数列通项的求法(10页).doc
-数列通项的求法-第 10 页数列的通项的求法数列考题中大多都是考通项和求法，特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈，所以掌握求通项的方法是学好数列的最基本的要求。现在的高中数学中数列通项主要有以下一些求法：类型一：观察法求通项公式1、写出数列1,2,3,4,5, 的一个通项。答案：2、写出数列1,0,1,0,1, 的一个通项。答案：3、写出数列0，的一个通项公式。略解：先将原式不含0的项变形为：，观察出第一项应该为：。最终归纳得出：4、3,33，333,3333，答案：类型二：定义型主要是利用前n项和的定义去求数列通项：。在这里特别要注意的是：时一定要单独讨论。题型一：公式的直接应用1、求下列数列的前n项和为。（1） 略解：（1）当时 （2）当时 将两式相减得： 从而得：2、 求。略解：（1）当时 ,从而得 （2）当时 将两式相减并化简得： 由于，得，从而知是等差数列。易得： 题型二：如果题中出现了，或时，一般都是逆用公式，将换成。3、已知数列中，1,前n项的和为，且，求.略解：将变形为，两边同除得。即知为等差数列，先求，进一点求出。4、设数列的前n项和为，若1，且满足，求的通项公式。略解：将代入原式得：。化简即得：。题型三：将类型一中的拓展成任何一个前n项的形式，进而去求数列的通项。5、设数列满足，求数列的通。解：（1）当时，（2）当时，由原式可得两式相减得：即综合（1）（2）得10、已知各项均为正数的数列，且对任意的 都有 记数列前n项的和为。（1）求证： （2）求的通项公式。解：（1）由题可得 （1） （2） （1）（2）得 即：。 即。从而得到： （2）由（1）得： （a） (b) （a）-（b）得：即 。 从而得：。即数列是一个等差数列。以下略。类型三：递推型一、累加型：（适用于型数列）1、已知数列满足，试用a、b表示。略解：由原式得：将上式相加得：，从而易求。以下步骤略。2、已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以3、数列满足，且对任意的，总有，求数列的通项公式。提示：在原式中令m=1即可。4、数列满足，。 (1)已知，求数列的通项公式。（2）求数列的通项公式。（3）已知，设。记。求。二、累乘型：（适用于型数列）1、已知数列满足，的通项。略解：原式可变形为将上述式子左右分别相乘得：，2、已知数列满足，（2），则的通项解析；当2时，（）（）（），其中当时，所以答案是：类型四：配项型这类题型在高中主要有四类题型：（1）,直接设求出x即可。（2）. 设。其中由当为一次函数时，设为一次函数，为二次函数时，设为二次函数。但这类题型如果在考题中出现多为证明形式。（3），两边同除转化为类型（1）（4）递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型1的方法求解。1、 数列满足：，当总有，求提示：设求出x=1,从而知为等比数列，以下略。2、 已知数列满足， ，求提示：两边同除得，化简得：，如果令即得，以下略。3、在数列中，（）证明数列是等比数列；（）求数列的前项和；提示：对于（），在高中主要有两种解决方法，一种是直接配，还有一种是换元。换元法更明显直接，更是解决这种证明新数列的通用方法，具体做法如下：设，从而得：，代入原式即得：，即数列为等比数列，先求出的通项公式，刚后面问题易解决。注：此种类型的问题的一般解决方法如下：4、设数列：，求.解：设，将代入递推式，得（）则,又，故代入（）得说明：若为的二次式，则可设5、已知数列中，,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。 类型五：构造新数列型类型一：取倒数法形如递推式，考虑函数倒数关系有令则可归为型。1、 已知数列满足，且，求方法一：在同乘并化简得：，两边同除以得：，转化为类型四中的第一种题型。以下略。方法二：将原式两边取倒数得：。2、 已知数列满足，求数列的通项公式；提示：原式两边取倒数得：类型二：取对数型形如：的数列可以在两边取对数从而化成一个新的等比数列。3、设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，则是以2为公比的等比数列，.类型六：特征根法题型一：设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.1、已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是题型二：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。1、已知数列满足，求数列的通项公式。解：数列：， 的特征方程是：。又由，于是故题型三：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。1、数列求数列的通项公式. 解：由已知，得，其特征方程为，解之，得2、已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，则有：即3、已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？分析：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根 解：(1)对于都有(2)令，得.故数列从第5项开始都不存在，当4，时，.(3)令则对于(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.当（其中且N2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在.注：特征根法在现在的高考很少涉及，这里只要求学生了解，有心参加自主招生的考试对这部分还是要多加注意。数列通项的求得是求和的前提，只有在通项求正确的前提下才能更好地去求和，所以数列的通项的求法在数列这一章就特别重要，只要掌握了方法，会将题目转化成熟悉的数型，从而达到正确求通项。这样数列通项的求得就变得不再难了。
