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-概率与统计初步(含习题训练)-第 9 页第九章 概率与统计初步一、计数原理1、 （分类计数）加法原理：完成一件事情，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事情，共有：种不同的方法；2、 （分步计数）分步乘法原理：完成一件事情，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事情，共有：种不同的方法；3、 区分做事情的方法是“分类”还是“分步”主要看能否一步做完，能够一步做完的就是分类（用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）；二、排列与组合1、 排列数公式：从个不同的元素中取出个不同元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中取出个不同元素的排列数，用符号表示，且：2、 的阶乘：自然数1到的连乘积，叫做的阶乘，记作：，且：3、 组合数公式：从个不同的元素中取出个不同元素的所有组合的个数，叫做从个不同的元素中取出个不同元素的组合数，用符号表示，且：组合数公式也可写为：4、 组合数的两个性质：5、 排列与组合的区别：排列与顺序有关；组合与顺序无关。三、概率1、 基本概念（1） 随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现哪种结果的现象；（2） 随机试验的特征：可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以明确知道的，并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生；（3） 随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C表示；（4） 必然事件：在一次随机试验中必然要发生的事件，用表示（读作“omiga”， 对应的小写希腊字母是“”）；（5） 不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用表示（读作“fai”）；（6） 基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件，即：最简单的随机事件；（7） 复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件；2、 频数与频率（1） 频数：在次重复试验中，事件发生了次，叫做事件发生的频数；（2） 频率：在次重复试验中，事件发生的频数在试验总次数中所占的比例，叫做事件A发生的频率；3、 概率（1） 一般地，当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：；（2） 概率的性质：i. 对于必然事件：ii. 对于不可能事件：4、 古典概型（1） 古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性相同，那么称这个随机试验属于古典概型；（2） 概率：设试验共有个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，事件包含个基本事件，那么事件发生的概率为：（3） 事件的“交”：“”表示同时发生，记作：；（4） 事件的“并”：“”表示中至少有一个会发生，又称为事件与事件的和事件；（5） 事件的“否”：表示事件的对立事件；（读作a bar，“A拔”）（6） 互为对立的事件：若事件是事件的对立面，且;（对立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件与有且仅有一个发生）（7） 互斥事件（互不相容事件）：不可能同时发生的两个事件，即：；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件）（8） 相互独立事件：在随机试验中，如果事件的发生不会影响事件发生的可能性的大小，即在事件发生的情况下，事件发生的概率等于事件原来的概率，那么称事件与事件相互独立；(事件发生与否，不影响事件的概率)（9） 若、是互斥事件，则：（10） 若、是对立事件，则：，即：（11） 若、不是互斥事件，则：（12） 若、是相互独立事件，则：四、总体、样本与抽样方法 例1：为了了解全校1120名一年级学生的身高情况，从中抽取100名学生进行测量；1、 总体：在统计中，所研究对象的全体；例1中“全校1120名一年级学生的身高”是总体；2、 个体：组成总体的每一个对象；例1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体；3、 样本：被抽取出来的个体的集合；例1中“抽取的100名一年级学生的身高”是样本；4、 样本容量：样本所含个体的数目；例1中“100”是样本容量；5、 抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；6、 说明：当总体中的个数比较小时，常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样；五、用样本估计总体1、 样本均值：2、 样本方差：3、 样本标准差：4、 说明：均值反映了样本和总体的平均水平；方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度；5、 作频率分布直方图的方法：把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图。注：频数是指各组内数据的个数；每组的频数与全体数据的个数之比叫做该组的频率；例：作出表格1中数据的频率分布直方图（本例题引用来自百度搜索）表格 1分 组（组距=3）频 数频 率频率/组距，）4，）80.026156.5, 159.5)8159.5, 162.5)11162.5, 165.5)22165.5, 168.5)190.19168.5, 171.5)14171.5, 174.5)7174.5, 177.5)4177.5, 180.5)3合 计1001如果将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图六、章节习题§9.1 计数原理(1) 某人到S城出差，在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房，其中甲旅社还剩4间单人房、6间双人房，乙旅社剩下9间单人房、2间双人房，则现在住宿有种不同的选择；(2) 一家人到S城旅游，入住旅社的空房只剩下12间单人房和8间双人房，现需要订一间单人房和一间双人房，有种不同的选择；(3) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，共有种不同的投递的方法；(4) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，并且每个信箱中至少有一封信，不同的投递方法共有种；(5) 3封不同的信，要投到4个不同的信箱中，共有种不同的投递的方法；(6) 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有种；(7) 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本文艺书和一本科技书回家阅读，不同的选法有种；(8) 由1，2，3，4，5五个数字组成的三位数，共有个；(9) 由1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的三位数，共有个；§9.2 排列组合(10) 7人站成一排，一共有种不同的排法；(11) 7人中选出3人排成一排，一共有种不同的排法；(12) 7人中选出3人组成一组，代表班级参加辩论比赛，一共有种不同的选法；(13) 人站成一排，若甲必须站在第一位，一共有种不同的排法；(14) 8人排成一排，其中A、B两人必须排在一起，一共有种不同的排法；(15) 8人排成一排，其中A、B、C三人不在排头并且要互相隔开，一共有种不同的排法；(16) 10件产品中有3件次品，从中任取2件，至少有一件次品的取法共有种；(17) 10件产品中有3件次品，从中任取2件，至多有一件次品的取法共有种；(18) 集合，每次取五个元素，按由小到大顺序排列，共有种不同的排列（取法）；(19) 10位乒乓球选手举行单打单循环比赛，一共需要举行场比赛；(20) 学生要从六门课中选学两门：如果有两门课时间冲突，不能同时学，有 种选法；如果有两门特别的课，至少选学其中的一门，有 种选法；(21) 一个口袋内有6个小球，另一个口袋内有5个小球，所有这些小球的颜色互不相同，现从两个口袋各取出一个小球，有种不同的取法；§9.3 概率(22) 表示必然事件，；表示不可能事件，；(23) 一道选择题共有4个答案，其中只有一个是正确的，有位同学随意的选了一个答案，那么它选对的概率是；(24) 掷一颗骰子，第一次得到6点，那么他第二次掷这颗骰子得到6点的概率（ ） A.大于 B. 等于 C. 等于 D. 等于(25) 甲掷两次骰子，每次掷一颗骰子，两次都得到6点的概率为（ ） A.大于 B. 等于C. 等于 D. 等于(26) 在10件产品中有2件次品，从中任取2件都是合格品的概率是(27) 有一批蚕豆种子，如果每一粒种子发芽的概率均为，那么播下粒种子恰好3粒种子都发芽的概率是（ ）A. B. C. D. (28) 抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件为“出现1点”，事件为“出现2点”,已知，则事件“出现1点或2点”的概率为 (29) 做某个随机试验，所有的基本事件构成的集合可用表示，设事件，事件，则，(30) 有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是，如果两人试图独立在半小时内解决它，两人都未解决的概率是；问题得到解决的概率是 (31) 甲、乙、丙三人在相同条件下射击，他们击中靶心的概率分别是：甲为，乙为，丙为，求三人同时各射击一次，没人击中靶心的概率是多少？(32) 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，则这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率是： §9.4 总体、样本与抽样方法(33) 在统计中，所研究对象的全体叫做，组成总体的每个对象叫做 ，被抽取出来的个体的集合叫做 ，样本所含个体的数目叫做 (34) 为了了解所购买的一批商品的质量，抽测了其中225个商品，在这个问题中，225个商品的质量是（ ）(35) 要了解某种电子产品的质量，从中抽取450个产品进行检验，在这个问题中，450叫做（ ）(36) 为了了解全年级523名同学的视力情况，从中抽取90名同学进行测量，在这个问题中，总体是指，个体是指 ，样本是指 ；样本容量是 (37) 要完成以下两项调查：从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；从某中学高三年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况；应采用的抽样方法是：A. 用随机抽样法，用系统抽样法 B. 用系统抽样法，用分层抽样法C. 用分层抽样法，用随机抽样法D. 用分层抽样法，用系统抽样法(38) 无论是简单随机抽样还是系统抽样，抽样过程中每个个体被抽取的 相等；(39) 抽签法、随机数法都是抽样；(40) 当总体的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每个部分抽取一定数目的样本，得到所需要的样本，这种抽样叫做 (41) 当总体由差异明显的几个部分组成时，一般采用 抽样；(42) 某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200人和1300人，现采用按年级分层的抽样方法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查中，高二年级共抽查了 人，三个年级全部抽查了 人；§9.5 用样本估计总体(43) 数据90、87、91、92、90的平均值是 ，方差是 ，标准差是 (44) 在频率分布直方图中，小矩形的面积表示(45) 画频率分布直方图，根据频率分布表，在直角坐标系中横坐标表示数据的取值，纵坐标表示(46) 在对个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和与频率之和分别等于（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，(47) 甲、乙两个总体各抽取一个样本，测得甲样本的数据为：10、9、5、8、7、15，乙样本的数据为：9，7，8，12，14，4，计算甲、乙样本的均值和样本方差，说明哪一个样本的数据波动更小一些。（精确到小数点后两位）(48) 设一组数据的方差是，将这组数据的每个数据都乘以10，所得到的一组新数据的方差是 (49) 将一个容量为的样本分成八个组，已知第三组的频数和频率分别为和，则 (50) 一个容量为的样本数据，分组后组距与频率如下：则样本在区间上的频率是： (51) 请将以下频率分布表中空白的单元格内容填写完整：分 组（组距=4）频 数频 率频率/组距0，4）64，8）128, 12)2412, 16)3420, 24)2024, 30)4合 计100 根据上表画出频率分布直方图