平面向量公式37476(4页).doc

-平面向量公式37476-第 4 页设a=（x，y），b=(x'，y')。    1、向量的加法   向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。   AB+BC=AC。   a+b=(x+x'，y+y')。   a+0=0+a=a。   向量加法的运算律：   交换律：a+b=b+a；   结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。    2、向量的减法   如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0   AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”   a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').    4、数乘向量   实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a=a。   当0时，a与a同方向；   当0时，a与a反方向；   当=0时，a=0，方向任意。   当a=0时，对于任意实数，都有a=0。   注：按定义知，如果a=0，那么=0或a=0。   实数叫做向量a的系数，乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。   当1时，表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的倍；   当1时，表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上缩短为原来的倍。   数与向量的乘法满足下面的运算律   结合律：(a)b=(ab)=(ab)。   向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.   数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.   数乘向量的消去律： 如果实数0且a=b，那么a=b。 如果a0且a=a，那么=。    3、向量的的数量积   定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a,b并规定0a,b   定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a|b|cosa，b；若a、b共线，则ab=+-ab。   向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。   向量的数量积的运算律   ab=ba（交换律）；   (a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)；   （a+b)c=ac+bc（分配律）；   向量的数量积的性质   aa=|a|的平方。   ab =ab=0。   |ab|a|b|。   向量的数量积与实数运算的主要不同点   1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。   2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。   3、|ab|a|b|   4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。    4、向量的向量积   定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：a×b=|a|b|sina，b；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。   向量的向量积性质：   a×b是以a和b为边的平行四边形面积。   a×a=0。   ab=a×b=0。   向量的向量积运算律   a×b=-b×a；   （a）×b=（a×b）=a×（b）；   （a+b）×c=a×c+b×c.   注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。    向量的三角形不等式   1、a-ba+ba+b；   当且仅当a、b反向时，左边取等号；   当且仅当a、b同向时，右边取等号。   2、a-ba-ba+b。   当且仅当a、b同向时，左边取等号；   当且仅当a、b反向时，右边取等号。    定比分点   定比分点公式（向量P1P=向量PP2）   设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 ，使 向量P1P=向量PP2，叫做点P分有向线段P1P2所成的比。   若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有   OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分点向量公式）   x=(x1+x2)/(1+),   y=(y1+y2)/(1+)。（定比分点坐标公式）   我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式   三点共线定理   若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线   三角形重心判断式   在ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为ABC的重心 编辑本段向量共线的重要条件   若b0，则a/b的重要条件是存在唯一实数，使a=b。   a/b的重要条件是 xy'-x'y=0。   零向量0平行于任何向量。 编辑本段向量垂直的充要条件   ab的充要条件是 ab=0。   ab的充要条件是 xx'+yy'=0。   零向量0垂直于任何向量.