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-中国人口增长预测_数学建模优秀论文-第 18 页高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：中国人口增长预测摘要 本文根据近些年国家人口统计数据，分别用GM(1,1)模型、阻滞增长模型与按年龄分组的离散人口模型来对我国人口进行中短期和长期预测。模型一首先对建立的GM（1,1）模型，用Matlab数学软件进行求解后，再与实际人口统计的数据进行分析比较，然后又用相关数据进行处理得到市、镇、乡各区人口男女比例，并会出男女比例图表。最后又根据人口统计数据预测了2006-2010年各区人口总值。如下表：（单位：万人）年份地区20062007200820092010市3629637151380253892039836镇2471127219299823302436376乡7112469343676076591564264考虑到自然资源、环境条件等因素会对人口的增长起阻滞作用，模型二运用了阻滞增长模型对未来人口进行分析预测，通过数据处理得到下图各区人口预测结果，如下图：考虑到种群的按年龄分布，模型三运用离散型人口模型，将人口按年龄分组，对未来数年人口老龄化程度进行预测，得到未来数年我国人口老龄化突出，程度明显，预计在本世纪中叶60岁以上人口将占总人口的30%,65岁以上的人口将达25%。 经过以上的模型预测，本文较好的模拟出了未来50年的人口发展趋势，并充分运用了图表对其进行一个合理的评价。关键词 GM(1,1)模型 阻滞增长模型 离散型人口模型 人口老龄化一、 问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告（附录1）还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量的数据资料。附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出所建立模型中的优点与不足之处。二、 符号说明 第年总人口量（=1,2,3） 人口增长率 自然资源和环境所能容纳的最大人口数量 时段第年龄组种群数量（） 第年龄组的繁殖率 第年龄组的死亡率 第年龄组的成活率 第年岁女性生育率 年岁的每位女性的总和生育率 时刻总人口数三、模型假设1不考虑自然灾害、战争等引起的人口分布变化；2.无较大的国际性人口迁移；3.年龄为但不足的记为岁；4.当年龄超过90岁的以90岁计算；5.60或65岁以上人口为老龄人口。四、模型建立与求解4.1模型一 建立灰色预测GM(1,1)模型，记2001年为第一年，第k年总人口量为，做一次累加(AGO)生成数列有灰微分方程的白化型：令Y=u= 由最小二乘得=求解得且(k+1）= 通过以上公式的数据求解，然后进行如下的 预测值检验：4.1.1残差检验：令残差为，计算得如果，则可认为达到一般要求；如果，则可认为达到较高要求。4.1.2级比偏差值检验：首先由参考数据计算出级比，再用发展系数求出相应的级比偏差如果，则可认为达到一般要求；如果，则认为达到较高的要求。首先，利用excel以及利用相关数据得到各地区男女比例：图一：各地区男女比例其次，综合灰色预测算法，利用Matlab进行数据处理计算得到以下结果表一：市镇乡-0.0387-0.09670.0436313291438984133表二：2001-2005市人口统计值与模型值序号年份原始值模型值偏差残差级比偏差120013.08853.088500220023.36073.30710.53620.01600.0594320033.36213.3850-0.22820.0068-0.0231420043.35663.4646-1.07970.0322-0.0252520053.62413.54620.77970.02150.0520表三：2001-2005镇人口统计值与模型值序号年份原始值模型值偏差残差级比偏差120011.65481.654800220021.61161.6787-0.67070.0416-0.1311320031.96661.84911.17520.05980.0973420041.99612.0367-0.40620.0204-0.0853520052.23932.2434-0.04120.00180.0181表四：2001-2005乡人口统计值与模型值序号年份原始值模型值偏差残差级比偏差120018.01948.019400220027.87297.87160.01300.00020.0069320037.59407.6745-0.80570.0106-0.0108420047.64607.48241.63630.02140.0317520057.21217.2951-0.82920.0115-0.0336将其绘制成图表得：图二：由以上灰色预测的结果可知：20012005年的预测值与原始值的相对误差以及级比偏差都0.1，所以证明模型的建立比较准确。又由于灰色预测离散型模型只能预测短期的值，所以通过计算的到一下数据： 表五： 未来5年各地区人口总数预测表 单位：万人年份地区20062007200820092010市3629637151380253892039836镇2471127219299823302436376乡71124693436760765915642644.2模型二 由于自然资源、环境条件等因素会对人口的增长起阻滞作用，并且随着人口数量的增长，其受到的阻滞作用也越来越大。因此，当人口增长到一定数目后增长率会下降。阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得会随着人口数量的增加而逐渐下降。如果将表示为的函数，则它应是减函数。可得到微分方程 （1）对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即 （2）这里称为固有增长率，表示人口很少时（理论上是）的增长率。为了确定系数的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称人口容量。当时人口不再增长，即增长率，代入（2）式得，于是（2）式为 （3）(3)式的另一种解释是，增长率与人口尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率。将（3）代入方程（1）得 （4）方程（4）右端的因子体现人口自身的增长趋势，因子则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。显然，越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。方程（4）可以用分离变量法求解得到由附录二用分别求得以下数据：表六：各区值市镇乡0.06840.09940.12480.01280.021870.01925.33714.54556.4975然后运用公式，用求得2011-2025的数据如下表：表七：20112025年各区人口预测 （单位：人）市镇乡20113.9424662.8147716.9159320124.0117762.919976.86406420134.0787413.0222356.81892520144.143333.1212056.77957320154.2055243.2165726.74521320164.2653163.3080856.71517320174.3227113.3955496.68887820184.3777233.4788256.6658420194.4303793.5578256.64563520204.480713.6325096.62790320214.5287573.7028846.6123320224.5745673.7689936.59864420234.6181943.8309186.58661120244.6596953.8887646.57602720254.6991313.9426656.566712通过将以上表格制成图表得：图三：20112025各地区人口值 （单位：万人）继续运用阻滞增长模型求得2026-2050年各地区人口数如下表：表八：未来25年中国各地区人口数（单位：人）市镇乡人口总数20264.7365673.9927716.55851215.2878520274.7720714.0392476.55129115.3626120284.8057124.0822696.54493115.4329120294.837564.1220186.53932715.4989120304.8676864.158686.53438915.5607520314.8961614.192446.53003615.6186420324.9230564.2234826.52619915.6727420334.9484414.2519866.52281515.7232420344.9723854.2781276.51983215.7703420354.9949564.3020736.51720115.8142320365.0162214.3239866.5148815.8550920375.0362444.3440196.51283315.893120385.0550894.3623176.51102715.9284320395.0728154.3790176.50943415.9612720405.0894824.3942486.50802815.9917620415.1051464.4081296.50678816.0200620425.1198624.4207736.50569416.0463320435.1336824.4322836.50472816.0706920445.1466564.4427566.50387616.0932920455.1588314.4522816.50312416.1142420465.1702534.460946.50246116.1336520475.1509674.4588086.48187516.0916520485.1310124.4459566.46135916.0383320495.1054284.4224486.42090315.9487820505.0692524.3983416.38500515.8526 由以上的表格，结合下面的图可知，当时间达到2046年左右，中国各地区以及中国总人口达到峰值，且值为16.1万亿左右。表四：2043-2050年人口预测图4.3模型三 在种群数量发展过程中，不同年龄动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，它们对种群数量的增减有着重要影响。事实上，在人口预测中人口按年龄的分布十分重要，本模型将考虑按年龄分组来预测我国人口的发展状况。4.3.1模型建立 将种群按年龄大小等间隔地分成个年龄组，本模型中以每1岁为1个年龄组。与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，且时段的间隔与年龄区间的大小相等，即以1年为1个时段。种群是通过雌性个体的繁殖而增长的，所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便，下面提到的种群数量均指种群中的雌性。记时段第年龄组种群数量为，第年龄组的繁殖率为，即第年龄组每个雌性个体在1个时段内平均繁殖的数量，第年龄组的死亡率为，即第年龄组1个时段内死亡数与总数之比。称为成活率。这里假设和（从而）不随时段变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。和可由统计资料获得。的变化规律由以下的基本事实得到：时段第1年龄组种群数量是时段各年龄组繁殖数量之和，即 （1）时段第年龄组的种群数量是时段第年龄组存活下来的数量，即 （2）记时段种群按年龄组的分布向量为 （3）由繁殖率和存活率构成的矩阵 （4）则（1），（2）可表为 （5）当矩阵和按年龄组的初始分布向量已知时，可预测任意时段种群按年龄组的分布为 （6）有了不难算出时段种群的总数。4.3.2人口模型 为方便起见本模型只涉及女性人口（考虑性别比函数即可得到总人口）,且以1岁为1个年龄组，1年为1个年龄段，即年岁的女性人数为。设生育率与年龄和时间有关，记年岁女性生育率（每位女性平均生育的女儿数）为，育龄区间为。设死亡率只与年龄有关，记年岁女性死亡率为，存活率为。进一步将分解为 (7)其中为生育模式，而满足 (8)是年所有育龄女性平均生育的女儿数，若女性在育龄期所及的时间内保持生育率不变，则就是年岁的每位女性一生平均生育女儿数，即总和生育率（或生育胎次），是控制人口数量的主要参数。仍用表示女性人口的（按年龄）分布向量，如（3）式，为表明的作用，将（4）式是矩阵作如下分解。记， (9)则模型（5）式应表为 (10)当根据统计资料知道了人口的初始分布和存活率矩阵，并给出了生育模式矩阵，就可用不同的总和生育率来预测或控制未来的人口数量。首先利用有关数据求得各地区人口生育模式如下表：表九：各地区人口生育模式（单位：千分比）h（市）h（镇）h（乡）160.11750.120.4275170.1850.611.0475180.421.1852.6675191.6854.08258.4975205.24511.58523.58752116.8624.722535.56252236.462562.01549.08752357.7595.7291.9752486.0925111.155113.4225103.9825124.1525103.447526115.0775125.9679.257527117.7675103.117567.68528101.312581.072568.39252981.6559.6558.06253067.157543.722555.94753148.942527.3643.3553236.022524.17537.37253327.17519.492528.4553421.397515.587528.56253517.7912.15526.22753611.48256.25520.8575378.21252.93515.335386.5453.647510.1575394.6455.7157.0625403.49754.91755.37412.3854.453.955421.10250.573.605430.9250.82752.04440.51251.04751.03450.39750.50751.5025460.31750.42251.005470.28250.27250.4225480.24750.62750.53490.290.30750.8225500.4150.21750.605总计984.35980.36997.3375利用excel将各地区生育模式制成图表得：图四：各地区生育模式其次，利用人口存活率等数据进行处理，求得不同地区存活率等数据如下表：表十：各地区人口存活率 市镇乡存活率年龄人口比率死亡率人口比率死亡率人口比率死亡率00.84 6.23 1.05 8.70 1.21 21.62 0.99 0.99 0.98 10.76 0.60 0.95 0.66 1.01 1.68 1.00 1.00 1.00 20.79 0.65 0.97 0.71 1.11 1.53 1.00 1.00 1.00 30.84 0.36 1.06 0.84 1.18 1.11 1.00 1.00 1.00 40.89 0.07 1.13 0.46 1.26 0.91 1.00 1.00 1.00 50.91 0.55 1.20 0.35 1.33 0.61 1.00 1.00 1.00 60.95 0.31 1.25 0.55 1.40 0.51 1.00 1.00 1.00 70.98 0.35 1.32 0.48 1.47 0.56 1.00 1.00 1.00 81.01 0.44 1.34 0.22 1.56 0.49 1.00 1.00 1.00 91.04 0.13 1.39 0.16 1.62 0.44 1.00 1.00 1.00 101.12 0.29 1.49 0.49 1.79 0.53 1.00 1.00 1.00 111.15 0.21 1.58 0.14 1.87 0.49 1.00 1.00 1.00 121.23 0.30 1.69 0.32 2.04 0.35 1.00 1.00 1.00 131.31 0.35 1.80 0.61 2.14 0.51 1.00 1.00 1.00 141.41 0.30 1.94 0.56 2.28 0.49 1.00 1.00 1.00 151.46 0.31 1.94 0.37 2.22 0.63 1.00 1.00 1.00 161.47 0.17 1.83 0.35 2.01 0.73 1.00 1.00 1.00 171.49 0.35 1.71 0.61 1.73 0.79 1.00 1.00 1.00 181.52 0.21 1.47 0.89 1.54 0.98 1.00 1.00 1.00 191.48 0.33 1.19 0.41 1.34 0.97 1.00 1.00 1.00 201.42 0.46 1.11 0.58 1.31 1.07 1.00 1.00 1.00 211.42 0.40 1.08 0.92 1.25 1.33 1.00 1.00 1.00 221.45 0.50 1.20 1.04 1.30 1.01 1.00 1.00 1.00 231.49 0.31 1.30 0.80 1.32 1.58 1.00 1.00 1.00 241.46 0.44 1.37 0.50 1.30 1.13 1.00 1.00 1.00 251.54 0.17 1.45 0.70 1.33 1.46 1.00 1.00 1.00 261.57 0.52 1.56 0.38 1.34 1.36 1.00 1.00 1.00 271.65 0.68 1.65 3.65 1.39 1.23 1.00 1.00 1.00 281.75 0.40 1.78 1.05 1.48 1.35 1.00 1.00 1.00 291.84 0.68 1.82 1.07 1.54 1.67 1.00 1.00 1.00 301.99 0.55 2.00 1.11 1.69 1.73 1.00 1.00 1.00 312.05 0.70 2.04 0.62 1.70 1.76 1.00 1.00 1.00 322.12 0.78 2.13 1.04 1.80 1.54 1.00 1.00 1.00 332.14 0.80 2.16 0.88 1.86 1.70 1.00 1.00 1.00 342.08 0.98 2.15 0.74 1.87 1.66 1.00 1.00 1.00 352.03 0.82 2.15 0.93 1.91 2.03 1.00 1.00 1.00 361.97 1.13 2.13 1.28 1.89 2.01 1.00 1.00 1.00 372.00 1.18 2.11 1.04 1.85 1.65 1.00 1.00 1.00 382.08 0.85 2.13 1.23 1.87 2.40 1.00 1.00 1.00 392.09 1.24 2.08 0.87 1.80 2.55 1.00 1.00 1.00 402.01 1.27 1.98 1.42 1.67 2.38 1.00 1.00 1.00 411.89 1.80 1.74 1.44 1.46 2.68 1.00 1.00 1.00 421.74 1.33 1.55 1.58 1.33 2.32 1.00 1.00 1.00 431.59 1.21 1.31 2.22 1.16 3.03 1.00 1.00 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