三垂线定理及其典型例题.ppt

三垂线定理,复习提问：,1。直线与平面垂直的定义。 2。直线与平面垂直的判定定理。,3。证明线面垂直的方法。,4。证明线线垂直的方法。,一、射影的概念,定义：自一点P向平面引垂线，垂足P1 叫做P在平面内的正射影（简称射影）。,如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形F1，则F1叫做图形F在这个平面内的射影。,思考： 1。两条异面直线在同一平面内的射影的位置关系如何？,2。一个三角形在另一平面中的射影可能是什么图形？,二、平面的斜线、垂线、射影,PO是平面的斜线, O为斜足;,PA是平面的垂线, A为垂足;,AO是PO在平面内的射影.,三垂线定理,性质定理,判定定理,性质定理,结论：aPO,二、三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,为什么呢？,三垂线定理,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。,2、a与PO可以相交，也可以异面。,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。,对三垂线定理的说明：,三垂线定理,用法：PA， a ，AO是斜线PO在平面内的射影，aAO aPO,思考： 如果把定理中的条aAO与结论aPO互换，命题是否成立？,用法： PA， a ，AO是斜线PO在平面内的射影， aPO aAO,说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂 直的重要方法。,例题分析：,1、判定下列命题是否正确,(1)若a是平面的斜线、直线b垂直于a在平面 内的射影，则ab。 ( ),2定理的关键找“平面”这个参照学。,强调：1四线是相对同一个平面而言,(2)若a是平面的斜线，b是平面内的直线， 且b垂直于a在内的射影，则ab。 ( ),三垂线定理,2、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， AC，CB1，B1A，求证：BD1平面AB1C,ABCD是正方形，ACBD 又DD1平面ABCD BD是斜线D1B在平面ABCD上的 射影 AC在平面AC内，BD1AC,而AB1， AC相交于点A且都在平面 AB1C内 BD1平面AB1C,证明：连结BD，,请同学思考：如何证明D1BAB1,连结A1B,三垂线定理,关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。,从三垂线定理的证明得到证明ab的一个程序：一垂、 二射、三证。即,第一、找平面(基准面)及平面垂线,第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。,三垂线定理,第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。,例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。,已知：BAC在平面内，点在外，PEAB，PFAC，PO ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：BAO=CAO,证明：连接PA，OE，OF PEAB，PFAC，PO ， ABOE，ACOF（三垂线定理的逆定理）, PE=PF，PA=PA，Rt PAERt PAF。,AE=AF又AO=AO，Rt AOERt AOF。, BAO=CAO,例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？,解：在道边取一点C，,使BC与道边所成水平角等于90，,再在道边取一点D，,使水平角CDB等于45，,测得C、D的距离等于20cm,三垂线定理,BC是AC的射影 且CDBC CDAC,CDB=45，CDBC，CD=20cm BC=20m，,因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。,三垂线定理,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。,小 结,3操作程序分三个步骤“一垂二射三证”,1定理中四条线均针对同一平面而言,2应用定理关键是找“基准面”这个参照系,三垂线定理,例4、设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4， PC=6，求点P到平面ABC的距离。,解: 作PH平面ABC，,连AH交BC于E，连PE,PA、PB、PC两两垂直 PA平面PBC PABC,三垂线定理,