一阶线性微分方程及其解法.ppt
二、可分离变量的微分方程,则称方程（1）为可分离变量的微分方程.,解法,一阶微分方程的一般形式：,若方程（1）可以写成如下形式：,变量分离,两端积分,可以验证: (1.4)式为微分方程 (1) 的(隐式)通解.,注: 若题目只需求通解，则不必讨论,例1,求微分方程,解,分离变量,两端积分,C,例2,求微分方程,解,分离变量,两端积分,C,注意到:当C=0时即y=0也是方程的解,应用: 衰变问题: 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未衰变的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程中铀含量M(t)随t的变化规律,解,变量分离,两端积分,即,又,故,故,衰变规律为,练习 12.1第3题,增加一个条件:曲线过(2,3)点,求曲线方程,变量分离,两端积分,即,又,练习:12.2第3题,两边求导得:,变量分离,注意:这里隐藏一个初始条件,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,例6,变量代换是解方程的一种常用的手段,二、齐次方程,解法：,将其代入原式，得：,，即,这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程；,然后，利用分离变量法求得,故,代入得：,进行分离变量整理，并两边积分，,故所求通解为：,这是关于变量u与x的可分离变量方程，,得：,书上还有一个例子，自己可以练习练习,求微分方程,，满足初始条件 的特解,解： 方程可化为：,它是齐次方程。令,代入整理后，有,分离变量，则有,两边积分，得,即,代入上式，于是所求方程的通解为,把初始条件,代入上式，求出,，故所求方程的特解为,解：这是一个齐次方程。先将方程变形为,代入得：,这是关于变量u与x的可分离变量方程，,分离变量 ，并两边积分，得：,故,所以，原方程通解为 ：,五、小结,本节主要内容是：,1齐次方程,或,判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：,一、一阶线性微分方程及其解法,例1,在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次的，则称其为一阶线性微分方程。,1. 一阶线性微分方程的定义,（是）,（是）,2. 一阶线性微分方程的一般式,3. 一阶线性微分方程的分类,当 时，方程（1）称为一阶线性齐次微 分方程。,当 时，方程（1）称为一阶线性非齐次 微分方程。,或,齐次线性方程的通解为：,1 齐次线性方程：,求解法:,分离变量：,1. 常数变易法,2 非齐次线性方程：,作变换,可分离变量方程,积分得,一阶非齐次线性微分方程(2.1)的通解为:,2. 常数变易公式,（2）一阶线性非齐次微分方程,常数变易法,1）一般式,2）解法,3）通解公式,齐次的通解,非齐次的特解,关于通解公式要注意：,只表示某一个函数,若 时，绝对值符号可不写 即 特别注意： 而是,例1、求微分方程,的通解.,解法1（常数变易法） 原方程变形为 :,对应的齐次方程为 ：,得通解为,设原方程的解为,从而,代入原方程得,化简得,两边积分，得,所以，原方程的通解,解法2（用公式法）,把它们代入公式得,解,例2,则通解为,解,练习,则通解为,原方程变形为,其中,解,(不)例4,通解：,因此方程满足初始条件的特解为,(讲)求以下方程在 下的特解,原方程可化为：,原方程通解为：,或,求方程通解：,若化为：,则不是一阶线性的,而化为：,则是一阶线性的,再见书上习题,解,例9,(方法1),一阶非齐次线性方程,选择题考点 （间断点，求旋转体体积，求平面图形面积，全微分，偏导数的几意义，二重积分几何意义，交换积分次序） 大题考点 1、求极限 2、隐函数求导（一个方程和方程组情形） 3、抽象函数求导 4、求极值 5、直角坐标系下计算二重积分 6、极坐标系下计算二重积分（或是化为极坐标） 7、解齐次方程（令U=。，转化为U和X的方程） 8、解一阶线性方程（用公式或常数变易法） 9、讨论函数在分界点处的连续性，可导性，可微性,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,例,画草图如右,注： ，即动点P以任意方式即沿任意曲线趋向定 点P0时，都有f(P) A,求二重极限方法类似一元函数的一些方法：等价无穷小替换；重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹逼准则；换元；利用公式和运算法则）,等价无穷小替换；,对于多元函数的极限要求不高，只要求会求些较简单的二重极限 注意：在多元函数中，洛必达法则不再适用，但如果通过换元后的一元函数照样可用,或用重要公式 原式,无穷小的性质,设,确定,两边对x求偏导数：,再对上式对x求偏导数：（按商的求导公式）,对于一阶偏导数，还可用公式法,例1,讨论,(1) 连续；(2) 偏导数存在；(3) 可微.,解,(1),= 0 = f (0,0),(2),(3),？,则,例2,证,令,则,同理,故函数在点 (0, 0) 处连续 ;,下面证明：,可微 .,令,则,注 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.,而非必要条件.,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重复是学习之母弗莱格,世界上最快而又最慢，最长而又最短，最平凡而又最珍贵，最容易被人忽视，而又最令人后悔的就是时间高尔基,谢谢大家对我的支持！ ！ 祝大家考试取得好成绩！,因此方程满足初始条件的特解为,二、一阶线性微分方程的应用,1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.,应用微分方程解决实际问题的步骤:,例5,解,设所求曲线方程为,从而,即,其中,则通解为,因此所求曲线方程为,设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落的速度成正比(比例系数 ，起跳时的速度为0，求下落的速度与时间 的函数关系。,例6,设速度与时间的函数关系为：,解,由牛顿第二定律知：,即,其中,则通解为,因此所求速度与时间的函数关系为,三、小结,1. 一阶线性齐次微分方程,2. 一阶线性非齐次微分方程,（1）一般式,（2）通解公式,（1）一般式,（2）通解公式,
