三招破解三角形解的个数问题(3页).doc

-三招破解三角形解的个数问题-第 3 页三角形解的个数问题学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼知道3边，2角1边，2边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢？一解，二解还是无解？必修5在第8页到第9页的“探究与发现”解三角形的进一步讨论有详细说明即在已知中的边长，和角，且已知，的大小关系，常利用正弦定理求出的值，若该值大于1，与矛盾，则无解；若该值小于或等于1，则要考虑，的大小关系及为锐角还是钝角：若是钝角，且该值小于1，则有1解，若该值等于1，则无解；若是锐角，且，则有1解；若，且该值小于1，则有2解；，且该值等于1，则有1解但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受即本节能理解，操作应用起来也很不方便下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解第一招：大角对大边在已知中的边长，和角，且已知，的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角与角的大小关系，然后求出的值，根据三角函数的有界性求解【例1】在中，已知，求、及解：由正弦定理，得，或当时，；当时，点评：在三角形中，这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘第二招：二次方程的正根个数一般地，在中的边长，和角，常常可对角应用余弦定理，并将其整理为关于的一元二次方程，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数ABCD解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解【例2】如图，在四边形中，已知，求的长解：在中，设，由余弦定理得，整理得，解得由正弦定理，得点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷第三招：画圆法已知中，为已知角（），先画出，确定顶点，再在的一边上确定顶点，使边长为已知长度，最后以顶点为圆心，以边长为半径画圆，看该圆与的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2AbCaD【例3】在中，则解的情况（）（A）无解（B）有一解（C）有两解（D）不能确定解：在的一边上确定顶点，使，作，以顶点为圆心，以为半径画圆，看该圆与没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A