数学教学中的反例教学研究(19页).doc

-数学教学中的反例教学研究 A 基础理论 B 应用研究 C 调查报告 D 其他本科生毕业设计（论文）数学教学中的反例教学研究二级学院：数学与计算科学学院专 业：数学与应用数学年 级：2009级学 号：2009224721作者姓名：陈 颖指导教师：梁 英 讲师完成日期：2013年5月1日-第 14 页目 录1 研究背景2 1.1学生的数学学习现状2 1.2文献评述，研究现状2 1.3本文的工作32 关于数学反例33 开展反例教学的三种典型情况4 3.1数学概念中的反例教学4 4 4 7 3.2数学性质、定理中的反例教学7 7 7 10 3.3数学解题过程中的反例教学10 10 10 154 小结15 4.1数学中反例教学的功能154.2反例教学的注意事项. 16数学教学中的反例教学研究作者 陈颖 指导教师 梁英讲师（湛江师范学院数学与计算科学学院，湛江 524048） 摘 要：本文从概念教学、定理教学及解题教学三个方面，论述了反例教学的方法和作用。关键词：反例；数学教学；概念教学；定理教学；解题教学 Study on the Counter Examples in Mathematical TeachingChen Ying Mathematics and Computational Science School, Zhanjiang Normal College, Zhanjiang, 524048 China Abstract: Methods and effect of counter examples teaching are discussed from concept teaching,theorem teaching and problem-solving teaching. Key Words : counter example;mathematical teaching; concept teaching;theorem teaching;problem- solving teaching1 研究背景我们知道，全日制数学义务教育课程标准（实验版）中强调：“能够通过观察、实验、归纳、类比获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”；“通过具体例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的”，这表明反例的教学应始终贯穿于教师的教和学生的学的整体过程中1.1学生的数学学习现状学生往往不够重视概念、定理中的条件和关键词，加上部分学生一直习惯被动学习，又或者学不得法，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，赶做作业，乱套题型同时学生的认知水平和要求掌握的知识能力之间存在矛盾，倾向“题海战术”和“大运动量”重复训练，结果是事倍功半，收效甚微从心理学角度来看，无论处于哪个年龄阶段的学生的自我认知都不够完全清晰、准确，应试教育的氛围容易导致学生的功利性过强，性格浮躁和对学习的目的定位有偏加上社会舆论，学生加强对数学考试分数的重视，忽略基本知识的重要性和必要性基于以上原由，开始研究反例在数学教学中作用1.2文献评述，研究现状 高中数理化2011年第14期的一篇文章“浅谈反例在数学教学中的作用”2主要研究代数方面的反例，强调能够强化学生对知识的理解，培养思维能力和提高解题速度该杂志的第80期的一篇文章“浅谈数学反例教学”3从精神层面上评价反例教学：一个错误概念的解决能催人奋进，一个错误判断的落实能使人豁然开朗，一种错误的推理方法的矫正能使人回味无穷，反例教学犹如黑夜中的星辰，给人以鼓舞和希望，反例教学恰似大海中的航标灯，照亮学生避免触及知识海洋中的暗礁，能让师生共同分享到成功的喜悦，终生受益新课程（中旬）2012年07期“注重数学反例教学 培养学生的创新能力”4一文，研究数学的特性、思想方法和作用，突出培养学生的创新能力安徽师范大学的一篇论文反例的来源和潜在动能5从定义、特殊化和运动变化等方面谈反例获得的思维过程，说明反例是进一步提出问题的一个源泉1.3本文的工作本文针对概念和定理、性质的学习，求解问题过程中易错点，利用初高中、大学数学的典型的反例，对反例在教学中若干应用进行归纳，论述反例在每个阶段、不同内容的数学学习中的优越性，旨在促使学生重视反例，主动从典型反例量的积累到构造反例产生质的飞跃，并能够利用反例这一有力武器解决问题2 关于数学反例 数学反例是简明有力的否定一个重要的猜想，数学家费尽方法与精力都未必能够证明，但是若有人能够举出一个反例，这个问题便轻易得到解决例如，费马数是以数学家费马命名一组自然数，所有具有形式的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数已知的费马素数只有至五个一百多年后，欧拉否定了这一猜想，指出当时，有分解式：与数学反例相关性最强的是反例教学法反例教学法脱胎于首创于哈佛大学的案例教学法1，最早被运用于19世纪后半叶的法律教学中，教师选择个别犯罪案例进行剖析，让学生学习法学的基本知识和理论，以后被运用于医学、心理学、管理学等学科研究与教学之中 反例不是错误的例子，是用本身正确的例子，说明其他问题的不正确性反例教学比较耗费时间和精力，如果反例庞杂，则教师和学生会为反例的数量和细节所拖累，造成事倍功半，倘若是教师信手拈来的几个反例，那么其教学意义就十分有限，因此，反例必须典型、精制、简炼 由于平时接触的命题大部分是真命题，学生的惯性思维就知道想方设法去证明结论的正确反例正好能够弥补学生的这一思维缺陷，让学生从另外一个角度去思考，将苦思冥想不能正面证明的难题，用否定的方式轻而易举地解决反例能够打破思维定势，优化认知结构，将难以说清、容易混淆的问题变得通俗易懂，更具说服力 学生误认为构造反例是一件很困难的事情，教师在进行教学时，不能够仅仅停留在恰当使用反例的层面上，要善于引导学生分析反例、构造反例，实际上就是为学生创设探索情境的过程，从而训练学生的创造思维和辩证思维，知道什么地方该详，什么地方可略，什么地方该精雕细刻，什么地方可以一带而过，使学生对所学的新知识由“懂”到“会”，由“会”到“熟”，“熟”到“活”，由“活”到“悟”通常情况下，反例的构造并不具有唯一性，因而要求学生对命题涉及的概念有透彻的理解，并能在已获知识基础上，展开充分想象，所以说教师指导学生构造反例对提高其创造性具有良好诱导作用3 开展反例教学的三种典型情况3.1 数学概念中的反例教学数学概念的易错易混淆性数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的，是数学教学的重要内容，是推导、运用数学定理和公式的逻辑基础，是提高解题能力的大前提教育心理学研究表明，人们在获得一个正确认识的过程中，往往要经历正反两方面的比较和鉴别，才能完整地将新知同化于原有的知识结构中在课堂教学中，数学概念一般采用正面阐述的形式，只是回答了什么情况下“是”的问题，导致学生对关键字的理解不够透彻，不能真正理解概念的本质，只是机械地记住概念这样一来，当学生遇到名称相近或结构类似的概念，就容易造成理解和运用上的混淆所以，教师要引导和帮助学生回答什么情况下“不是”的问题，从而抓住概念的本质，从认知的反方向帮助学生“吃透”概念例1 如图1，与不是一组平行线，与是一组平行线在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线在平行线的概念教学中，学生能够主动重视关键词之一“永不相交”，但是往往忽略另一关键词“在同一平面内”，以致不少学生认为与不可能相交， 图1所以是平行线但是，在平面内，也可看作在平面内，在平面内，也可视为在平面内，明显两线不在同一平面内，则与不平行；此外，与都在平面上，故与平行因此，通过此例能够加深“在同一平面内”的理解，从而准确把握平行线的概念例2 异面直线是指（ ） A.空间中两条不相交的直线 B.平面内一条直线与平面外一条直线 C.分别位于两个不同平面内的两条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线在立体几何中关于异面直线的定义：“不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线”学生常常将定义中的“任何”忽略或者理解有偏差，所以本题易错选A异面直线概念可用实物粉笔盒或者立体几何图正方体、长方体中的边关系列举反例，如图1，两线不相交，但是在同一平面内，即可排除A一般地，教师在空间概念教学中可以举出反例加以巩固例3 不是函数误解：由于，因变量不随的变化而变化，故不是的函数 显然，这是函数概念的考查不少学生片面地理解为：一个变量随着另一个变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系，题中为定值不变化，就不是函数教科书1指出：一般地，给定非空数集，按照某个对应法则，使得中任一元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数教师应该引导学生认识到：在的定义域内，对每一个给定的值，随总有唯一确定的值和它对应，只不过在该例子中，当变化时，的值始终不变，始终为1罢了，集合B只有一个元素，即由此，通过所举反例的学习，学生认识到是的函数，并非一定要求随的变化而变化，同时学生自觉地体会到：对变量的每一个确定的值，变量有唯一确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质例4 数学分析中“函数极限”的反例教学9 定义 设在空心领域内有定义若，总，当时，有 成立，则称是在时的极限 反例（1）在处虽然无定义，但学生能够亲自体会在处无定义，但极限是存在的 反例（2）定义函数 尽管在处有定义，但时无极限在处有定义，但在处的极限与在处的函数值无关 反例（3）在函数极限定义中将改成，是否有呢？结论是不成立用反例加以说明：令,则，当时，总有成立，但 定义中首先设在的空心领域内有定义并且，这些都隐含着在是否存在极限与在点是否有定义是无关的，但是，学生在理解定义上或在实际应用上，仍误认为若在点处有极限，那么在处一定有定义，这是对函数极限定义理解不准确不全面的表现，是一种误解因此，在教学中，可通过以下三个反例向学生认真分析并指出：定义中条件表明，这说明函数在是否存在极限与函数在处是否有定义无关例5 泛函分析中“完备的度量空间”概念的反例教学10定义 设是度量空间，是中点列，如果对任意给定的正数，存在正整数，使当时，必有则称是中的柯西点列或基本点列如果度量空间中每个柯西点列都在中收敛，那么称是完备的度量空间由定义可知，有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备这是一个简单且容易理解的反例数学反例有助于揭示易错的数学概念的本质数学概念的教学，不仅要运用正面的例子加以深刻阐明，突出条件和关键词，且要通过合适的反例，从另一个侧面抓住概念的本质，使学生对所学概念进一步反思，从而达到深刻理解和掌握该概念的目的3.2 数学性质、定理中的反例教学心理学研究表明，对一个新事物的理解和运用，只有建立成功的经验和失败的教训的相互作用下，才能真正理解和灵活运用在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来在教学过程中，教师往往过于偏重演释论证的训练，把注意力放在培养学生的逻辑思维能力上，容易导致学生对所给条件理解不透彻，不能抓住它的本质属性，只是机械地记忆定理和公式的结构忽视反例在定理教学中扮演的重要角色，可能导致一下情况出现：一些“自我感觉良好”的学生在自学或者做题时，容易忽略甚至无法将数学题中的隐含条件挖掘出来，不能使题设清晰化、具体化、找出正确的解题思路例6 （辨析题）如图2所示，在正方体中，因为，所以，又是在平面内的射影，故事实上，因为，所以与所成的角为45º，并不垂直三垂线定理的内容是在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线 图2 垂直造成上述错误的原因是学生学习三垂线定理及逆定理时，往往忽视“平面内的一条直线”中“内” 的特定条件，忽视了“不在平面内”，用这个反例来说明定理中“内”字的重要性，使学生的体会尤为深刻例7 求和：. 误解：由题可得，数列是首项为，公比为的等比数列由等比数列求和公式可得： （1） 首先，学生容易忽略的情况当时，原式结果为0 更普遍的是，学生在学习了等比数列前项和公式后，在求等比数列前项和时往往直接应用公式， （2）而不考虑公比是否等于1因此，在例7中，多数学生都能熟练地套用公式（2），得到（1）式，但大多数学生都忽略了公式（2）的限制条件是，也就是这种情况也应另类考虑 时，不是等比数列；当时，虽是等比数列，但=1，因此求和时也不能套用上面的公式 这一反例可以促进学生对等比数列分类条件的重视，使学生知道对待每一个数学问题，必须仔细观察，培养自己敏锐的观察力和丰富的想象力，提高数学思维的严密性例8 高等几何中仿射不变量性质的反例教学 由共线三点的简比是仿射不变量，可推出线段的中点、三角形的中线和重心均具有仿射不变性，而两直线的垂直、三角形的角平分线均不具有仿射不变性例如图3，在等腰三角形与非等腰三角形之间，一定存在一个仿射使 图3 设为中点，则为的平分线且，若为的中点，即，而不是的平分线且不垂直于例9 有关数学分析中微分中值定理的反例教学 在讲授微分中值定理时，学生易将其理解为对一切可微函数均有效，其实它只适应实分析，此时可用如下反例加深学生对微分中值定理的理解设，不难知道处处连续而且可微，但找不到一个区间在与之间存在某一个数，使， （3）假定（3）式成立，将上式两边取绝对值的平方可得故 由于没有一个正数，使，因而矛盾，故（3）式不能成立，究其原因是的值域含有虚数元不属于定理中的所指实数范围例10 离散数学中哈密顿图判定定理的反例教学11 哈密顿图的判定定理（必要条件）设无向图是哈密顿图，则对于任意，且，均有其中为的连通分支数图4 问题：图4是否哈密顿图？ 正解：取，则，所以该图不是哈密顿图 构造反例能帮助学生牢记关键词，达到正确理解并掌握定理、性质的目的在教学中要鼓励学生敢于提出问题，要引导学生在某些定理的条件、结论、某些定义的适用范围等要敢于猜想，对不是现成的定理要着眼于发现和创新，自己提出问题，猜想结果，使反例这一工具得以充分应用，这不仅可以使学生的创新能力得以提高，同时更有利于学生开展研究性学习，从而有效地提高教学质量3.3 数学解题过程中的反例教学盖尔鲍姆所说：“一个数学问题用一个反例来解决，使人兴奋，给人的刺激犹如一出好的戏剧”中学的数学结论按命题结构可分为以下三类：充分条件类，必要条件类，充要条件类在解题过程中，学生对于前两类结论往往不能准确使用，更严重的是无法发现错误所在此时，应该让学生学会主动地、自主地在反例中讨论、检验，助其发现问题，分析原因，找到正解如此一来，不仅能够修正原有的陈述性知识，而且能够增长其策略性知识从构建主义上说，这就是“自我否定”的过程扎实的数学基础有赖于反例的构造和使用，同样，构造反例需要调动我们的数学功底学生能够理解、分析反例固然重要，但学生是更加想知道怎样构造反例构造反例是一件富有创造性和挑战性的事情，但是也有它一定的方法和原则当然，反例的构造是相当灵活的，既需扎实的基本知识、基本技能和基本方法，更需充分地想象纵观历年来全国各省中高考数学题、大学考试题，我们可以发现，很多题目我们从正面都是可以得到解答，但是我们更倾向、甚至更自觉地构造反例解题，因为反例能够简化题目同时提高正确率此外，在数学学习过程中，学生有时由于对知识结构掌握不够完善，或缺乏严谨的学习态度，往往会出现在处理题目时想当然，引起做题出错所以，开展反例教学，能帮助学生树立严谨的学习态度，养成论证严密、考虑周到而深刻的学风反例构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性创作性活动，下面则以考试真题为例，列举具有代表性的构造反例的情况例11 （2002年上海中考题）已知是的角平分线，分别是，的中点，连接、，在不再连接其它线段的前提下，要使四边形为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 正确答案不唯一，可以是（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）等等，都是正解，且容易证明，不再赘述但是部分学生出现以下答案：（1），（2），以下通过列举反例一一判断是否正确第一种情况错误反例如下如图5，在一个圆中任作一条弦（不是直径），过点作圆的一条切线，取的中点，过点作平行于切线交圆于点、，连接、，并延长交切线于点、，再连接、 上述四个结论根据显然符合题意，但因为不是直径，所以与不垂直，那么与也不垂直，即当时，四边形不一定为菱形 图5 第二种情况也是错的，反例如下：作一个直角三角形，使，在上截取连接，再作的平分线交于点，取的中点，作，交、分别于点、，连接、， 图6设，不妨令，容易得到， 根据作图6可知因此因为平分，所以而，则于是 又因为，所以四边形为平行四边形. 但是，当时，因为是斜边上的中线，故，即 另一方面，因为，而点与点不重合，所以与不垂直，也就是四边形不为菱形例12 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的平面角的关系为（ ） A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不确定本题大部分学生会误选C但构造具体的立体图形作为反例，本题答案显而易见若构造正方体（图7），则易发现二面角与的两个半平面分别垂直，但一个二面角的平面角为，另一个平面角为，通过此反例可知答案为D例13 （1984年全国高中数学联赛试题）以下命题是否正确？若正确，请给予证明，否则举出反例设A，B是坐标平面上的两个点集，若对于任何，都有，则必有 例13是直接列举特殊反例证明其是假命题点是特殊点，因此构造反例：， 容易看出通常情况下，这个命题不是“一切情况下均假”，而是在有的情况下真，有的情况下假，经过全面考虑所有可能，通过严格验证，把成立的情况排除，不成立的情况得以挑选出来，从而得到反例在这种情况下，通常是由于分类不全以致以假乱真，所以考虑二分法验证是有效的例14（1995年高考题改编）等差数列，的前项和分别为与，且，求 误解： 反例检验：当时，故上述解答过程中存在错误由于整个解题过程似乎毫无破绽，因此引起学生极大求知欲，促使他们对反例的作用感到神奇例14用特殊值检验解题过程，突出反例是纠错的有力手段经过推敲，可知不是项数的一次函数，而是关于的缺少常数项的二次函数，即只能写成的形式，因此可得到正确解法：例15 （2006年上海高考理科）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点（1） 求证：“如果直线过定点，那么”是真命题（2） 写出（1）的逆命题并判断真假，并说明理由 此处只关注第（2）小题第二个问题具有明显的探究特点，不妨采取以下思路：先将条件化简，看看到最后能否推出直线过定点，如果能的话，可以得到完整证明，否则，只能观察某个步骤出问题，并找出反例解：（2）设直线的方程是，与抛物线交点为， 则由已知可得：而，所以由已知，可得，所以得然而，过定点，由此可看出：不能得到过定点，所以应该从中寻找反例不妨从特殊值入手，考虑，只要即可，所以可以令，这就是其中一个反例例16 构造反例在实变函数判断题中的应用12（湛江师范学院某学期期末考试卷）（1）无限个完备集的开集仍是完备集解：命题错误举出以下反例：因此，不是完备集，而才是完备集（2）若，则必有解：命题错误例是中全部有理点，显然， 例11是开放题，教师通过学生普遍错误的答案指出学生对几何性质的条件的忽略，例12、13直接列举特殊反例得到结果，例14体现简单反例能够直接推翻解答题的结果，并促使发现出错的步骤，例15旨在说明从步骤中发现问题有助于构造所需的特定内容的反例，例16的两道判断题均涉及简单的概念和性质，突出对大学生自主构造反例的学习要求让学生学会从反例中总结，从反例中进步在运用知识过程中，构造反例提高学生思维缜密性，降低做题错误率，同时培养学生敢于质疑，勇于探索的数学品质4 小结4.1 数学中反例教学的功能（1）反例是知识转化的工具之一 为了澄清学习数学中的模糊认识，常常需要从正反两个方面进行探索反例是否定一个命题的最佳途径在高中数学中，灵活借助反例加深学生对概念中的关键词和本质特征的认识，强化对概念的理解通过一些反例帮助学生牢固掌握所学的数学原理，灵活地设置反例，有时可起到事半功倍，立竿见影的效果（2）反例是克服思维定势，帮助自我探究的有力武器 学生在教师习惯性程序的影响下容易形成固定的思维模式，即定势定势会产生“墨守成规”、“机械记忆”等负面效应，此时求异的反例恰恰是解决这一弊端的得力方法反例是克服思维定势抑制负迁移的有力手段举反例可直接促进数学新概念、新定理与新理论的形成和发展（3）反例教学体现素质教育，实现教学相长在教学中，教师不仅是讲授者和组织者，而且是讨论中的一员，学生的思维如果都活跃起来，他们在思考问题的深度和广度上往往会超越教师，使教师和学生之间相互学习成为可能4.2 反例教学的注意事项 反例是围绕主要内容的有效辅助手段，学生对反例的掌握要求不能太高，应用反例应注意以下几点： 1、在教学过程中反例的引入时机要适当，形式多样，内容要典范 2、把如何构建出反例的思维过程充分展现给学生，使反例构建与整个推理过程有机地结合，从而培养学生思维的深刻性 3、学生要明确构造反例的作用，不能过于偏重，这不是一种“炫技”总之，在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们巩固和掌握定理、公式和法则，无论是初高中还是大学的数学教学中,根据学生学习过程中容易出错的原因,开展反例教学,是培养学生综合思维能力的有效途径参考文献1 蒋莉.高中数学“反例教学法”的模式研究J/OL张家港教育信息网：2008-11-11 2 杨再勇.浅谈反例在数学教学中的作用J.高中数理化.2011(14)3 戚冰.浅谈数学反例教学J.高中数理化.2012(80)4 李静，胡中永，李洪梅，泥立丽注重数学反例教学 培养学生的创新能力J 新课程（中旬）2012(07)5 郭要红. 反例的来源与潜在功能J. 数学教学.2003.6(11)6 人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中 课程标准实验教科书 数学（必修系列）M. 2007.7 广东，人民教育出版社7 罗增儒数学解题引论M. 陕西师范大学出版8 人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书 数学M. 2010.7 广东，人民教 育出版社9 裴礼文数学分析中的典型问题与方法（第2版）M.2010.11 高等教育出版社10 程其襄，张奠宙，魏国强实变函数与泛函分析基础（第三版）M.2012.5 高等教育出版社11 廖虎离散数学 导教·导学·导考M. 2007.09 西北工业大学出版社12 梅向明高等几何（第三版）M. 2008.04高等教育出版社