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-光学题目及答案_-第 30 页第一章 光的干涉1 波长为500nm的绿光照射在间距为0.022cm的双缝上，在距离180cm处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。若改用波长700nm的红光照射此双缝，两个亮条纹之间的距离又为多少？计算这两种光第二级亮条纹位置的距离。解：本题是杨氏双缝干涉实验，其光路、装置如图。由干涉花样亮条纹的分布规律： （j=0、±1、±2、）得亮条纹间距： (1) 其中：=500nm和700nm、d=0.022mm、r0=180cm代入公式(1)计算得到:当=500nm时,两个亮条纹之间的距离:当=700nm时,两个亮条纹之间的距离: 第2 级亮条纹的位置: (2)当=500nm时: 当=700nm时: 两种光第二级亮条纹位置间的距离: 2 在杨氏实验装置中，光源的波长为640nm，两缝间距为0.4mm，光屏离双缝的距离为50cm，试求：（1）光屏上第一亮条纹和中央亮条纹之间距离；（2）若P点距离中央亮条纹0.1mm，则两束光P点的相位差；（3）P点的光强度与中央亮条纹的强度之比。解: (1) 由: （1），已知：=640nm，d=0.4mm，r0 = 50cm，j=1代入公式（1）解得，第一亮纹到中央亮纹的距离：y=0.8mm(2)两束光传播到P点的光程差为：位相差为：代入数据：=640nm、d=0.4mm、r0=50cm、y=0.1mm得到两束光在P点的相位差：（3）在中央亮条纹的位置上，两光的相位差为：光强度为：P点的光强度为：两条纹光强度之比为：3 把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏双缝的一束光中，光屏上原来第五级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，求插入的玻璃片的厚度。已知光波长为600nm。解：当两束光传播到原来为第五级亮条纹位置P点时，两光的光程位差为： （1）插入玻璃片后，两光在P点的光程差： （2） 其中：j5=5、j0=0、n=1.5、=600nm、t为玻璃片厚度，（1）、（2）两式联立得：解得：t = 6000nm 4 波长为500nm的单色平行光照射间距为0.2mm的双缝，通过其中一缝的能量为另一缝能量2倍，在离双缝50cm的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。解：已知：=500nm、d=0.2mm、r0 = 50cm由：解得干涉条纹间距为：设通过一缝的能量为I1，另一缝的能量为2 I1，则对应通过两缝的光振幅分别为： 由： 解得条纹可见度：V=0.9425 波长为700nm的光源与菲涅耳双镜相交棱之间的距离为20cm，棱到光屏间的距离L为180cm，若所得的干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm，求上镜平面之间的夹角。解：光源S经两镜成虚象，两虚光源S、S的间距为： 光源到光屏的距离为：由条纹间距：，变形得： 已知：=700nm、r = 20cm、L=180cm、y=1mm，代入上式解得：=126 在图中的劳埃德镜实验中，光源S到观察屏的距离为1.5m，到劳埃德镜面的垂直距离为2mm，劳埃德镜长为40cm，置于光源和屏之间的中央。（1）若光波波长=500nm，问条纹间距是多少？（2）确定屏上可以看到条纹区域的大小？（3）在此区域内有多少条条纹？解：（1）根据题目给定的条件，可得到，两光源S、S的距离： d=4mm 且：光源到光屏的距离：r0=1.5m 光波波长：=500nm由：，得条纹间距：（2）根据反射定律和几何知识，且劳埃德镜在光源和屏中央，得到SOMP2P0M；SONP1P0N即有： 由：光源到光屏的距离：r0=1.5m、劳埃德镜长：L=0.4m，可解得：OS = 2mm、OM = 0.55m、P0M = 0.95m、ON = 0.95m、P0N = 0.55m 进而解出：P0P1 = 3.455mm P0P2 = 1.158mm则看到干涉条纹的区域为:P1P2 = P0P2 - P0P1 = 3.455mm - 1.158mm = 2.297mm(3)因干涉区域为：l= 2.297mm，条纹间距为：y = 0.175mm则看到的干涉条纹数为：n =l/y = 12条即可看到12条暗条纹或12条亮条纹。7 试求能产生红光（=700nm）的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。已知肥皂膜的折射率为1.33，且平行光与法向成300角入射。解：根据题意，该干涉现象为等倾干涉现象，是二级干涉相长，由相干条件： （j=0、1、2）已知：n1=1、n2=1.33、i1=300、j =2、=700nm解得薄膜厚度为：d0 = 710nm8 透镜表面通常镀一层如MgF2（n=1.38）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。为了使透镜在可见光谱的中心波长（=550nm）处产生极小的反射，则镀层必须有多厚？解：根据题意，该现象为等倾干涉相消现象，由相干条件： （j=0、1、2）已知： n2=1.38、i2=900、j =1、=550nm解得薄膜厚度为：d0 = 9 在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧。玻璃片长为10cm，纸厚为0.05mm，从600的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度上看到的干涉条纹数目是多少？设单色光源的波长为500nm。解:设第j级亮条纹对应薄膜厚度为：dj，第j+1级亮条纹对应薄膜厚度为：dj+1根据相干条件：得到两亮条纹对应薄膜厚度差：从题图中，可得到：将数据：L=10cm、d=0.05mm、i1=600、=500nm、n1=n2=1解得条纹间距：x=0.1cm在玻璃片单位长度上看到的条纹数目:N = 1/x = 10条/cm10 在上题装置中，沿垂直于玻璃片表面的方向看去，看到相邻两条暗条纹间距为1.4mm。已知玻璃片长为17.9cm，纸厚为0.036mm，求光波的波长。解：当沿垂直方向看去，有：i1= 900 ，则：结合： 得到：将数据：x=1.4cm、L=17.9cm、d=0.036mm代入上式得到光波长：=563.1nm11 波长为400760nm的可见光，正射在一块厚度为1.2×10-6m，折射率为1.5的玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中那些波长的光最强？解:此题为等倾干涉相长现象, 薄膜（玻璃片）厚度确定，求波长，由相干条件: 代入数据：n=1.5、d0 = 1.2×10-6m、i2 = 900解出波长： j = 0、1、2、3、将干涉级数j = 0、1、2、3、分别代入，解出在可见光范围内的光波波长；j = 5 时，； j = 6 时，j = 7 时，； j = 8 时，12 迈克尔逊干涉仪的反射镜M2移动0.25mm时，看到条纹移过的数目为909个，设光为垂直入射，求所用光源的波长。 解：在空气中、正入射时，迈克尔逊干涉仪的相干条件：由上式可推出，M2镜移动的距离d与条纹变化数目N的关系式： 已知：d = 0.25mm、N = 909计算得到：= 550nm 13 迈克尔逊干涉仪平面镜的面积为4×4cm2,观察到该镜上有20个条纹,当入射光的波长为589nm时,两镜之间的夹角为多少? 解：由题意，干涉仪的两平面镜M1、M2成一定的夹角，产生等厚干涉现象，干涉条纹的间距：x = 4/20 = 0.2cm相邻两亮条纹对应薄膜的厚度，由: 其中：n2=1、i2=900，可推出：d = /2 = 2.945×10-5cm从图中可得:sin=d/x 30.4"14 调节一台迈克尔逊干涉仪,使其用波长为500nm的扩展光源照明时,出现同心圆环条纹.若要使圆环中心相继出现1000条圆环条纹,则必须将移动一臂多远的距离?若中心是亮的,试计算第一暗环的角半径。解：由： ，已知：= 500nm、N = 1000计算得到迈克尔逊干涉仪一臂移动的距离：d = 0.25mm(2) 因花样中心是亮的，设其干涉级数为j，相应第一暗环的干涉级数同时为j，即有：第j级亮环： 第j级暗环： 其中i2为所求的角半径从上两式得到：因： 即得：15 用单色光观察牛顿环,测得某一亮环的直径为3mm,在它外边第5 个亮环的直径为4.6mm，所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m，求此单色光的波长。解:牛顿环亮环半径的表达式为:设某亮环的干涉级数为j,它外边第五个亮环的级数为j+5,即有: 两式相减得到:代入数据：rj=3/2mm=1.5mm、 rj+5=4.6/2mm=2.3mm、 R=1.03m，解出光波波长：= 590.3nm16 在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环，其第2级亮环与第3级亮环的间距为1mm，求第19级和第20级亮环之间的距离。解: 根据牛顿环亮环半径的表达式:得到第j2=2级亮环与第j3=3级亮环的间距为:第j20=20级亮环与第j19=19级亮环的间距为:两式相比,代入已知数据(r3-r2=1mm),得到: 解出第19级和第20级亮环之间的距离：r20-r19=0.039mm17 牛顿环可由两个曲率半径很大的平凸透镜之间的空气层产生（如图），两平凸透镜凸面的半径分别为RA、RB，在波长为600nm的单色光照射下，观察到第10个暗环的半径rAB=4mm。若另有曲率半径为RC的平凸透镜C，并且B、C组合，A、C组合，产生的第10个暗环的半径分别为rBC=5mm、 rAC=4.5mm，试计算RA、RB、RC。 解：在图中，用单色光照射时，两束反射光的光程差： 其中： 有暗条纹的相干条件：暗条纹的半径： 对第十个暗纹：j=10，入射光波长：=600nm当A、B组合时： 当B、C组合时： 当A、C组合时： 解上述三个方程，得到：RA=6.27m、RB=4.64m、RC=12.43m。18 菲涅耳双棱镜实验装置尺寸如下：缝到棱镜的距离为5cm，棱镜到屏的距离为95cm，棱镜角为=179032，构成棱镜玻璃的折射率n=1.5。采用单色光照射。当厚度均匀的肥皂膜横过双棱镜的一半部分放置，该系统中心部分附近的条纹相对以前有0.8mm的位移。若肥皂膜的折射率为1.35，试计算肥皂膜厚度的最小值。解：在图（1）中，光源S经双棱镜折射，形成两个虚光源S1、S2，设S1、S2之间的距离为d， 近似地有：（n-1）A 并且有：2A+=1800 A=14=0.004rad已知缝到棱镜的距离为：L=5cm，d/2L解出：d=2L=2L（n-1）A=0.2mm 设肥皂膜的厚度为t，折射率为n 肥皂膜没插入前，干涉相长的条件：插入肥皂膜后，干涉相长的条件：两式相减，得肥皂膜的最小厚度： 代入数据：r0=（95+5）cm、y-y=0.8mm、n=1.35、d= =0.2mm计算得到肥皂膜的最小厚度：t=4.94×10-7m19 将焦距为50cm的会聚透镜中央部分C切去,余下的A、B两部分仍旧粘起来，C的宽度为1cm。在对称轴线上距透镜25cm处置一点光源，发出波长为692nm的红宝石激光，在对称轴线上透镜的另一侧50cm处置一光屏，屏面垂直于轴线，试求：（1）干涉条纹的间距是多少；（2）光平上呈现的干涉图样是怎样的？解：透镜按题意分为A、B后，是两个透镜，点光源S经A、B两透镜后，形成两个象S1、S2 ，如图。 图中，O1O1为A透镜的主轴，已知：s=-25cm f=50cm 由： 解得象距为：s=-50cm由： 解得象的横向位置为：y= 1cm也即A 透镜所成的象S2距透镜25cm，距系统对称轴0.5cm同理，B透镜所成的象S1距透镜25cm，距系统对称轴0.5cm两个相干的虚光源S1、S2之间的距离：d = 1cm光源到观察屏之间的距离：r0 = 1m（1）干涉条纹的间距： 由：，得条纹间距：（2）因相干光源的形状是两个点光源，所以形成的干涉花样的形状为一族双曲线，见图。在d较小、r0较大的情况下，花样近似地看成是明暗相交的直线条纹。20 将焦距为5cm的薄凸透镜L沿直线方向刨开（见图1-4），分成A、B两部分，将A部分沿轴线右移至25cm处，这种类型的装置称为梅斯林对切透镜。若将波长为632.8nm的点光源P置于主轴上离透镜LB的距离为10cm处，试分析：（1）成象情况如何？（2）若在LB右边10.5cm处放一光屏，则在光屏上观察到的干涉图样如何？解：（1）透镜按题意分为A、B后，是两个透镜，点光源S经A、B两透镜后，形成两个象S1、S2 ，如图。 根据透镜成像公式： 解得象距为：s1=35/6cm s2=10cm在两透镜的公共主轴上形成两个象。 （2）在光屏上有两束光重叠，以主轴和光屏的交点为圆心，呈现出一组明暗相间的同心半圆周线，见图。由右图，解出亮条纹的半径：说明亮条纹的半径随干涉级数的增大而增大。由上式可解出条纹间距：表明亮条纹之间的距离随j的增大而减小。21 如图1-5所示,A为平凸透镜,B为平板玻璃,C为金属柱,D为框加,A、B间有孔隙，图中绘出的是接触时的情况，而A固结在框加的边缘上。温度变化时，C发生伸缩，假设A、B、D都不发生伸缩，以波长为632.8nm的激光垂直照射，试问：（1）在反射光中观察时，看到牛顿环条纹移向中央，这表示金属柱C的长度是在增加还是减小？（2）若观察到有10个亮条纹移到中央消失，试问C的长度变化了多少？解：（1）在反射光中观察到牛顿环第j级亮条纹的光程差为：条纹半径为：从上两式可知，干涉级数j随薄膜厚度的增加而增加。当看到条纹移向中央时，表示条纹的半径减小。此时在干涉场中一个确定点上，干涉级数是增加的，薄膜的厚度也在增加，就说明金属柱C的长度是在缩短。（2）当光程差改变一个半波长时，干涉场中看到条纹变化一次，则有条纹的变化次数N与薄膜厚度的变化量有如下关系式： 代入数据： 解出金属柱长度的变化量为：（本习题解答仅作参考）第二章 光的衍射1 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带，求第k个波带的半径。若极点到观察点的距离r0为1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。解：当用平面光照射圆孔时，第k个波带的半径，由： 平行光R=解出为： 当：r0=1m、=450nm、k=1时，第一半波带的半径：2 平行单色光从左向右垂直照射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机的光圈那样改变大小，问：（1）小孔半径应满足什么条件，才能使得小孔右侧轴线上距小孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P点最亮时，小孔直径应为多大？设光的波长为500nm。解：用平行单色光垂直照射小圆孔，所露出的半波带的数目：，已知： r0=4m、=500nm、圆孔的半径为：（1）当k为奇数时，P点的光强为最大值；当k为偶数时，P点的光强为最小值；（2）若使P点最亮，圆孔应只露出1个半波带，即k=1，将： k=1代入： 得到小孔直径：3 波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的透光圆环，接受点P离光阑1m，求P点光强度I与没有光阑时的光强度I0的比值。解：已知：r0=1m、R=1m、=500nm半径为R1=0.5mm的圆屏所能遮住的半波带数k1： 半径为R2=1mm的圆孔能露出的半波带数k2：也即通光圆环只露出第2、3、4个波带，P点接受到的光振幅为： 光强度为： 没有光阑时，P点的光强度：I0=a12/4 得到：I ：I0 = 4 ：14 波长为632.8nm的平行光照射直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏，试问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前和向后移动多少？解：已知：r0=1m、Rk=2.76m、=632.8nm、R=（1）根据：解出正对圆孔中心的P接受到的半波带数为：k=3 因P点接受到奇数个半波带，则P点应为亮点。（2）若使P点变成与（1）相反的情况，则k要取为偶数，即：k=2或4当k=4时， 屏幕至少要向前移动：r0 =1m-0.75m=0.25m当k=2时， 屏幕至少要向后前移动：r0 =1.5m-0.75m=0.5m5 一波带片由五个半波带组成，第一波带为半径r1的不透明圆盘，第二波带是r1到r2的透明圆环，第三波带是r2到r3的不透明圆环，第四波带是r3到r4的透明圆环，第五波带是r4至无穷大的不透明区域。已知：r1：r2：r3：r4=1：2：3：4，用波长500nm的单色平行光照射，最亮的象点在距波带片1m的轴上，试求：（1）r1；（2）象点的光强；（3）光强极大值出现在轴上那些位置？解：因用平行单色光照射衍射屏，则半波带的计算公式为： 已知：r1：r2：r3：r4=第一波带遮住的波带数：第二波带露出的波带数：第三波带遮住的波带数：第四波带露出的波带数：波带片遮住和露出波带数之比：若使轴上距波带片1m的象点最亮，应取：k1=1、k2=2、k3=3、k4=4，（1）将r0=1m、=500nm、 k=1代入： 解出： （2）从：看出，最亮的象点接受到第二、第四两个半波带，则光强度为： （I0为光自由传播时的强度。）（3）其他光强最大值的点出现在：1/3、1/5、1/7、等位置。6 波长为的点光源经波带片成一个象点，该波带片有100个透明奇数半波带（1、3、5、199），另外是100个不透明偶数半波带。比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时，该象点的强度比I：I0。解：用波带片时，象点接受到（1、3、5、199）共100个半波带 光强度为：用透镜时，因物点到象点的光程相等，象点接受到200个半波带，则光强度为：两种情况下的光强之比为：7 平面光的波长为480nm，垂直照射宽度为0.4mm的狭缝上，会聚透镜的焦距为60cm，分别计算当缝的两边P点的位相差为/2和/6时，P点离焦点的距离。解：缝两边的光传播到P点的光程差：相位差：从图中: sintg=y/f 得到：y= fsin已知：=480cm、d=0.4mm、 f=60cm当: ，由上式解得：sin1=0.003P点到焦点的距离：y1= fsin1=0.018cm当: ，由上式解得：sin1=0.001P点到焦点的距离：y1= fsin1=0.006cm8 白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三级次最大与波长为600nm的光波的第二级次最大重合，求该光波的波长。解：单缝衍射图样中，次最大的位置：某一波长的第三级次最大的位置：600nm光波的第二级次最大位置：因两个次最大的位置重合，有：解出某光的波长：9 波长为546.1nm的平行光垂直照射在1mm宽的缝上，若将焦距为100cm的透镜紧贴在缝的后面到，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到（1）第一最小值；（2）第一最大值；（3）第三最小值的距离分别是多少？解：单缝衍射中，衍射光的传播方向设为（1）第1最小值的衍射角：其位置：y= fsin= f/b=0.055cm（2）第1最大值的衍射角： k=1其位置：=0.082cm（3）第3最大值的衍射角： k=3其位置：=0.164 cm10 钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上,所得的第一最小值与第二最小值之间的距离为0.885cm，问钠光的波长为多少？若改用X射线(=0.1nm)做此实验,问底片上两最小值之间的距离是多少?解： 因为单缝衍射，设第一最小值到花样中央的距离为：y1；第二最小值到中央的距离为：y2对第一最小值： 对第二最小值： 两最小值间的距离： 已知：y=0.885cm、 L=300cm、 b=0.2mm，代入上式，解得钠光的波长：=590nm当用波长=0.1nm 的X射线时：11 以纵坐标表示光强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射（包括缝间干涉）图样。设缝宽为b，相邻两缝之间的距离为d，且d=3b。 解：因：N=3，相邻两最大值间有2个暗条纹，1个次最大；又因：d=3b，所以第3、6、9、级谱线缺级。以相对光强为纵坐标，sin为横坐标，做出衍射图样。12 一束平行白光垂直照射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二级别光谱的始端的衍射角之差是多少？设可见光中最短紫光的波长为400nm，最长红光的波长为760nm。解：在光栅衍射中，因/d，波长大色光衍射角也大，所以在可见光的同一级谱线中，红光的衍射角大，紫光的衍射角小。已知：红光波长1=760nm、紫光波长2=400nm、d=1/50mm设第一级（j1=1）光谱末端的衍射角为1，有：dsin1=j11 解得： sin1=j11/d=760/d 12.1880第二级（j2=2）光谱始末端的衍射角为2，有：dsin2=j22 解得： sin2=j22/d=800/d 22.2920 衍射角的扎：2-1=2.2920-2.1880 =0.110713 用可见光（400nm760nm）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？解：从上题，一级谱线末端的衍射角：sin1=j11/d=760/d二级谱线始端的衍射角：sin2=j22/d=800/d因：sin2=800/d > sin1 =760/d所以，一级光谱和二级光谱不重叠。二级谱线末端的衍射角：sin3=j21/d=1520/d三级谱线始端的衍射角：sin4=j32/d=1200/d因：sin3=1520/d < sin4 =1200/d所以，二级光谱和三级光谱重叠。14 用波长为589nm单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大之间的衍射角为15010，求该光栅1cm内的缝数是多少？解：从题中知道，第20级谱线的衍射角为：=15010已知波长：=589nm，由光栅方程：dsin=j解得光栅常数：d=0.0045cm1cm内的缝数为：N=1/d=222条/cm15 用每毫米有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm的钠光谱，试问：（1）光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？（2）光以300角入射时，最多能观察到几级谱线？解：已知：光栅常数：d=1/400mm 光波波长：=589nm当谱线的衍射级数最大时，对应的衍射角：=900（1）光垂照射光栅时，由光栅方程：dsin=j解得：j4，即最多能观察到4级谱线。（2）光以0= 300角入射时，光栅方程为：d（sin±sin0）=j将：0= 300、=900、d=1/400mm、=589nm代入 d（sin+ sin0）=j解出最大的衍射级数：j=616 白光垂直照射到一个每毫米有200条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为300处会出现那些波长的光？其颜色如何？解：已知：光栅常数：d=1/200mm、衍射角：=300由光栅方程：dsin=j （j=0、1、2、3、）得到：=dsin/j ,代入数据,在可见光的范围内解得:j=3时，1=666.7nm,是红色光；j=4时，2=500nm, 是黄色光；j=3时，3=400nm, 是紫色光；三种色光的谱线在300方向上重合在一起。17用波长为624nm单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不透明部分的宽度a为0.029mm，缝数N为103条，求：（1）单缝衍射图样的中央角宽度；（2）单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？（3）谱线的半角宽度为多少？解：已知：=624nm、b=0.012mm、a=0.029mm、N=103条计算得到光栅常数：d=a+b=0.041mm（1）单缝衍射图样的中央角宽度：=2/b=5.960（2）由：dsin=j和sin=/b，解得：j=d/b3.4因衍射级数应取整数,所以j=3,单缝衍射图样中央宽度内能看到光谱的级数为3级,有n=2j+1=7条谱线。（3）根据：=/Ndcos，在不太大时，0，解得：谱线的半角宽度：=1.52×10-5rad18 波长为600nm的单色光正入射到一透明平面光栅上，有两个相邻的主最大分别出现在sin1=0.2和sin2=0.3处，第四级为缺级。（1）试求光栅常数；（2）试求光栅的缝可能的最小宽度；（3）在确定了光栅常数和缝宽之后，试列出在光屏上实际呈现的全部谱线级数。解：（1）设相邻主最大的衍射级数分别为：j、j+1。有： dsin1=j d sin2=（j+1）两式相比： 解出：j=2再代入：dsin1=j 得到光栅常数：d=6×10-6m=6×10-3mm（2）因第四级缺级，说明：d：b = 4：1所以光栅缝的宽度：b=d/4=1.5×10-3mm（3）在光屏上呈现的谱线的最大级数为j，对应的衍射角为900，由：dsin =j 解出谱线的最大级数：j=10因：4、8级谱线缺级，不能被观察到，另外衍射角为900的第十级谱线也不能观察到，所以呈现在光屏上的有：0、±1、±2、±3、±5、±6、±7、±9级谱线，共15条。19 NaCl的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5，密度=2.17g/cm3。（1）试证相邻两分子间的平均距离为：其中NA=6.02×1023/mol为阿伏加德罗常数。（2）用X射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为10的方向上出现，计算该X射线的波长。解：在图中所示的晶体结构中，设计晶胞的棱边长为d，两离子间的平均距离为d/2，每个晶胞含有四个NaCl分子，那么其密度：NaCl的质量： 上两式联立解出： 相邻两离子间的平均距离： 代入数据：20 波长为0.00147nm的平行X射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为0.28nm，问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱？解：根据布喇格方程：代入数据： 解出： 21 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b，缝间距分别为d和2d，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：解：设单缝衍射传播到观察屏上P的光振幅为，三束衍射光的实际光程差如图为和，相位差为和，可做出通过三缝光矢量的矢量图，将三矢量分解：三缝衍射的光强度为： 其中： 即有： 式中： 22 一宽度为2cm的衍射光栅上刻有12000条刻痕，如图所示，以波长=500nm的单色光垂直投射，将折射率为1.5的劈状玻璃片置于光栅前方，玻璃片的厚度从光栅的一端到另一端由1mm均匀变薄到0.5mm，试问第一级主最大的方向改变了多少？解：玻璃片的劈尖角A： 平行光经过劈尖后的偏向角： 未加劈尖时的光栅方程：代入数据解出第一级主最大的传播方向：+1级谱线的衍射角：-1级谱线的衍射角：插入劈尖后，光栅方程为：+1级谱线的衍射角：-1级谱线的衍射角：所以两谱线的方向改变了：或23 一平行单色光投射于衍射光栅上，其方向与光栅的法线成0角，在和法线成110和530角的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。（1）试求入射角；（2）试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧能观察到二级谱线？解：（1）在图中若入射光与衍射光在法线同侧有： 若在异侧，有： 两式相减得到： 将数据、代入，解得：（2）入射光与衍射光在法线两侧时，有：对j=1级谱线，对j=2级谱线，其衍射角解出：说明在法线两侧时，不能看到二级谱线。入射光与衍射光在法线同侧时，有：同理解出二级谱线的衍射角：，可观察到二级谱线。第三章 几何光学的基本原理1 证明反射定律符合费马原理。证明：设平面为两种介质的分界面，光线从A点射向界面经反射B点，在分界面上的入射点为任意的C点；折射率分别为：n1、n2。（1）过A、B两点做界面的垂直平面，两平面相交为直线X轴，过C点做X轴的垂线，交X轴于C点，连接ACC、BCC得到两个直角三角形，其中：AC、BC为直角三角形的斜边，因三角形的斜边大于直角边，根据费马原理，光线由A点经C点传播到B点时，光程应取最小值，所以在分界面上的入射点必为C点，即证明了入射光线A C和反射光线B C共面，并与分界面垂直。（2）设A点的坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），C点坐标为（x，0），入射角为，反射角为，则光线由A传播到B的光程：若使光程取极值，则上式的一阶导数为零，即：从图中得到： 也即：sin=sin，说明入射角等于反射角，命题得证。2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点这出并会聚到象点所有光线的光程都相等。由此导出薄透镜的物象公式。 解：3 眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板，平板的厚度d为30cm，求PQ的象PQ与物体之间的距离d2。解：方法一PQ是经过两个平面折射所形成的象（1）PQ经玻璃板前表面折射成象：设PQ到前表面的距离为s1，n=1、n=1.5 由平面折射成象的公式： 得到：（2）PQ经玻璃板前表面折射成象：从图中得到：s2=s1+d、n=1.5、n=1根据： 解出最后形成的象PQ到玻璃板后表面的距离：物PQ到后表面的距离：s=s1+d物PQ与象PQ之间的距离d2：d2 = s2-s =（）d=10cm方法二：参考书中例题的步骤，应用折射定律解之。方法三：直接应用书中例题的结论：d2 =d（1-1/n）即得。4 玻璃棱镜的折射角A为600，对某一波长的光其折射率为1.6，计算(1)最小偏向角；(2)此时的入射角；(3)能使光线从A角两侧透过棱镜的最小入射角。解：（1）根据公式： 代入数据：A=600，n=1.6解出最小偏向角：0= 46016（2） 因： 则入射角：（3）若能使光线从A角两侧透过棱镜，则出射角i1=900 有：n sini2= 1 sin900 = 1 解出：i2=38.680 从图中得到：i2 + i2= A 得到：i2 =21.320又有：sini1 = nsini2 解出最小入射角：i1 =350345 题图表示恒偏向棱镜，挑相当于两个300-600-900棱镜与一个450-450-900棱镜按图示方式组合在一起。白光沿i方向入射，我们旋转这个棱镜来改变1，从而使任意波长的光可以依次循着图中的路径传播，出射光线为r，求证：如果sin1=n/2，则2=1，且光束i与r相互垂直。解：当光线以1角在A点入射时，设折射角为，根据折射定律有：sin1 = nsin 因：sin1 = n/2 计算得到：= 300 在C点的入射角为，从图中可看出：= 300 有：sin2 = nsin 得到：sin2 = n/2因：sin1 = sin2 = n/2 所以：1 = 2在三角形ADE中，ADE=1800 -1 -（900 -2）= 900说明光束i与r相互垂直。6 高为5cm物体放在距凹面镜顶点12cm，凹面镜的焦距是10cm，求象的位置及高度，并作光路图。解：已知：s=-12cm f=-10cm 根据：解出：s= -60cm 因： 解得：y= -25cm7 一个5cm高的物体放在球面镜前10cm处成1cm高的虚象，求：（1）此镜的曲率半径；（2）此镜是凸面镜还是凹面镜？解：已知：y=5cm、s=-10cm、y=1cm 因形成的是虚象，物和象在镜面的两侧，物距和象距异号。根据：代入： 解出：r=5cm因r=5cm > 0 ，所以是凸面镜。8 某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜他自己的象，他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的象重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm，问玻璃板距观察者眼睛的距离是多少？解：已知：凸面镜成象时的物距： s=-40cm、焦距：f=10cm由：解出凸面镜成象的象距：s=8cm 此象到眼睛的距离：b=40+8=48cm又因薄玻璃板所成的象是虚象，与物对称，若使玻璃板中的象与凸面镜中所成的象重合在一起，则玻璃板应放在P与P的中间，即玻璃板到眼睛的距离：d=b/2=24cm9 物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为d，折射率为n，试证明：放入该玻璃板后使象移动的距离与把凹面镜向物体移动d（n-1）/n的一段距离的效果相同。 解:设物体到凹面镜的距离s，当把玻璃板放入后，物体首先经过玻璃板折射成象P1，再经过凹面镜反射成象P2，P1即为凹面镜的物，P1相对P点移动的距离经前面的证明知道为d（n-1）/n，也即放入该玻璃板后使象移动的距离与把凹面镜向物体移动d（n-1）/n的一段距离的效果相同。10 欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成象在右半球面的顶点处，问该透明球体的折射率应为多少？解：此问题是单球面的折射成象，根据题意有：物距：s=-、物空间：n=1设象空间球体折射率为n，球面半径为R由： 得到：从而解出透明球体的折射率：11 有一折射率为1.5、半径为4c