三角形，（1） 求证：；（2） 求二面角 的余弦值；（3） 求 点到平面 的距离22. 如图，已知 ， 为等边三角形（1） 求证：（2） 求 的平面角的余弦值23. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， 为 的中点， 为 的中点，以 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1） 证明：直线 ；（2） 求异面直线 与 所成角的大小；（3） 求点 到平面 的距离24. 如图，已知边长为 的菱形 中，将菱形 沿对角线 折起得到三棱锥 ，设二面角 的大小为 （1） 当 时，求异面直线 与 所成角的余弦值；（2） 当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值25. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，（1） 求异面直线 与 所成角的大小；（2） 求二面角 的余弦值答案第一部分1. （1） 由正方体可得 ，平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ；连接 ，得 ，平面 的一个法向量为 （2） 如图，建立空间直角坐标系 ，可得 ， ，2. 以 ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 ，则 ，设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ，所以 与平面 所成角 所以 与平面 所成角的余弦值是 3. 因为 ，所以 所以 和 所成的角为 4. （1） 证法一：连接 ，由已知 ，三棱柱 为直三棱柱，所以 为 中点又因为 为 的中点，所以 又 ，因此 证法二：取 中点 ，连接 ，因为 ， 分别为 与 的中点，所以 ，所以 ，又 ，因此平面 ，而 因此 （2） 解法一：连接 ，如图，由题意得 ，所以 又 ，故解法二：5. （1） 如图，取 中点 ，连接 ，又 侧面 底面 ， 底面 又 ， 为直角三角形 （2） 如图，取 的中点 ，连接 ，则有由（1）有 平面 ，再结合 ，可知 平面 平面 ，又 是等腰直角三角形，取 的中点 ，连接 ，则又 平面 平面 ，且交线是 ， 平面 即为 与平面 所成的角 ， ，故 与平面 所成的角为 6. （1） 法一：如图，过 作 ，垂足为 ，连 ，由 可证出 ，所以 ，即 又 ，因此 面 ，又 面 ，所以 法二：由题意，以 为坐标原点，在平面 内过 作垂直 的直线为 轴， 所在直线为 轴，在平面 内过 作垂直 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系易得因而所以因此 ，从而 ，所以 （2） 法一：在图中，过 作 ，垂足为 ，连 ，由平面 平面 ，从而 平面 ，所以 又 ，所以 平面 ，从而 因此 为二面角 的平面角；在 中，可得由 知因此从而即二面角 的正弦值为 法二：在图中，平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量 ，又由 得其中一个设二面角 的大小为 ，且由题意知 为锐角，则因即二面角 的正弦值为 7. （1） 由条件知 为直角梯形 平面 ， 平面 平面 ，交线为 又四边形 为正方形， 平面 ，可得 在直角梯形 中可得则 所以 平面 （2） 设 由题设知 为棱锥 的高，所以棱锥 的体积由（1）知 为棱锥 的高，而 ， 的面积为 ，所以棱锥 的体积故棱锥 的体积与棱锥 的体积比值为 8. （1） 如图1中，因为 ，所以 又因为 ，从而 在图2中，因 是直二面角，故 ，从而 而 ，故 为异面直线 与 的公垂线下面求 之长在图 中，由得又已知 ，从而因 ，故即异面直线 与 的距离为 （2） 方法一：在图2中，过 作 ，交 的延长线于 ，连接 由（1）知，由三垂线定理知 ，故 为二面角 的平面角在底面 中，所以因此从而在 中，在 ，中因此所求二面角 的大小为 方法二：如图3，由（1）知，以 点为坐标原点， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系，则所以过 作 ，交 的延长线于 ，连接 设 ，从而由 ，有即又由 ，得联立、，解得即得因为故 ，又因 ，所以 为所求的二面角 的平面角因 ，有所以因此所求二面角 的大小为 9. （1） 连接 交 于 ，可得 ，又 ，所以 （2） 直棱柱 中，所以 ，又 ，所以 ，所以三棱锥 可以把面 作为底面，高就是 ，底面 的面积为 ，所以三棱锥 的体积为 10. （1） 因为 ， 分别为棱 ， 的中点，所以 又 ，所以 如图建立空间直角坐标系，则 ，设平面 的法向量为 ， ，可得 ，所以点 到平面 的距离为 即直线 到平面 的距离为 （2） 因为 ，所以点 到平面 的距离为 11. 如图，设球面的半径为 ， 是 的外心，外接圆半径为 ，则 在 中，则 ，在 中，由正弦定理得 ，即 在 中，由题意得 ，得 球的表面积 球的体积为 12. （1） 平面 ， 平面 ，故平面 平面 又 ，所以 平面 如图，连接 ，因为侧面 为菱形，故 ，由 平面 知 ，而 ，故可得 ，所以 （2） 平面 ， 平面 ，故平面 平面 作 ， 为垂足，则 平面 又直线 平面 ，因而 为直线 与平面 的距离，因为 为 的角平分线，故 作 ， 为垂足，连接 ，由题可知 ，所以 因此，可知 ，因此 ，故 为二面角 的平面角由得 为 的中点，所以所以二面角 的大小为 13. （1） 如图，取 中点 ，连接 ，因为 为 中点，所以 为 中位线，所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 （2） 连接 因为 ，而 为 中点，故 ，所以 为二面角 的平面角在 中，由可解得 中，由可解得在三角形 中，由余弦定理，可解得从而 ，即 ，又 ，从而 ，因此 平面 又 平面 ，所以平面 平面 ；连接 ，由 知 平面 所以 为直线 与平面 所成的角，由得 为直角，而可得 ，故 又 ，故在 中，可得所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 14. （1） 由 ， 的中点为 ，所以 如图，以 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 ， ，因为 ，所以 ，即 与 所成的角为 （2） 设平面 与平面 所成的角为 ，平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，由 得 解得 所以 ，同理可得 ，设的夹角为 ，则 ，由图知 ，所以二面角 （锐角）的余弦值为 15. （1） ，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ，不妨令 ， ， ，即 （2） 如图所示，设平面 的法向量为 ，由 得 令 ，得 ，所以 设 点坐标为 ，则 要使 ，只需 ，即 ，得从而满足 的点 即为所求 （3） ， 是平面 的法向量，易得 ，又 ， 是 与平面 所成的角，得 ，平面 的法向量为 ，所以因为所求二面角为锐角，故所求二面角 的余弦值为 16. （1） 法一：如图，连接 ，记 与 的交点为 因为面 为正方形，故 ，且 又 ，所以 ，又 为 的中点，故 ，作 ， 为垂足，由 知， 为 中点又由底面 ，得 连接 ，则 ，故 ，易得 所以 为异面直线 与 的公垂线法二：以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，射线 为 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 ，则又设 ，则于是 ，故 ，所以 为异面直线 与 的公垂线 （2） 解法一：因为 ，故 为异面直线 与 的夹角，设 ，则如图，作 ， 为垂足因为底面 ，故 ，又作 ， 为垂足，连接 ，易得 ，因此 为二面角 的平面角又 所以 ，所以二面角 的大小为 解法二：因为 等于异面直线 与 的夹角，故即解得 ，故 又 ，所以设平面 的法向量为 ，则即令 ，则 ，故 设平面 的法向量为 ，则即令 ，则 ，故 所以由于 等于二面角 的平面角，所以二面角 的大小为 17. （1） 因为 ， 为 中点，所以 ，又 ，得 ，因为 ， 都在平面 内，且 ，所以 （2） 连接 交 于点 ，连接 ，因为 平行且等于 ，所以 为 中点，又 为 中点，所以 ，因为 ，所以 ； （3） 取 中点 ，连接 ，若 ，设 ，则 ，所以 ，所以 又 ，所以 ，所以 又 ，所以 又 ，所以 即为所求二面角的平面角因为 ，而 ，所以 18. （1） 因为 ， 为 的中点，故 又在直三棱柱中， 平面 ，故 ，所以异面直线 和 的距离为 （2） 由 ，故 平面 ，从而 ，故 为所求的二面角 的平面角因为 是 在平面 上的射影，又已知 ，由三垂线定理的逆定理得 ，从而 ， 都与 互余，因此所以 因此得从而所以在 中，由余弦定理得19. （1） 如图 ，在等腰梯形 中，由 ， 为 中点，所以 为等边三角形，如图 ，因为 为 的中点，所以 ，又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 ，所以 （2） 连接 ，由已知得 ，又 为 的中点，所以 ，由 知 平面 ，所以 ， 所以 ， 两两垂直，以 为原点， 分别为 ， 轴建立空间直角坐标系（如图）因为 ，易知 ，所以 ，所以 ，设平面 的一个法向量为 ，由 得 即 取 ，得 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则所以直线 与平面 所成角的正弦值为 （3） 假设在侧棱 上存在点 ，使得 平面 ，设 ， ，因为 ，所以 ，易证四边形 为菱形，且 ，又由问题 可知，所以 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，由 ，得 所以侧棱 上存在点 ，使得 平面 ，且 20. （1） 在图 1 中，取 的中点 ，连接 因为 ，所以 ，而 ，所以 是正三角形，又 ，所以 ，在图2中，所以 为二面角 的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，所以 又 ，所以 ，即 （2） 建立分别以 ， 为 轴， 轴， 轴的空间直角坐标系，则 ，则 ，设平面 的法向量 ，由 知，即 令 ，得 ，所以直线 与平面 所成的角为 （3） ，设平面 的法向量为 由 知，即 令 ，得 ，所以二面角 的余弦值是 21. （1） 连接 ，因为 为等边三角形， 为 的中点，所以 ，因为 和 为等边三角形， 为 的中点，所以 在 中，因为 ，所以 ，即 ，因为 ， （2） 解法一：过 作 于 ，连接 ，因为 ，所以 在平面 上的射影为 ，所以 ，所以 为二面角 的平面角在 中，所以二面角 的余弦值为 解法二：以 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 ，因为 ，所以平面 的法向量 设平面 的法向量 ，由 设 与 夹角为 ，则所以二面角 的余弦值为 （3） 解法一：设点 到平面 的距离为 ，因为 ，所以 在 中，所以 而 ，所以 ，所以点 到平面 的距离为 ，解法二：设平面 的法向量为 ，又 ， 设 与 夹角为 ，则设 到平面 的距离为 ，因为 ，所以 到平面 的距离为 22. （1） 证法1：如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以 因为 ，所以 因为 ，所以 因为 ，所以 因为 ，所以 证法2：如图，可证得 是 的平面角在 中，计算可得： ，满足 ，故 ，所以 （2） 方法1：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，由 ，可得 ，从而 ，由此可得 ，即 就是 的平面角因为 ，所以 ，即 的平面角的余弦值为 方法2：如图，过 中点 作 于点 ，连接 ，可证得 就是 的平面角在 中，计算可得：， ，故 ，即 的平面角的余弦值为 方法3：如图，作 于点 ， ， ，以 ， 所在的直线分别为 轴、 轴， 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，于是 ，设平面 的法向量为 ，则 取 ，则 ，设平面 的法向为 ，则 取 ，则 ，即二面角 的平面角的余弦值为 23. （1） 作 于点 ，如图，分别以 ， 所在直线为 ， 轴建立空间直角坐标系则 ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 取 ，解得 ， （2） 设 与 所成角为 ， ， ， ， 与 所成角的大小为 （3） 设点 到平面 的距离为 ，则 为 在向量 上的投影的绝对值，由 ，得 ，所以点 到平面 的距离为 24. （1） 方法一：由题意可知二面角 的平面角为 ，即 当 时，即 ，分别取 ， 的中点 ，连接 ， ， 为异面直线 与 所成的角或其补角，在 中， ，即异面直线 与 所成角的余弦值为 方法二：如图建立空间直角坐标系 ，由题意可知 ， ， ，即异面直线 与 所成角的余弦值为 （2） 方法一：当 时，即 ，由题意可知 ， 为等边三角形，取 的中点 ，则有 ，且 ， ，即 （其中 为点 到平面 的距离）， ，即直线 与平面 所成角的正弦值 方法二：如图建立空间直角坐标系 ，题意可知 ， ，设平面 的法向量为 ， 即可得 ，设直线 与平面 所成的角为 则 ，即直线 与平面 所成角的正弦值 25. （1） 设 的中点为 ，连接 ，因为 ，所以 ，同理 又平面 ，所以 ，由题意，所以 不妨设 ，以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 ，则 ，所以 ，因为 ，所以 与 的夹角为 ，所以异面直线 与 所成角为 （2） 设平面 的法向量为 ，因为 ，所以 ，所以 且 ，取 ，得 ，所以平面 的一个法向量为 又平面 的一个法向量为 ，设二面角 的平面角为 ，由 ，知二面角 的余弦值为