嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略数学建模赛题论文(18页).docx

-嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略数学建模赛题论文-第 14 页2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 07006016 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要 本文通过对着陆以及绕行过程中，各个因素对着陆速度以及着陆地点的影响的描述，通过对软着陆过程的探索，建立合理的模型来确定最优控制策略以及着陆轨道。针对问题一、二，就着陆器轨道的近月点以及远月点的位置和嫦娥三号在该点的速度大小和方向进行分析，通过天体运动规律等，计算出近月点坐标分别为：（19.51°W，50.00°N），远月点坐标为：（19.51°E，50.00°S）。近月点速度为1.67km/s，方向与径向成。远月点速度为1.63km/s，方向与径向成。针对问题三，求解最优策略，通过建立不同的坐标参考系，建立一系列月球着陆动力学方程，解出径向最优轨迹和燃耗次优控制方向角。构成多项式制导公式。针对问题四，确定嫦娥三号着陆轨道，应用多项式方程，仿真出着陆速度与时间的图像，径向距离与时间的图像，并对图像做出解释。最后，对着陆过程中的各个因素产生的影响，对此阶段进行误差分析以及敏感性分析。解决在软着陆过程中，获取最优控制策略的解决方案。关键词：软着陆; 多项式制导公式; 天体运动学公式; 误差分析;敏感度分析一.问题重述2013年12月2日1时30分，“嫦娥三号”探测器由长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心发射。由于没有月球软着陆的经历，确定嫦娥三号的着陆轨道、嫦娥三号的着陆控制、减少软着路过程的燃料消耗将是面临的实际问题。附件1 :给出了问题的背景与参考资料;附件2 :给出了嫦娥三号软着陆过程;附件3: 给出了距2400m处的数字高程图;附件4 :给出了 距月面100m处的数字高程图;试就我国的航天技术和外国软着陆的经验的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：(1)确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置(2)嫦娥三号近月点和远月点速度的大小与方向。(3)确定嫦娥三号在6个阶段的最优控制策略。(4)确定嫦娥三号的着陆轨道。(5)对于我们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二. 问题分析这是一个关于深空探测航天器软着陆的最优控制问题。问题一：确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置。根据天体运动学公式，我们能够算出，在距离月球表面15千米时的切向速率，然后，进入主减速区时，径向方向做57m/s的匀速直线运动，垂直于径向方向做匀减速直线运动，末速度为0。利用三角形法则计算出垂直于径向方向速度，继而算出主减速区所用时间与垂直径向方向所走路程。推算出近月点和远月点的经纬度。问题二：确定嫦娥三号在近月点和远月点的大小和方向。根据天体运动规律，分别计算出飞行器在距月球15 km与100km时的速率，根据圆的性质，可计算出远月点的速率方向。在近月点，可根据问题一中的假设解答出在该点处的速率方向。问题三：建立六个阶段的最优控制策略。 首先建立两个坐标系，对实际问题坐标化，然后，根据查表写出月球软着陆动力学方程。求解时，先计算径向最优轨迹模型，在计算燃油次优控制方向角，最终求出多项式制导公式。问题四：确定嫦娥三号着陆轨道。根据第三问求出的方程式，仿真出径向距离与时间的函数关系式，着陆器速度与时间的函数关系式。并对其进行一些必要的分析。问题五：对于我们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。对理论与实际进行对比，考虑多个因素对于着陆轨道和最优控制策略的影响。三模型假设1.忽略月球自转。2.忽略万有引力。3.忽略太阳风的影响。4.将着陆器看成一个整体。问题一：1.当着陆器在进入着陆轨道时，就存在径向方向的速度为57m/s，即在主减速阶段将1.7km/s在垂直于径向方向上的速度减为0。2.当它在距离月球3000米时就已经在虹湾区（19.51°W，44.12°N），只要一直保持直线下降就能落入预定降落点。问题二： 1.在距月球表面100 km时，将飞行器的绕行轨道运动看作是一个 匀速圆周运动。2.飞行器运行到距月球表面15 km时，将它的速率看作是匀速绕月速率。3.做一个近月点所在圆周和远月点所在圆周相切的圆，近月点的速率关于近和远月点连线，镜像后的速率与远月点的速率相交于圆上。如图（2-a）(图2-a)问题三：1.对于径向运动，假设在软着陆过程中月球引力场是均匀的，且引力加速度为一常量,为月球平均半径。2.假设制动发动机为常推力液体发动机。问题四：1.发动机推力F偏差（10%）进行分析。四建模过程问题一：1.定义符号说明：:月球周长；:主减速区所用时间；:主减速区高度；:垂直于径向方向速度；:径向速度；V:距离月球表面15千米时的切向速率；:月球质量；:月球半径；:近月点距离月球表面的高度；:垂直于径向方向的位移 ；:角度偏移量。2.模型建立：根据天体运动学公式，我们能够算出，在距离月球表面15千米时的切向速率，然后，进入主减速区时，径向方向做57m/s的匀速直线运动，垂直于径向方向做匀减速直线运动，末速度为0。利用三角形法则计算出垂直于径向方向速度，继而算出主减速区所用时间与垂直径向方向所走路程。3.模型求解：360°联立上式，解得：1.67km/s=178.395km故，近月点的纬度=5.88°+44.12°=50.00°N，经度为19.51°W。所以，近月点的位置为（19.51°W，50.00°N） 。因为，近月点，远月点与月心在一条直线上，故根据投影原理有，远月点的位置为（19.51°E，50.00°S）。问题二：1.定义符号说明：距月球表面100 km ；： 距月球100 km时速率； ：在近月点时飞行器的速率方向与径向方向的夹角 ；：远月点时飞行器的速率方向与径向方向的夹角 。2.模型建立：根据天体运动规律，分别计算出飞行器在距月球15 km.100km时的速率，根据圆的性质，可计算出远月点的速率方向。在近月点，可根据问题一中的假设解答出在该点处的速率方向。3.模型求解：联立上式，解得：因此，远月点的速率为 方向与径向成，近月点的速率为 方向与径向成。问题三：1.定义符号说明：为月心到着陆器的距离向量；,：度；：为轨道坐标系相对惯性系的角速度矢量；：为制动推力开关控制函数,；：为月球引力常数；：为着陆器质量；：常推力发动机推力大小； ：为轨道坐标系下推力矢量的方向角；：为发动机比冲；：为地球表面重力加速度长数。2.模型建立：首先定义两个月球软着陆坐标系。第一个是月心惯性坐标系,:原点选在月心，轴指向动力下降起始点，轴垂直于轴指向着陆点方向，轴按右手法则确定。着陆器在空间的位置可由表示成球坐标的形式，为从月心到着陆器的距离,表示月球经度和纬度。第二个就是着陆器轨道坐标系:原点选在着陆器质心，轴与从月心到着陆器质心的矢径方向重合，背离月心方向为正，轴垂直于。轴指向运动方向为正，按右手法则确定。制动推力F的方向与着陆器本体轴重合，在轨道坐标系中表示的推力方向角(如图3-a所示)。月球软着陆动力学方程可表示为:(3-1)其中：(3-2)用表示上述动力方程可得：(3-3)图（3-a）1. 模型求解：（1）.径向最优轨迹模型研究：由图2-1可直接列写出径向动力学方程： （3-4）和分别表示垂直方向的位置和速度。对于着陆器， (),当时，可对推力加速度做一阶 Taylor 展开：（3-5）由题可知，最优控制方向角可以分为两部分：一部分是用于满足目标点速度矢量所产生的控制角，一部分是用于满足目标点位置矢量所产生的附加控制角，且该部分为小量。由此，可设最优控制角为（3-6）其中为满足目标点速度矢量部分，和为满足目标点位置矢量所产生的附加控制角量值参数，且均为小量，那么(3-7)将(2-6)式和(2-7)式代入(2-4)式可得：(3-8) 则着陆器径向方向的最优轨迹可由一关于时间t的四次多项式来完全表示： (3-9)其中， (=0,14)为多项式的系数，可通过系统边值条件来确定。在动力下降段，制动推力主要用来满足着陆器终端速度约束，因此用于满足终端位置约束的控制推力仅占一小部分，故有 。此外，此阶段控制推力的设计要求高效率的抵消初始速度，因此制动推力角近似等于 90 度，则(2-8)式可近似表示为 (3-10)对(2-9)式求二阶导数可得(3-11)由(2-10)(2-11)两式可得 (3-12)而，所以可以忽略。由此，我们可以分别用一个三次多项式和二次多项式来近似表示着陆器径向距离和径向速度。（2）燃耗次优控制方向角确定：现在，根据上一目的推导，这里分别用一个关于局部时间的三次多项式和二次多项式来近似表示月心到着陆器质心之间的距离r和径向速度u (3-13)这里的为局部时间，它以当前时刻t为初始时刻，其取值范围为0,，为剩余时间，定义为着陆器从当前时刻开始到达目标点所用的时间。(2-13)式中各系数可由以下初始条件和终端条件确定:其中，表示径向距离终端约束，表示径向速度终端约束。由此可以求出(2-13)式各系数，得 (3-14)对(3-14)式u求导可得当前时刻的径向加速度 (3-15)下面来分析着陆器各瞬时加速度矢量和速度矢量之间的几何关系。图3-b和图3-c分别为着陆器在轨道坐标系下垂直平面内的加速度矢量几何关系示意图和水平面内的速度矢量几何关系示意图。其中为径向加速度，为推力加速度，为加速度水平分量;为速度矢量在水平面内的投影，为水平终图（3-b）轨道系下垂直平面内加速度矢量几何关系图（3-c）轨道系下水平面内速度矢量几何关系端约束速度，为由变到二所需的速度增量。由动力学方程(2-3)第四式可以看出，径向加速度a是由月球引力加速度、向心加速度和推力加速度径向分量组成的，根据图3-b各加速度矢量之间的几何关系即可写出推力角的三角函数关系。在水平面中，水平加速度是产生水平速度增量的主要原因，故可令和同方向，由此可根据图3-c确定另一个控制角的三角函数关系表达式。综合上述分析，可以写出控制变量的表达式如下: (3-16)在动力下降段，制导律的设计要求高效率地抵消水平方向的速度，换句话说，制动推力主要用来抵消着陆器水平初始速度，因此，对于前面提到的剩余时间可近似用下式来估计: (3-17) 至此，式(3-15)(3-16)(3-17)就构成了多项式制导公式，其中，和可由加速度仪实时测得。分析上述公式可以看出，该制导律是剩余时间的函数，而剩余时间只与着陆器当前状态和末端约束状态有关。此外，我们还可以看出，上述制导公式对末端位置没有约束，而只对月心到着陆器质心之间的距离作了约束，所以初始速度变化(尤其是初始速度方向变化)对制导终端位置影响很大，这就导致在执行实际的制导任务过程中，对初始速度的测量精度提出了较高要求(见后面的仿真分析)。说明： (1)从该制导律的求解过程可以看出，它是建立在一些假设的基础之上的，这些假设所带来的误差会在着陆器接近月球的过程中逐渐减小。(2)本制导律是一种燃耗次优制导律。它的求解是建立在最优控制的基础之上的，但在求解过程中对剩余时间作了近似估计。(3)本制导律对着陆器终端位置没有约束，只对月心到着陆器质心之间的径向距离作了约束，故初始速度的变化对着陆器终端位置的影响很大，这就对着陆器初始速度的测量精度提出了较高要求。当然，我们也可以根据无着陆位置约束这一点来对终端着陆位置进行调整，可在一定范围内实现定点软着陆 (4)由(3-16)式可以看出，它只是剩余时间的近似估计表达式。当着陆器到达终端位置时，剩余时间为零，这就是图中角在最末端出现突变的主要原因，由角的计算公式可以很容易看出。考虑到这点，参考Apollo系列飞船软着陆的处理方法，我们可以将着陆目标点选在剩余时间。为零之前到达，以避免制导律产生无穷大指令，影响软着陆效果。问题四：1.定义符号说明：推力器参数：，;月球引力常数：，月球半径：；初始参数：，度，度，终端参数：（探测器终止于离月面2km的高度），2.模型建立：由第三题我们建立的一系列多项式方程，通过对多项式方程的求解，我们解答出不同位置时的飞行器着陆速度以及到着陆点的时间不同，通过调整发动机的推力，或者调整制动推力角的大小来解答出到达着陆点的最优策略。对此，我们进行仿真处理，做出时间与径向距离的图像，时间与着陆器速度的图像。3.模型求解：通过这两张图我们可以看出，飞行器着陆用了500秒左右时间，着陆器的速度与时间为非线性变化关系。发动机推力偏差对径向着陆轨迹和水平速度影响较大，直接影响着着陆器的总制动时间和末端的着陆位置，也就是说直接影响着燃料的消耗和能否达到期望目标位置。 五误差分析在实际过程中，导航测量误差和系统参数偏差是影响软着陆制导精度的主要原因。然而，对闭环控制系统而言，测量误差可以通过滤波来消除，对系统的影响相对来说较小。而系统参数，如制动发动机的推力和比冲等都是不可测量量，它们都是事先标定给出的，在实际飞行过程中，这些参数会由于某些因素的影响而产生一定的偏差。 在主制动段，影响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差和导航与控制传感器误差。初始条件误差由主制动段以前的任务决定，传感器误差则由导航系统和传感器本身决定。此外，影响制导精度的因素还包括月球自转、月球不规则摄动等误差。参考文献1刘浩敏，月球软着陆主制动段制导与控制方法研究D ，哈尔滨工业大学 ，2007；2姜启源等，数学模型（第四版）M，北京：高等教育出版社，2011；3孙文瑜等,最优化方法（第二版）M，北京高等教育出版社，2010；4 王大轶，月球软着陆的制导与控制研究D，哈尔滨工业大学博士学位论文,4464，2000；5黄圳圭，航天器姿态动力学M，国防科技大学出版社，3451，1997 ；6姚琼荟，黄继起，吴汉松.变结构控制系统M，重庆大学出版社, 2132，1997。