三点共线向量表示及其性质应用(4页).doc

-三点共线向量表示及其性质应用-第 4 页三点共线向量表示及其性质应用新课标新教材数学4一道例题给出了三点共线的向量法表示，还提示我们可以利用这个例题解决三点共线问题，所以值得我们深入探究和发掘本文就此给出了三点共线向量表示的两种证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向量表示在解题中的应用。下面且看笔者一一道来，供大家参考。例题：如图1，是平面内三个点，是平面内任意一点，若点在直线上，则存在实数，使得=+（1-）证法探究：思路1分析： 初看欲证目标，始感实难下手。我们不妨从结论出发探寻线路，欲证=+（1-），只需证=+-=（-）=这样证明思路有了。证法1：向量与向量共线，=，即-=（-），=+-，=+（1-）证毕，再思考一下实数的几何意义究竟如何。考察向量等式=，结合图形，易知，当点在线段上时，则与同向，有01；当点在线段延长线上时，则与反向，有<0；当点在线段延长线上时，则与同向，有1思路2分析：回想平面向量基本定理，如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，存在一对实数，使。所以我们可以不共线、作为一组基底，则由它们线性表示，即存在，使=+接下来，证明思路有了。请看证法2。证法2：当、共线时，结论显然成立；当、不共线，即有向量、不共线，以、为基底，由它们线性表示，即存在，使=+过点作，如图2=+，所以=，=由， =1-，得1-=，即=1-，故=+（1-）此例题逆命题亦成立，即已知，是平面内三个点，是平面内任意一点，若存在实数，有=+，且+=1，则，三点共线故此逆命题可作三点共线判定方法。为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：性质1：已知，是平面内三个点， 是平面内任意一点，若，三点共线，则存在实数，使得=+（1-）或叙述为：已知，是平面内三个点， 是平面内任意一点，若，三点共线，则存在实数，使得=+，则有+=1性质2：已知，是平面内三个点，是平面内任意一点，若存在实数，有=+，且+=1，则，三点共线三点共线性质在解题中的应用：例1平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点（3，1），（-1，3），若点满足，其中、，且+=1，则点的轨迹方程为（ ）A B C D解析：由性质2知，三点共线，有设点(,)，=（），又=，所以，化简得，故选D点评：如若设，又，则又+=1得这种解法得通过列方程组，进行运算消去参数后才能得出所求的方程，解题过程不简捷而由性质2，知，三点共线，如此求点的轨迹方程则显得简捷明快，干净利索例2如图3，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若=，=，则的值为 解析：连结，因为点是的中点，所以有=，又因为、三点共线，所以，故点评：因为点是的中点，所以=，由性质1，=1-=，简便求出的值例3如图4，在中，与交于点，设（）用，表示；（）在已知线段上取一点，在线段上取一点，使过点设，求证：解析：()因为、三点共线，所以存在实数使得=；又因为、三点共线，所以存在实数使得=由于，不共线，所以有解得，故=（）因为、三点共线，所以存在实数使得=结合（），易得出消去得，点评：本题是以，作为一组基底，其他向量都由它们线性表示解（）中的实数，的几何意义为：=，=， ，（0，1）；解（）中的实数=例4如图5，平行四边形中，点在线段上，且，在线段上，且，与相交于点，求的值解析：设=，则=，=+（1-）因为，所以，且=+·又，=，即又与共线，-=0，解得=点评：我们先要确定好一组基底，看准,如何由它们线性表示；而欲求目标数值，因三点共线，中途要以作基底，由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1，得=+（1-）；最终与都得转化到由两基底线性表示，此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果解题后反思：要想达到正确运用三点共线性质解题之目的，首先做到，审视题意，考察图形，确定一组基底，根据=+（1-）中表示的几何意义确定的具体数值。牛刀小试，再看一例，如何应招：题目：（2007年天津市高考数学理科卷第15题）如图6，在中，是边上一点，则= 。简解：，所以=+=。