初中数学锐角三角函数提高题与常考题型和培优题(含解析)(32页).doc

-初中数学锐角三角函数提高题与常考题型和培优题(含解析)-第 32 页锐角三角函数提高题与常考题和培优题(含解析)一选择题（共11小题）1如果把一个锐角ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（）A扩大为原来的3被B缩小为原来的C没有变化D不能确定2在ABC中，C=90°，AB=5，BC=4，那么A的正弦值是（）ABCD3已知在RtABC中，C=90°，A=，BC=2，那么AB的长等于（）AB2sinCD2cos4如果锐角的正弦值为，那么下列结论中正确的是（）A=30°B=45°C30°45°D45°60°5如图，在4×4的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则tanACB的值为（）ABCD36在RtABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值（）A扩大3倍B缩小3倍C不变D不能确定7如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A3kmB3kmC4 kmD（33）km8如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tanABO的值为（）AB2CD39如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC的正切值是（）A2BCD10如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在A上，BD是A的一条弦，则sinOBD=（）ABCD11如图，已知在RtABC中，ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BEAD于E，CFAD于F，则BE+CF的值（）A不变B增大C减小D先变大再变小二填空题（共12小题）12如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于13如图，ABC中C=90°，若CDAB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=14如图，在ABC中，C=90°，AC=3，BC=2，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，联结DB，那么tanDBC的值是15如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是，若tan=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是米16如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=，tanAPD的值=17如图，在半径为3的O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=18如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（1，0），ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿OBA的边按OBAO运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为19如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得ACB=30°，D点测得ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为m（结果保留根号）20如图，AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cosAOB的值是21如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PHx轴于H，则tanPOH的值为22已知cos=，则的值等于23如图，ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（+）tan+tan（填“”“=”“”）三解答题（共17小题）24计算：cos245°+tan30°25计算：2cos230°sin30°+26如图，在ABC中，C=150°，AC=4，tanB=（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）27如图，已知四边形ABCD中，ABC=90°，ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E（1）若A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）28如图，在四边形ABCD中，BCD是钝角，AB=AD，BD平分ABC，若CD=3，BD=，sinDBC=，求对角线AC的长29如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DEAB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）ECB的余切值30如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sinECM的值31如图，ABC中，ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E（1）求线段CD的长；（2）求cosABE的值32如图，已知MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线ACON当AC=5时，求AD的长（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）33一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，ABCF，F=ACB=90°，E=45°，A=60°，BC=10，试求CD的长34已知：如图，在ABC中，ABC=45°，AD是BC边上的中线，过点D作DEAB于点E，且sinDAB=，DB=3求：（1）AB的长；（2）CAB的余切值35数学老师布置了这样一个问題：如果，都为锐角且tan=，tan=求+的度数甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题他们分别设计了图1和图2（1）请你分别利用图1，图2求出+的度数，并说明理由；（2）请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果，都为锐角，当tan=5，tan=时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角，画出MON，使得MON=求出的度数，并说明理由36如图，点P、M、Q在半径为1的O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：（1）sin60°=；cos75°=；（2）若MHx轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长（结果精确到0.01，参考数据：1.414，1.732）37阅读下面的材料：某数学学习小组遇到这样一个问题：如果，都为锐角，且tan=，tan=，求+的度数该数学课外小组最后是这样解决问题的：如图1，把，放在正方形网格中，使得ABD=，CBE=，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC（1）观察图象可知：+=°；（2）请参考该数学小组的方法解决问题：如果，都为锐角，当tan=3，tan=时，在图2的正方形网格中，画出MON=，并求MON的度数38阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在RtABC中，ACB=90°，AB=1，A=，求sin2（用含sin，cos的式子表示）聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CDAB于点D，则COB=2，然后利用锐角三角函数在RtABC中表示出AC，BC，在RtACD中表示出CD，则可以求出sin2=2sincos阅读以上内容，回答下列问题：在RtABC中，C=90°，AB=1（1）如图3，若BC=，则 sin=，sin2=；（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2的表达式（用含sin，cos的式子表示）39图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图已知BC=0.64米，AD=0.24米，=18°（sin18°0.31，cos18°0.95，tan18°0.32）（1）求AB的长（精确到0.01米）；（2）若测得EN=0.8米，试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度（结果保留）40某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB，AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面离地面的距离为1m求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其它因素）（参数数据：sin8°=，tan8°=，sin10°=，tan10°=） 锐角三角函数常考题型与解析参考答案与试题解析一选择题（共11小题）1（2017奉贤区一模）如果把一个锐角ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（）A扩大为原来的3被B缩小为原来的C没有变化D不能确定【分析】根据ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变和余切的概念解答【解答】解：因为ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变故选：C【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键2（2017金山区一模）在ABC中，C=90°，AB=5，BC=4，那么A的正弦值是（）ABCD【分析】根据sinA=代入数据直接得出答案【解答】解：C=90°，AB=5，BC=4，sinA=，故选D【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3（2017浦东新区一模）已知在RtABC中，C=90°，A=，BC=2，那么AB的长等于（）AB2sinCD2cos【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=，代入求出即可【解答】解：在RtABC中，C=90°，A=，BC=2，sinA=，AB=，故选A【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在RtACB中，ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=4（2017静安区一模）如果锐角的正弦值为，那么下列结论中正确的是（）A=30°B=45°C30°45°D45°60°【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案【解答】解：由，得30°45°，故选：C【点评】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）也考查了互余两角的三角函数之间的关系5（2017莒县模拟）如图，在4×4的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则tanACB的值为（）ABCD3【分析】根据勾股定理即可求出AC、BC、DE、DF的长度，然后证明FDEABC，所以【解答】解：由勾股定理 可求出：BC=2，AC=2，DF=，DE=，FDECAB，DFE=ACB，tanDFE=tanACB=，故选（B）【点评】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质6（2017春兰陵县校级月考）在RtABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值（）A扩大3倍B缩小3倍C不变D不能确定【分析】根据锐角三角函数的定义，可得答案【解答】解：由题意，得RtABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值不变，故选：C【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数的定义是解题关键7（2017兴化市校级一模）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A3kmB3kmC4 kmD（33）km【分析】根据题意，可以作辅助线ACOB于点C，然后根据题目中的条件，可以求得AC和BC的长度，然后根据勾股定理即可求得AB的长【解答】解：作ACOB于点C，如右图所示，由已知可得，COA=30°，OA=6km，ACOB，OCA=BCA=90°，OA=2AC，OAC=60°，AC=3km，CAD=30°，DAB=15°，CAB=45°，CAB=B=45°，BC=AC，AB=，故选A【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解答此类问题的关键是明确题意，利用在直角三角形中30°所对的边与斜边的关系和勾股定理解答8（2017春萧山区月考）如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tanABO的值为（）AB2CD3【分析】连接OA，过点A作ACOB于点C，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC=、BC=OBOC=2，在RtABC中，根据tanABO=可得答案【解答】解：如图，连接OA，过点A作ACOB于点C，则AC=1，OA=OB=2，在RtAOC中，OC=，BC=OBOC=2，在RtABC中，tanABO=2+，故选：C【点评】本题主要考查解直角三角形，根据题意构建一个以ABO为内角的直角三角形是解题的关键9（2016安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC的正切值是（）A2BCD【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，ABC为直角三角形，tanB=，故选：D【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数10（2016攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在A上，BD是A的一条弦，则sinOBD=（）ABCD【分析】连接CD，可得出OBD=OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sinOBD即可【解答】解：D（0，3），C（4，0），OD=3，OC=4，COD=90°，CD=5，连接CD，如图所示：OBD=OCD，sinOBD=sinOCD=故选：D【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键11（2016娄底）如图，已知在RtABC中，ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BEAD于E，CFAD于F，则BE+CF的值（）A不变B增大C减小D先变大再变小【分析】设CD=a，DB=b，DCF=DBE=，易知BE+CF=BCcos，根据090°，由此即可作出判断【解答】解：BEAD于E，CFAD于F，CFBE，DCF=DBF，设CD=a，DB=b，DCF=DBE=，CF=DCcos，BE=DBcos，BE+CF=（DB+DC）cos=BCcos，ABC=90°，O90°，当点D从BD运动时，是逐渐增大的，cos的值是逐渐减小的，BE+CF=BCcos的值是逐渐减小的故选C【点评】本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到BE+CF=BCcos，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型二填空题（共12小题）12（2017普陀区一模）如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于【分析】如图，ABC中，AB=AC，AC：BC=5：6，作AEBC于E，则BE=EC，在RtAEC中，根据cosC=，即可解决问题【解答】解：如图，ABC中，AB=AC，AC：BC=5：6，作AEBC于E，则BE=EC，在RtAEC中，cosC=，故答案为【点评】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握所学知识，掌握等腰三角形中的常用辅助线，属于中考常考题型13（2017宝山区一模）如图，ABC中C=90°，若CDAB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=【分析】先证明BDCCDA，利用相似三角形的性质求出CD的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA的值【解答】解：BCD+DCA=DCA+A=90°，BCD=A，CDAB，BDC=CDA=90°，BDCCDA，CD2=BDAD，CD=6，tanA=故答案为：【点评】本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质14（2017青浦区一模）如图，在ABC中，C=90°，AC=3，BC=2，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，联结DB，那么tanDBC的值是【分析】由DE垂直平分AB，得到AD=BD，设CD=x，则有BD=AD=3x，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出x的值，确定出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可【解答】解：边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，AD=BD，设CD=x，则有BD=AD=ACCD=3x，在RtBCD中，根据勾股定理得：（3x）2=x2+22，解得：x=，则tanDBC=，故答案为：【点评】此题考查了解直角三角形，以及线段垂直平分线性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键15（2017黄浦区一模）如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是，若tan=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是27米【分析】作PEAB于点E，在直角AEP中，利用三角函数求得AE的长，根据AB=2AE即可求解【解答】解：作PEAB于点E，在直角AEP中，APE=，则AE=PEtanAPE=30×0.45=13.5（米），则AB=2AE=27（米）故答案是：27【点评】本题考查解直角三角形、仰角、俯角的定义，解题的关键是记住特殊三角形的边之间关系，学会把问题转化为方程解决，属于中考常考题型16（2016自贡）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=3，tanAPD的值=2【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，ACPBDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在RtPBF中，即可求得tanBPF的值，继而求得答案【解答】解：四边形BCED是正方形，DBAC，DBPCAP，=3，连接BE，四边形BCED是正方形，DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BECD，BF=CF，根据题意得：ACBD，ACPBDP，DP：CP=BD：AC=1：3，DP：DF=1：2，DP=PF=CF=BF，在RtPBF中，tanBPF=2，APD=BPF，tanAPD=2，故答案为：3，2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用17（2016枣庄）如图，在半径为3的O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=2【分析】连接BC可得RTACB，由勾股定理求得BC的长，进而由tanD=tanA=可得答案【解答】解：如图，连接BC，AB是O的直径，ACB=90°，AB=6，AC=2，BC=4，又D=A，tanD=tanA=2故答案为：2【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键18（2016舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（1，0），ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿OBA的边按OBAO运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为4【分析】首先根据题意正确画出从OBA运动一周的图形，分四种情况进行计算：点P从OB时，路程是线段PQ的长；当点P从BC时（QCAB，C为垂足），点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；点P从CA时，点Q由Q向左运动，路程为QQ；点P从AO时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可【解答】解：在RtAOB中，ABO=30°，AO=1，AB=2，BO=，当点P从OB时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，如图3所示，QCAB，则ACQ=90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，当点P从BC时，ABO=30°BAO=60°OQD=90°60°=30°cos30°=AQ=2OQ=21=1则点Q运动的路程为QO=1，当点P从CA时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ=2，当点P从AO时，点Q运动的路程为AO=1，点Q运动的总路程为：+1+2+1=4故答案为：4【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题19（2016新疆）如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得ACB=30°，D点测得ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为30m（结果保留根号）【分析】先根据三角形外角的性质求出CAD的度数，判断出ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值【解答】解：ACB=30°，ADB=60°，CAD=30°，AD=CD=60m，在RtABD中，AB=ADsinADB=60×=30 （m）故答案为：30 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中20（2016港南区二模）如图，AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cosAOB的值是【分析】首先连接AB，由勾股定理易求得OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，然后由勾股定理的逆定理，可证得AOB是等腰直角三角形，继而可求得cosAOB的值【解答】解：连接AB，OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，OA2+AB2=OB2，OA=AB，AOB是等腰直角三角形，即OAB=90°，AOB=45°，cosAOB=cos45°=故答案为：【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用21（2016于田县校级模拟）如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PHx轴于H，则tanPOH的值为【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tanPOH为POH的对边比邻边，求出即可【解答】解：P（12，a）在反比例函数图象上，a=5，PHx轴于H，PH=5，OH=12，tanPOH=，故答案为：【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边22（2016雅安校级模拟）已知cos=，则的值等于0【分析】先利用tan=得到原式=，然后把cos=代入计算即可【解答】解：tan=，cos=，=0故答案为0【点评】本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1；正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanAcosA23（2016鞍山二模）如图，ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（+）tan+tan（填“”“=”“”）【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出tan和tan，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan（+），比较即可【解答】解：由正方形网格图可知，tan=，tan=，则tan+tan=+=，AC=BC，ACB=90°，+=45°，tan（+）=1，tan（+）tan+tan，故答案为：【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值、正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键三解答题（共17小题）24（2017普陀区一模）计算：cos245°+tan30°【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案【解答】解：原式=（）2+×=+1【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键25（2017浦东新区一模）计算：2cos230°sin30°+【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案【解答】解：原式=2×（）2+=1+【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键26（2016连云港）如图，在ABC中，C=150°，AC=4，tanB=（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）【分析】（1）过A作ADBC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2，由三角函数求出CD=2，在RtABD中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果；（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出AMC=MAC=15°，tan15°=tanAMD=即可得出结果【解答】解：（1）过A作ADBC，交BC的延长线于点D，如图1所示：在RtADC中，AC=4，C=150°，ACD=30°，AD=AC=2，CD=ACcos30°=4×=2，在RtABD中，tanB=，BD=16，BC=BDCD=162；（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示：ACB=150°，AMC=MAC=15°，tan15°=tanAMD=20.270.3【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键27（2016包头）如图，已知四边形ABCD中，ABC=90°，ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E（1）若A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【分析】（1）要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；（2）要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决【解答】解：（1）A=60°，ABE=90°，AB=6，tanA=，E=30°，BE=tan60°6=6，又CDE=90°，CD=4，sinE=，E=30°，CE=8，BC=BECE=68；（2）ABE=90°，AB=6，sinA=，设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，3x=6，得x=2，BE=8，AE=10，tanE=，解得，DE=，AD=AEDE=10=，即AD的长是【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答28（2016厦门）如图，在四边形ABCD中，BCD是钝角，AB=AD，BD平分ABC，若CD=3，BD=，sinDBC=，求对角线AC的长【分析】过D作DEBC交BC的延长线于E，得到E=90°，根据三角形函数的定义得到DE=2，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到ACBD，AO=CO，BO=DO=，根据勾股定理得到结论【解答】解：过D作DEBC交BC的延长线于E，则E=90°，sinDBC=，BD=，DE=2，CD=3，CE=1，BE=4，BC=3，BC=CD，CBD=CDB，BD平分ABC，ABD=DBC，ABD=CDB，ABCD，同理ADBC，四边形ABCD是菱形，连接AC交BD于O，则ACBD，AO=CO，BO=DO=，OC=，AC=2【点评】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键29（2016上海）如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DEAB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）ECB的余切值【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出A=B=45°，由勾股定理求出AB=3，求出ADE=A=45°，由三角函数得出AE=，即可得出BE的长；（2）过点E作EHBC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BEcos45°=2，得出CH=1，在RtCHE中，由三角函数求出cotECB=即可【解答】解：（1）AD=2CD，AC=3，AD=2，在RtABC中，ACB=90°，AC=BC=3，A=B=45°，AB=3，DEAB，AED=90°，ADE=A=45°，AE=ADcos45°=2×=，BE=ABAE=3=2，即线段BE的长为2；（2）过点E作EHBC，垂足为点H，如图所示：在RtBEH中，EHB=90°，B=45°，EH=BH=BEcos45°=2×=2，BC=3，CH=1，在RtCHE中，cotECB=，即ECB的余切值为【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键30（2016厦门校级模拟）如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sinECM的值【分析】依题意设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，EC=5x，EM=x，CM=2x，EM2+CM2=CE2，CEM是直角三角形，sinECM=【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解31（2016江西模拟）如图，ABC中，ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E（1）求线段CD的长；（2）求cosABE的值【分析】（1）在ABC中根据正弦的定义得到sinA=，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在RtABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到SBDC=SADC，则SBDC=SABC，即CDBE=ACBC，于是可计算出BE=，然后在RtBDE中利用余弦的定义求解【解答】解：（1）在ABC中，ACB=90°，sinA=，而BC=8，AB=10，D是AB中点，CD=AB=5；（2）在RtABC中，AB=10，BC=8，AC=6，D是AB中点，BD=5，SBDC=SADC，SBDC=SABC，即CDBE=ACBC，BE=，在RtBDE中，cosDBE=，即cosABE的值为【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式32（2016启东市二模）如图，已知MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线ACON当AC=5时，求AD的长（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）【分析】延长AC交ON于点E，如图，利用互余计算出OCE=65°，再利用对顶角相等得到ACB=OCE=65°，接着在RtABC中利用ACB的余弦可计算