椭圆(4页).doc
-椭圆-第 4 页椭圆第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。即：PF1+PF2=2a其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离F1F2=2c<2a叫做椭圆的焦距。P 为椭圆的动点。长轴为 2a； 短轴为 2b。第二定义：平面内到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，e=c/a）的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a2/c焦点在X轴上；或者y=±a2/c焦点在Y轴上）。几何性质：1、范围:焦点在x轴上-axa -byb;焦点在y轴上-bxb -aya12、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）4、离心率：e=c/a 或 e=1-b2/a25、离心率范围 0<e<16、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆7.焦点 (当中心为原点时)（-c，0），（c，0）或(0,c),(0,-c)切线法线：定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则APF1=BPF2。定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分F1PF2。方程：（1）标准方程：椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴： 焦点在X轴时，标准方程为：x2/a2+y2/b2=1 (a>b>0) 焦点在Y轴时，标准方程为：y2/a2+x2/b2=1 (a>b>0)如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，mn）。标准方程的统一形式。（2）一般方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+1=0（A>0，B>0，且AB）。（3）参数方程x=acos ， y=bsin。（4）极坐标（一个焦点在极坐标系原点，另一个在=0的正方向上）r=a（1-e2）/（1-ecos）（e为椭圆的离心率=c/a）面积公式S=（圆周率）×a×b（其中a,b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长）。或S=（圆周率）×A×B/4（其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长）。周长公式椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。椭圆周长（L）的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = 0，/24a * sqrt（1-(e*cost)²)dt2（a²+b²)/2） 椭圆近似周长，其中a为椭圆长半轴，e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：0<X<1）椭圆的准线方程x=±a2/c离心率e=c/a(0<e<1），因为2a>2c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c,0）与准线x=+a2/c) 的距离为b2/c焦半径焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点）椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 焦点在y轴上：|PF1|=a-ey |PF2|=a+ey(F1,F2分别为上下焦点）椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，即|AB|=2*b2/a斜率公式过椭圆上x2/a2+y2/b2=1上一点（x，y）的切线斜率为 -(b2）X/(a2）y三角面积若有一三角形两个顶点在椭圆的两个焦点上，且第三个顶点在椭圆上那么若F1PF2=，则S=（b2）tan（/2）。曲率公式K=ab/(b2-a2）（cos）2+a2（3/2）点、直线与椭圆的关系点与椭圆的关系点M（x0，y0） 椭圆 x2/a2+y2/b2=1点在圆内：x02/a2+y02/b2<1点在圆上：x02/a2+y02/b2=1点在圆外：x02/a2+y02/b2>1跟圆与直线的位置关系一样的相交 相离 相切直线与直线的关系y=kx+m x2/a2+y2/b2=1 由可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1相切=0相离<0无交点相交>0 可利用弦长公式：设A(x1,y1） B(x2,y2）求中点坐标根据韦达定理 x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a带入直线方程可求出 (y1+y2)/2=可求出中点坐标。|AB|=d = （1+k2）(x1+x2）2-4x1*x2 = （1+1/k2）(y1+y2）2-4y1*y2椭圆应用求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解x=a×cos， y=b×sin a为长轴长的一半 相关性质由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥曲线（也称圆锥截线）。例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。设两点为F1、F2对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆例：已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的离心率为6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为3.1求椭圆C的方程.2直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求PAB面积的最大值.3在的基础上求AOB的面积. 一 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等（椭圆的定义），可知a=3，又c/a=6/3，代入得c=2，b=（a2-c2）=1，方程是x2/3+y2/1=1，（1+k2）x2-x1（中括号表示绝对值）弦长=32/2，对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p（1.5,-0.5），三 直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得2/2，面积1/2*2/2*32/2=3/4,
