圆的标准方程1.ppt
第四章第四章 圆与方程圆与方程 4.1.1 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程问题提出问题提出 直线可以用一个方程表示，圆也直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示，怎样建立圆可以用一个方程来表示，怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题的方程是我们需要探究的问题. . 回顾：圆的定义回顾：圆的定义平面内到平面内到定点定点的距离等于的距离等于定长定长的点的集合。的点的集合。定点定点定长定长圆心圆心半径半径 当圆心位置与半径大小确定后，当圆心位置与半径大小确定后， 圆就唯一确定了圆就唯一确定了 因此一个圆最基本的要素是因此一个圆最基本的要素是圆心圆心和和半径半径一、圆的标准方程一、圆的标准方程xy|MC|= r则则P = M | |MC| = r 圆上所有点的集合圆上所有点的集合rbyax22)()( 222rbyax 即即OCM( (x, ,y) ) 如图，在直角坐标系中，圆心如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用的位置用坐标坐标 (a,b) 表示，半径表示，半径r的大小等于圆上任意点的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心与圆心C (a,b) 的距离的距离xyOCM( (x, ,y) )222)()(rbyax圆心圆心C( (a, ,b),),半径半径r若圆心为若圆心为O（0，0），），则圆的方程为则圆的方程为：222ryx标准方程标准方程圆心圆心 (2, 4) ，半径，半径 1.你能快速说出下列圆的圆心和半径吗？圆圆 (x1)2+ (y1)2=9圆圆 (x2)2+ (y+4)2=22.圆圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2圆心圆心 (1, 1) ，半径，半径3圆心圆心 (1, 2) ，半径，半径|m|练习练习P120 练习 122(1)(3)(4)5xy(2)| 5rCM22(8)(3)25xy典型例题典型例题 例例1 1 写出圆心为写出圆心为A A（2 2，-3-3），），半径长等于半径长等于5 5的圆的方程，并判断的圆的方程，并判断点点M M（5 5，-7-7），），N N（- - ，-1-1）是否）是否在这个圆上？在这个圆上？ 5解：圆心是A（2，-3），半径长等于5的圆的标准方程是将点M（5，-7）的坐标代入圆方程将点N 的坐标代入圆方程所以，点M在圆上，点N不在圆上.253222yx2537-2-5221-5-，25541331-2-5-22 怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢？还是在圆外呢？内呢？还是在圆外呢？),(00yxM222)()(rbyaxAxyoM1M3M2 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上 如果设点如果设点M M到圆心的距离为到圆心的距离为d,d,则则可以看到：可以看到： 点在圆上点在圆上 d =d =r r 点在圆外点在圆外 d r点在圆内点在圆内 d r22020)()(rbyax 22020)()(rbyax 22020)()(rbyax 二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系P131 练习练习 3圆心：直径的中点圆心：直径的中点半径：直径的一半半径：直径的一半解：设点解：设点C（a，b）为直径）为直径 的中点，则的中点，则21PP5264a6239b122459610rCP（） （）圆方程为圆方程为106522）（）（yx10CM1013 CN103CQ因此点因此点M在圆上，点在圆上，点N在圆外，点在圆外，点Q在圆内。在圆内。圆心坐标为（圆心坐标为（5，6）1(4,9)P2(6,3)PC例例2 2、 ABCABC的三个顶点的坐标的三个顶点的坐标分别是分别是 A A（5 5，1 1），），B B（7 7，-3-3），），C C（2 2，-8-8），求它的外接圆的方程），求它的外接圆的方程. . B Bx xo oy yA AC C典型例题典型例题B Bx xo oy yA AC C 例例2 圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOSA( (5, ,1) )B( (7,-,-3) )C( (2,-,-8) )几何法几何法待定系数法待定系数法解：设所求解：设所求圆的方程为圆的方程为：222)()(rbyax因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)都在圆上都在圆上222222222(5)(1)(7)( 3)(2)( 8)abrabrabr 235abr 22(2)(3)25xy 所求所求圆的方程为圆的方程为典型例题典型例题 例例3 3 已知圆心为已知圆心为C C的圆经过点的圆经过点 A A（1 1，1 1）和）和B B（2 2，-2-2），且圆心），且圆心C C在在 直线直线l ：x-y+1=0 x-y+1=0上，求圆上，求圆C C的标准方程的标准方程. .B Bx xo oy yA AC Cln解：2523521312-3-C23 01033033 ,233121AB-31-21-2-AB21-23DAB2-2B11A2222AByxACryxyxyxyxxylk所求圆的标准方程是半径，的坐标是故圆心解得联立即的方程是的垂直平分线线段的斜率直线又，的中点线段，课本课本p121p121练习练习4 4课堂小结课堂小结(1)(1)圆的标准方程的结构特点圆的标准方程的结构特点. .(2)(2)点与圆的位置关系的判定点与圆的位置关系的判定. .(3)(3)求圆的标准方程的方法：求圆的标准方程的方法： 待定系数法；待定系数法； 几何法（几何法（数形结合数形结合确定圆心和半径确定圆心和半径）.思思：以以C(1,3)(1,3)为圆心为圆心, ,并且和直线并且和直线3 3x-4-4y-7=0 -7=0 相切的圆相切的圆. .圆心：已知圆心：已知半径：圆心到切线的距离半径：圆心到切线的距离解：解：设所求圆的半径为设所求圆的半径为r则：则：2 22 24 43 3| |7 7- -3 34 4- -1 13 3| |r r =5 51616所求圆的方程为：所求圆的方程为：CyxOM22196(1)(3)25xy 解法解法1：可设所求圆的标准方程为：可设所求圆的标准方程为：圆心在圆心在y轴上轴上(0,b)222)(rbyx 该圆经过该圆经过A(-1, 4)、B(3, 2)两点两点所求圆的方程是所求圆的方程是 x2+(y 1)2=10 练练4：求：求经过两点经过两点A(-1, 4)、B(3, 2)且且圆心在圆心在y轴上的轴上的圆的方程圆的方程.CyxOAB解法二：解法二：线段线段ABAB的中点为的中点为(1, 3(1, 3）21)1(342 ABk圆心圆心C(0, 1)C(0, 1) 所求圆的方程是所求圆的方程是 x x2 2+(+(y y 1)1)2 2=10=10
